清华大学：《信号与系统》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 泛函分析初步

信号与系统 第三章泛函分析初步

1 信号与系统 第三章 泛函分析初步

第三章泛涵分析初步 §3.1线性空间 §32线性子空间 §3.3距离空间 §34 Banach空间 §35 Hilbert空间 ·§3.6完备规范正交集上广义傅里叶展开

2 第三章 泛函分析初步 • §3.1 线性空间 • §3.2 线性子空间 • §3.3 距离空间 • §3.4 Banach空间 • §3.5 Hilbert空间 • §3.6 完备规范正交集上广义傅里叶展开

§3.1线性空间 ·线性空间:设WO(W为非空集合) (1)W中元对“+”构成交换群,即对XY,z∈W, 有 1.X+Y∈W(加法封闭性) i.(X+Y)+Z=X+(Y+Z)(结合律)群/ ⅲi.30∈W,使0+X=X(存在零元) 群 交换群 ⅳv.彐-X∈W,使(-X)+X=0(存在逆元) V.X+Y=Y+X(交换律)

3 §3.1 线性空间 • 线性空间：设W≠Ø（W为非空集合） – (1) W中元对“+”构成交换群，即对 X,Y,ZW, 有 ⅰ. ⅱ. ⅲ. ⅳ. ⅴ. ( ) ( ) ( ) , , W W W                    −  −         0 0 + + 0 + + + = + + = = + = + （加法封闭性） 半群 （结合律） 使 （存在零元） 群 交换群 使 （存在逆元） （交换律） X Y X Y Z X Y Z X X X X X X Y Y X

§3.1线性空间 (2)对VX,Y∈W,Va,B∈C(复数域)有: Vi.a(BX)=(c)X∈W ⅶ.(a+B)X=aX+BX ⅷ.a(X+Y)=aX+aY X.1·X=X 称W为线性空间;若Va,B∈C,则W为复线性空 间;若a,B∈R,则W为实线性空间

4 §3.1 线性空间 – (2)对 X,YW， α,βC（复数域）有： ⅵ. ⅶ. ⅷ. ⅸ. 称W为线性空间；若α,βC ，则W为复线性空 间；若α,βR，则W为实线性空间。 ( ) ( ) ( ) ( )    W        =  + = 1 + + = + = X X X X X X Y X Y X X

§3.1线性空间 1)加法封闭 2)数乘封闭 台WX∈W,a∈C有∑aX∈W C[ab](ab]上所有连续函数的全体)是线性空间。 spam{X1,X2…,xn}是由X1,X2,…,X,张成的线性

5 §3.1 线性空间 • • • 1 , N i i i i i W W   =        1)加法封闭 有 2)数乘封闭 X X C , , a b a b ( 上所有连续函数的全体)是线性空间。 span 1 2 1 2 , , , , , , n n 是由 张成的线性 空间。 X X X X X X