热力学平衡态一最可几态 0=6InQ-B6E-a6N d,B是待定的Lagrange乘子；引入 a,B后，a1可以认为是独立的 =2hN-h总-i-a In aL =In N-d-Bsr a=Nwje-a-Ber wleln N-a-Ber wle-a-Ber as =e-a-Bes a =@-InN @=a+InN
热力学平衡态 ⇔ 最可几态 0 = 𝛿 ln Ω − 𝛽𝛿𝐸 − 𝛼𝛿𝑁 ˜ ✎ ✍ ☞ ✌ 𝛼, 𝛽 ˜ 是待定的 Lagrange 乘子；引入 𝛼, 𝛽 ˜ 后，𝑎𝑙 可以认为是独立的 = Õ 𝑙 h ln 𝑁 − ln 𝑎𝑙 𝜔𝑙 − 𝛼˜ − 𝛽𝜀𝑙 i 𝛿𝑎𝑙 ln 𝑎𝑙 𝜔𝑙 = ln 𝑁 − 𝛼˜ − 𝛽𝜀𝑙 𝑎¯𝑙 = 𝑁𝜔𝑙𝑒 −𝛼˜−𝛽 𝜀𝑙 = 𝜔𝑙𝑒 ln 𝑁 −𝛼˜−𝛽 𝜀𝑙 = 𝜔𝑙𝑒 −𝛼−𝛽 𝜀𝑙 𝑎¯𝑠 = 𝑒 −𝛼−𝛽 𝜀𝑠 𝛼 = 𝛼˜ − ln 𝑁 𝛼˜ = 𝛼 + ln 𝑁
Boltzmann分布 al=wje-a-Bs(V) as =e-a-Bes(V) E=∑= Ejwe-a-B N= ∑au=∑wre-m α()，B二者未知，需要从E和N两个方程定出，非常麻烦。 =E,N=E.Na》=a N! InQ=InQ(E,N,V) 0=6InQ-B6E @6NB=lim 6In2 6E06E l6N=o（aEN 0In →a=lim 6n2 6N-06N18E=0 特性函数 dIn=BdE +adN In Z=In Z(B,N,V)=InQ-BE Legendre变换 dIn Z=d(InQ-BE)=-EdB+adN
Boltzmann 分布 𝑎𝑙 = 𝜔𝑙𝑒 −𝛼−𝛽 𝜀𝑙 (𝑉 ) 𝑎𝑠 = 𝑒 −𝛼−𝛽 𝜀𝑠 (𝑉 ) 𝐸 = Õ 𝑙 𝑎𝑙𝜀𝑙 = Õ 𝑙 𝜀𝑙𝜔𝑙𝑒 −𝛼−𝛽 𝜀𝑙 𝑁 = Õ 𝑙 𝑎𝑙 = Õ 𝑙 𝜔𝑙𝑒 −𝛼−𝛽 𝜀𝑙 𝛼(𝛼˜), 𝛽 二者未知，需要从 𝐸 和 𝑁 两个方程定出，非常麻烦。 Ω = Ω(𝐸, 𝑁, 𝑉) = Ω(𝐸, 𝑁, {𝑎𝑙}) = 𝑁! Î 𝑙 𝑎𝑙 Ö 𝑙 𝜔 𝑎𝑙 𝑙 ln Ω = ln Ω(𝐸, 𝑁, 𝑉) 0 = 𝛿 ln Ω − 𝛽𝛿𝐸 − 𝛼𝛿𝑁 ˜ ⇒ 𝛽 = lim 𝛿𝐸→0 𝛿 ln Ω 𝛿𝐸 𝛿𝑁 =0 = 𝜕 ln Ω 𝜕𝐸 𝑁 ⇒ 𝛼˜ = lim 𝛿𝑁→0 𝛿 ln Ω 𝛿𝑁 𝛿𝐸=0 = 𝜕 ln Ω 𝜕𝑁 𝐸 𝑑 ln Ω = 𝛽𝑑𝐸 + 𝛼𝑑𝑁 ˜ 特性函数 =================⇒ Legendre 变换 ln 𝑍 = ln 𝑍(𝛽, 𝑁, 𝑉) = ln Ω − 𝛽𝐸 𝑑 ln 𝑍 = 𝑑(ln Ω − 𝛽𝐸) = −𝐸 𝑑𝛽 + 𝛼𝑑𝑁 ˜
配分函数 al=wje-a-Ber In=NInN-N->(ar lnai-ai-arii) n2=iha-E=NaW-∑ah号-e∑aa-N+∑a =NnN-∑a号+Ba 单粒子配分函数 -NInN->wre-(-a-Bei+Bei) z=z(β，V =NlnN+ae“∑are-fa=NInN+-aez N=∑a=∑ue-a=e“∑e8= e-a= N a =In=-In N+Inz a=a+In N Inz lnZ=WlnW+N(-nN+lnz)=Nlnz=lnzN→系统配分函数
配分函数 𝑎𝑙 = 𝜔𝑙𝑒 −𝛼−𝛽 𝜀𝑙 ln Ω = 𝑁 ln 𝑁 − 𝑁 − Õ 𝑙 𝑎𝑙 ln 𝑎𝑙 − 𝑎𝑙 − 𝑎𝑙 ln𝜔𝑙 ln 𝑍 = ln Ω − 𝛽𝐸 = 𝑁 ln 𝑁 − Õ 𝑙 𝑎𝑙 ln 𝑎𝑙 𝜔𝑙 − 𝛽 Õ 𝑙 𝑎𝑙𝜀𝑙 − 𝑁 + Õ 𝑙 𝑎𝑙 = 𝑁 ln 𝑁 − Õ 𝑙 𝑎𝑙 ln 𝑎𝑙 𝜔𝑙 + 𝛽𝜀𝑙 = 𝑁 ln 𝑁 − Õ 𝑙 𝜔𝑙𝑒 −𝛼−𝛽 𝜀𝑙 (−𝛼 − 𝛽𝜀𝑙 + 𝛽𝜀𝑙) = 𝑁 ln 𝑁 + 𝛼𝑒−𝛼 Õ 𝑙 𝜔𝑙𝑒 −𝛽 𝜀𝑙 = 𝑁 ln 𝑁 + 𝛼𝑒−𝛼 𝑧 𝑁 = Õ 𝑙 𝑎𝑙 = Õ 𝑙 𝜔𝑙𝑒 −𝛼−𝛽 𝜀𝑙 = 𝑒 −𝛼 Õ 𝑙 𝜔𝑙𝑒 −𝛽 𝜀𝑙 = 𝑒 −𝛼 𝑧 𝑒 −𝛼 = 𝑁 𝑧 𝛼 = − ln 𝑁 𝑧 = − ln 𝑁 + ln 𝑧 𝛼˜ = 𝛼 + ln 𝑁 = ln 𝑧 ln 𝑍 = 𝑁 ln 𝑁 + 𝑁(− ln 𝑁 + ln 𝑧) = 𝑁 ln 𝑧 = ln 𝑧 𝑁 ⇒ ✞ ✝ ☎ 系统配分函数 ✆ ✤ ✣ ✜ ✢ 单粒子配分函数 𝑧 = 𝑧(𝛽, 𝑉) = Õ 𝑙 𝜔𝑙𝑒 −𝛽 𝜀𝑙
配分函数 Ing InR(E,N,V) dIn=BdE adN lnZ=lnZ(B,N,V)=lnz(β，V d In Z =-EdB+adN =a,=∑ueaW=∑e8s Q通过Legendre变换，使得自变量从E,N,V改变为B,N,V Q原先需要从E和N的方程定出B和a(或者d),计算麻 烦：变换之后计算相对简单 。这等价于从能量确定的孤立系统变换为温度确定的封闭系统 。在研究平衡态物理量时二者没有区别
配分函数 ln Ω = ln Ω(𝐸, 𝑁, 𝑉) 𝑑 ln Ω = 𝛽𝑑𝐸 + 𝛼𝑑𝑁 ˜ ln 𝑍 = ln 𝑍(𝛽, 𝑁, 𝑉) = ln 𝑧 𝑁 (𝛽, 𝑉) 𝑑 ln 𝑍 = −𝐸 𝑑𝛽 + 𝛼𝑑𝑁 ˜ 𝑧 = 𝑧(𝛽, 𝑉) = Õ 𝑙 𝜔𝑙𝑒 −𝛽 𝜀𝑙 (𝑉 ) = Õ 𝑠 𝑒 −𝛽 𝜀𝑠 (𝑉 ) 通过 Legendre 变换，使得自变量从 𝐸, 𝑁, 𝑉 改变为 𝛽, 𝑁, 𝑉 原先需要从 𝐸 和 𝑁 的方程定出 𝛽 和 𝛼（或者 𝛼˜），计算麻 烦；变换之后计算相对简单 这等价于从能量确定的孤立系统变换为温度确定的封闭系统 在研究平衡态物理量时二者没有区别
7.3 物理量 内能=最可几态能量 =e“∑aem-g∑a(-g. =-(品∑env=器v=-NB)w =-(aB Nv B=1/(kBT)
7.3 物理量 内能 = 最可几态能量 𝑈 = 𝐸 = Õ 𝑙 𝑎𝑙𝜀𝑙 = Õ 𝑙 𝜔𝑙𝑒 −𝛼−𝛽 𝜀𝑙 𝜀𝑙 = 𝑒 −𝛼 Õ 𝑙 𝜀𝑙𝜔𝑙𝑒 −𝛽 𝜀𝑙 = 𝑁 𝑧 Õ 𝑙 𝜔𝑙 − 𝜕𝑒−𝛽 𝜀𝑙 𝜕 𝛽 𝑉 = − 𝑁 𝑧 𝜕 𝜕 𝛽 Õ 𝑙 𝜔𝑙𝑒 −𝛽 𝜀𝑙 𝑉 = − 𝑁 𝑧 𝜕𝑧 𝜕 𝛽 𝑉 = −𝑁 𝜕 ln 𝑧 𝜕 𝛽 𝑉 = − 𝜕 ln 𝑍 𝜕 𝛽 𝑁 𝑉 = 𝑁 𝑘𝐵𝑇 2 𝜕 ln 𝑧 𝜕𝑇 𝑉 = 𝑘𝐵𝑇 2 𝜕 ln 𝑍 𝜕𝑇 𝑁 𝑉 ✞ ✝ ☎ ✆ 𝛽 = 1/(𝑘𝐵𝑇)