§4.1L[,上的傅里叶级数 7. Parseval定理(内积不变性) 定理( Parseval):对v(),g()∈L[,+7]则 f(),g()=f()9( ∑G7=7(5)=,(Gm 16
16 §4.1 上的傅里叶级数 • 7. Parseval定理（内积不变性） – 定理（Parseval）：对 1 L , 0 t t ( ) ( ) 2 0 0 + f t g t t t T , L , ,则 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 * * , d , t T t n n n n n n n f t g t f t g t t F G T T F G + =− =− =− = = =
§4.1L[,上的傅里叶级数 ·8能量定理 对v()∈L[4+,有()d=∑T 17
17 §4.1 上的傅里叶级数 • 8.能量定理 1 L , 0 t t ( ) ( ) 0 0 2 2 2 L , d 0 0 t T n t n f t t t T f t t F T + =− 对 + = ，有
§4.1[o,4上的傅里叶级数 9均方收敛性(依范数收敛,强收敛) 定理(均方收敛):对v()∈L[,1+7]则 to +T Im ()-∑ dt=0 N→>o T 其中E()=f(t)-∑Fe.误差, f()∑Femd为均方误差。 在个别点,甚至零测度集上不收敛不影响均方收敛性。 2N+1项FS近似,欧式范数最小方差最小均方差 最小 18
18 §4.1 上的傅里叶级数 • 9.均方收敛性（依范数收敛，强收敛） – 定理（均方收敛）：对 其中 – 在个别点，甚至零测度集上不收敛不影响均方收敛性。 – 2N+1项F.S.近似，欧式范数最小 方差最小 均方差 最小。 1 L , 0 t t ( ) 2 L , , 0 0 + f t t t T 则 ( ) 0 0 2 1 j lim d 0 N t T n t n N t n N f t F e t T + → = − − = ( ) ( ) ( ) 0 0 j 2 1 j d n t n n N t T n t n t n N t f t F e f t F e t T =− + = − = − − 为误差， 为均方误差。
§4.1L[,上的傅里叶级数 10可FS展开的充分条件 定理(可FS展开的充分条件): 若v()∈L[+7],则 证明: 1*f() -Inat dt H|s∫1O)e-t (O)z=T/() max|F≤mf() 19
19 §4.1 上的傅里叶级数 • 10.可F.S.展开的充分条件 – 定理（可F.S.展开的充分条件）： 若 证明： 1 L , 0 t t ( ) 1 L , 0 0 n + f t t t T F ，则 。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 -j -j 1 1 1 d 1 d 1 1 d 1 max t T n t n t t T n t n t t T t n n F f t e t T F f t e t T f t t f t T T F f t T + + + = = =
§4.1L[,上的傅里叶级数 11. Gibbs现象 若用FS逼近f),在第1类间断点处不一致收敛, 且在间断点的很小邻域内有奇异现象出现,9% 的最大峰起。 第一类间断点
20 §4.1 上的傅里叶级数 • 11. Gibbs现象 – 若用F.S.逼近f(t)，在第1类间断点处不一致收敛， 且在间断点的很小邻域内有奇异现象出现，9% 的最大峰起。 1 L , 0 t t o f(t) t 第一类间断点