分离变量法分离变量法是一种常见的解偏微分方程的方法。但分离变量法求得的解不是一定包含所有情况。本讲义的目的是探讨分离变量法什么时候不会漏掉一些解。内容包括：连带勒让德函数，贝塞尔函数。1平面上的调和方程考虑全平面R2上的调和方程u=0(1)考虑分离变量法，令u(x,y）=X(x)Y(y)，则原方程化为：X"Y"(2)X+=0因此必然存在复常数k，使得x"=kx(3)Y"=-K2Y(4)由此可解得u=Cexp(土k(x+iy))，以及更一般的(5)u(x,y) =Ckexp(±k(x+iy))K那么是否所有的解u（x,y）都可以写成上式的形式？如果上式中求和有无穷多项，如何定义其无穷和，是逐点收敛还是在某个范数的意义下收敛？事实上，对于全平面上的调和方程，我们可以通过复变函数理论得到其通解的一般表达式。具体步骤如下：·若u(x,y）满足全平面上的调和方程，则一定存在一个光滑函数o(x,y）使得f(z）=f(x+iy）=u(x,y）+io(x,y）是一个复平面上的解析函数。·反过来，任何一个全复平面上的解析函数f（z）：其实部一定满足调和方程。【全复平面上的解析函数和全平面上的调和函数之间有1-1对应关系。·C上的解析函数有洛朗展开f(z)=ckzk，满足liminf|cnl1/n=0k=0对任何满足liminf|cnl1/n=0的复数序列，u(x,y)=Re(ck(x+iy)*）都满足调和方程。k1
分离变量法 分离变量法是一种常见的解偏微分方程的方法。但分离变量法求得的解不是一定包含所有情 况。本讲义的目的是探讨分离变量法什么时候不会漏掉一些解。内容包括：连带勒让德函数，贝 塞尔函数。 1 平面上的调和方程 考虑全平面R2 上的调和方程: ∆u = 0 (1) 考虑分离变量法，令u(x, y) = X(x)Y(y)，则原方程化为： X ′′ X + Y ′′ Y = 0 (2) 因此必然存在复常数k，使得 X ′′ =k 2X (3) Y ′′ = − k 2Y (4) 由此可解得u = Ck exp{±k(x + iy)}，以及更一般的 u(x, y) = ∑ k Ck exp{±k(x + iy)} (5) 那么是否所有的解u(x, y) 都可以写成上式的形式？如果上式中求和有无穷多项，如何定义其无穷 和,是逐点收敛还是在某个范数的意义下收敛？ 事实上，对于全平面上的调和方程，我们可以通过复变函数理论得到其通解的一般表达式。具 体步骤如下： • 若u(x, y) 满足全平面上的调和方程，则一定存在一个光滑函数v(x, y) 使得f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) 是一个复平面上的解析函数。 • 反过来，任何一个全复平面上的解析函数f(z)，其实部一定满足调和方程。 • {全复平面上的解析函数} 和{全平面上的调和函数} 之间有1-1对应关系。 • C 上的解析函数有洛朗展开f(z) = ∞ ∑ k=0 ckz k，满足lim inf n→∞ |cn| 1/n = 0 • 对任何满足lim inf n→∞ |cn| 1/n = 0 的复数序列，u(x, y) = Re(∑ k ck(x + iy) k ) 都满足调和方程。 1
Coursenotes@hhu由此可见，对于此问题，分离变量法求出的解无法代表所有的解。分离变量法求出的解只能覆盖通解的一些特殊情形。2球坐标系中的拉普拉斯方程对于r E (0,0), E (0,元),Φ E[0,2元), 定义映射:(0, 0) × (0, 元) × [0,2元) → R3(6)(p,,)→(rsin cos,r sinsin,rcos)这就是R3的球坐标系。除去R3的z轴，球坐标系定义了一个二一对应关系。通过链式法则，aaxaayaazaar=arax+aray+arazaad(7)=(sin @ cos d)ax+(sinsin)+(cos)azdy类似地有：addd(8)=(r cos cos Φ)+ (r cos sing)(rsine)aeaxayad(9)=(-r sin sin)+ (rsincos )apax因此（%（%）singcospsinesinpcoseo%(10)rcosacosrcosesing-rsine0-rsingsingrsinecosg（%）品）品(r2sincosrsinecosecosg-rsing)1r2sin?esing(11)rsinecosesingrcosdayr2sine-rsin?e0r2 sin cos （品）是由此可求得拉普拉斯算符在球坐标系下的表达：211(sin@fe)e+Af =frr-(12)ft12sin2gf0r2sine目标是在三维欧氏空间求解Af=0(13)2/12
Course notes@hhu 由此可见，对于此问题，分离变量法求出的解无法代表所有的解。分离变量法求出的解只能覆盖 通解的一些特殊情形。 2 球坐标系中的拉普拉斯方程 对于r ∈ (0, ∞), θ ∈ (0, π), ϕ ∈ [0, 2π)，定义映射: (0, ∞) × (0, π) × [0, 2π) −→ R 3 (ρ, θ, ϕ) −→ (r sin θ cos ϕ,r sin θ sin ϕ,r cos θ) (6) 这就是R3 的球坐标系。除去R3 的z 轴，球坐标系定义了一个一一对应关系。通过链式法则， ∂ ∂r = ∂x ∂r ∂ ∂x + ∂y ∂r ∂ ∂y + ∂z ∂r ∂ ∂z =(sin θ cos ϕ) ∂ ∂x + (sin θ sin ϕ) ∂ ∂y + (cos θ) ∂ ∂z (7) 类似地有： ∂ ∂θ =(r cos θ cos ϕ) ∂ ∂x + (r cos θ sin ϕ) ∂ ∂y − (r sin θ) ∂ ∂z (8) ∂ ∂ϕ =(−r sin θ sin ϕ) ∂ ∂x + (r sin θ cos ϕ) ∂ ∂y (9) 因此 ∂ ∂r ∂ ∂θ ∂ ∂ϕ = sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ cos θ r cos θ cos ϕ r cos θ sin ϕ −r sin θ −r sin θ sin ϕ r sin θ cos ϕ 0 ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z (10) ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z = 1 r 2 sin θ r 2 sin2 θ cos ϕ r sin θ cos θ cos ϕ −r sin ϕ r 2 sin2 θ sin ϕ r sin θ cos θ sin ϕ r cos ϕ r 2 sin θ cos θ −r sin2 θ 0 ∂ ∂r ∂ ∂θ ∂ ∂ϕ (11) 由此可求得拉普拉斯算符在球坐标系下的表达： ∆f = frr + 2 r fr + 1 r 2 sin θ (sin θ fθ )θ + 1 r 2 sin2 θ fϕϕ (12) 目标是在三维欧氏空间求解 ∆f = 0 (13) 2/12
Course notes@hhu等同于在球坐标系下解rf + 2f + (inof0 + Jg。 =0(14)sinesin?e注意上式右边两项是球面上的拉普拉斯算子（见下节）。根据球面上拉普拉斯算子。的谱理论，球面上的一阶导平方可积函数空间H=Spano,,2,…],其中都是。的本征函数，=1为常值函数。因此对每个固定的ro,f(ro,e,Φ）可以写为：2f(ro,0,Φ) =Eaxdk(15)k=0其中系数ak依赖于ro，因此是r的函数。因此f(r,0,Φ) =Eak(r)(e,g)(16)k=0将表达式(16)代入方程(14)：可得：E(ra* +2rd + axx)x= 0(17)k=0其中入是△。的第k个本征值。因此ak必须满足a"+2rak+Axax=0(18)这与用分离变量法解方程(14)得出的结论一样。已知（见下节）入k=-k(k+1)，可求得ak(r）=Ckrk+dkr-(k+1)。k的求解见下文。对于此问题，分离变量法可以求得所有解的一组基。关键点在于△，的本征函数构成H的一组基。作业2.1.利用极坐标系和分离变量法求解全平面上的调和方程，并讨论是否分离变量法求出的解覆盖所有情形。3球面上的拉普拉斯算子的本征值问题已知在球坐标系(e,Φ)下，（由Hodge理论可推出）球面上的拉普拉斯算子可以写为1aui1aausine(19)Au=2esingesin?a?(ugsin)eusp(20)sinesin?e其中e[0,元]代表球表面的纬度(=0代表北极)，ΦE[0,2元]代表球表面的经度。本例题的目标是求解以下本征值问题-△u=入u(21)3/12
Course notes@hhu 等同于在球坐标系下解 r 2 frr + 2r fr + (sin θ fθ )θ sin θ + fϕϕ sin2 θ = 0 (14) 注意上式右边两项是球面上的拉普拉斯算子（见下节）。根据球面上拉普拉斯算子∆s 的谱理论, 球 面上的一阶导平方可积函数空间H = Span{ψ0, ψ1, ψ2, .}, 其中ψi 都是∆s 的本征函数，ψ0 = 1 为 常值函数。因此对每个固定的r0, f(r0, θ, ϕ) 可以写为: f(r0, θ, ϕ) = ∞ ∑ k=0 akψk (15) 其中系数ak 依赖于r0, 因此是r 的函数。因此 f(r, θ, ϕ) = ∞ ∑ k=0 ak(r)ψk(θ, ϕ) (16) 将表达式(16) 代入方程(14)，可得： ∞ ∑ k=0 (r 2 a ′′ k + 2ra′ k + akλk)ψk = 0 (17) 其中λk 是∆s 的第k 个本征值。因此ak 必须满足 r 2 a ′′ k + 2ra′ k + λk ak = 0 (18) 这与用分离变量法解方程(14) 得出的结论一样。已知（见下节）λk = −k(k + 1), 可求得ak(r) = ckr k + dkr −(k+1)。ψk 的求解见下文。对于此问题，分离变量法可以求得所有解的一组基。关键点 在于∆s 的本征函数构成H 的一组基。 作业2.1. 利用极坐标系和分离变量法求解全平面上的调和方程，并讨论是否分离变量法求 出的解覆盖所有情形。 3 球面上的拉普拉斯算子的本征值问题 已知在球坐标系(θ, ϕ)下，（由Hodge 理论可推出）球面上的拉普拉斯算子可以写为 ∆u = 1 sin2 θ ∂ 2u ∂ϕ2 + 1 sin θ ∂ ∂θ sin θ ∂u ∂θ (19) = uϕϕ sin2 θ + (uθ sin θ)θ sin θ , (20) 其中θ ∈ [0, π]代表球表面的纬度(θ = 0代表北极)，ϕ ∈ [0, 2π]代表球表面的经度。 本例题的目标是求解以下本征值问题： −∆u = λu (21) 3/12
Coursenotes@hhu对于每个固定的6oE（0,元)，u(0o,Φ）可以看成一个关于Φ的周期函数，因此可以有傅里叶展开：+2(aicos k+bsink)u(8o,Φ) = (22)2i-1改变o，相应的ai,b；的值也会改变，因此ai,b;都是e的函数。因此u(e, ) = ao(0) + E(ax(0) cos kp + b(0) sin ka)(23)k-1将Eq((23)）代入Eq((20)，可得：Kak+(a sine))kbk(sin)2(-coskd+sink = Au(24)sine(sin?esin?esine-1对比其傅里叶展开的系数函数，可知函数ak（①),b（①）是如下本征值问题的解：ku,(u'sine)=入u(25)sin?sine这和分离变量法推出的方程相同。令x=cos，得到连带勒让德方程(associatedLegendreequa-tion):k2(1 -x2)u -2xu' +(α -(26))u=01-x2连带勒让得方程很难通过直接求解得到系数的通项公式。对于方程(26)一般常见的"解法"可以参考《数学物理方法（第五版）》：（梁昆淼著）10.2节，但这样的解法的关键在于要先”猜出”解的正确形式。但是怎么发现解的正确形式？这对于绝大部分的读者都是很困难的。以下我们提供-个相对正常的思路。这里我们先假设u=u(0)，即u和Φ无关。于是结合式(21)和式(20)，得到以下方程：d(sing)=-入u sing(27)de做变量替换：t=cose，则dt =sin ede(28)Idgd(29)-sinededt于是方程（27）在新变量t下可以写为（此时e可以看成关于t的函数）：d(-sin?e)-sine=-Ausine(30)dt4/12
Course notes@hhu 对于每个固定的θ0 ∈ (0, π), u(θ0, ϕ) 可以看成一个关于ϕ 的周期函数, 因此可以有傅里叶展开： u(θ0, ϕ) = a0 2 + ∞ ∑ i=1 (ai cos kϕ + bi sin kϕ) (22) 改变θ0，相应的ai , bi 的值也会改变，因此ai , bi 都是θ 的函数。因此 u(θ, ϕ) = a0(θ) + ∞ ∑ k=1 (ak(θ) cos kϕ + bk(θ) sin kϕ) (23) 将Eq.((23)) 代入Eq.((20))，可得： ∞ ∑ k=1 − k 2 ak sin2 θ + (a ′ k sin θ) ′ sin θ cos kϕ + − k 2 bk sin2 θ + (b ′ k sin θ) ′ sin θ sin kϕ = λu (24) 对比其傅里叶展开的系数函数，可知函数ak(θ), bk(θ) 是如下本征值问题的解： − k 2U sin2 θ + (U′ sin θ) ′ sin θ = λU (25) 这和分离变量法推出的方程相同。令x = cos θ，得到连带勒让德方程(associated Legendre equation)： (1 − x 2 )U ′′ − 2xU′ + (λ − k 2 1 − x 2 )U = 0 (26) 连带勒让得方程很难通过直接求解得到系数的通项公式。对于方程(26)一般常见的“ 解法”可以参 考《数学物理方法（第五版）》（梁昆淼著）10.2节，但这样的解法的关键在于要先“ 猜出” 解的 正确形式。但是怎么发现解的正确形式？这对于绝大部分的读者都是很困难的。以下我们提供一 个相对正常的思路。 这里我们先假设u = u(θ)，即u和ϕ无关。于是结合式(21)和式(20)，得到以下方程： d(sin θ du dθ ) dθ = −λu sin θ (27) 做变量替换：t = cos θ，则 dt = − sin θdθ (28) =⇒ d dθ = − sin θ d dt (29) 于是方程(27) 在新变量t下可以写为（此时θ可以看成关于t的函数）： − sin θ d(− sin2 θ du dt ) dt = −λu sin θ， (30) 4/12
Course notes@hhu即：d[(1 - P)显] = -^u(31)dt此时我们得到关于变量t的SL方程。注意这个方程不是正则的SL方程。将其展开化简得到入du2tdu(32)=0令f(t)=，8(t)=，他们有如下泰勒展开(洛朗级数)：8080-2tEf2k=2;2k+1Z(33)f(t) =k=0k=0EAr2k8(t) =(34)k=0即f2k=0,f2k+1=-2,82k=入，82k+1=0。于是有：[(2n - 1)foa2n-1 + (2n - 2)fia2n-2 +... + f2n-2a12n(2n -1)a2n =- (35)Ig2n-2ao+g2n-1a1+..+ga2n-2=[22 2ka2k] -{2a2k)](36)-1k-0Z(4k - ~)a2k(37)k=0以及[2nfoa2n +(2n-1)fia2n-1+... + f2n-1a1(2n+1)2na2n+1=(38)82n-1ao+82n-2a1+..+goa2n-11=2(2k +1)a2k+1-a2k+1(39)k=0k=0(40)(4k+2-入)a2k+1k=0为了进一步求得a,的具体表达式，将式(37)中的n换成n－1，有n-2(41)(2n-2)(2n-3)a2n=2=)(4k- ^)a2kk=0=2n(2n-1)a2n-(4n-4-入)a2n-2(42)5/12
Course notes@hhu 即: d[(1 − t 2 ) du dt ] dt = −λu (31) 此时我们得到关于变量t的SL方程。注意这个方程不是正则的SL方程。将其展开化简得到： d 2u dt2 − 2t 1 − t 2 du dt + λ 1 − t 2 u = 0 (32) 令f(t) = −2t 1−t 2 , g(t) = λ 1−t 2，他们有如下泰勒展开(洛朗级数)： f(t) = −2t ∞ ∑ k=0 t 2k = ∞ ∑ k=0 −2t 2k+1 (33) g(t) = ∞ ∑ k=0 λt 2k (34) 即f2k = 0, f2k+1 = −2, g2k = λ, g2k+1 = 0。于是有： 2n(2n − 1)a2n = − n (2n − 1)f0a2n−1 + (2n − 2)f1a2n−2 + . + f2n−2a1 o − n g2n−2a0 + g2n−1a1 + . + g0a2n−2 o (35) = n 2 n−1 ∑ k=1 2ka2k o − n λ n−1 ∑ k=0 a2k o (36) = n−1 ∑ k=0 (4k − λ)a2k (37) 以及 (2n + 1)2na2n+1 = − n 2n f0a2n + (2n − 1)f1a2n−1 + . + f2n−1a1 o − n g2n−1a0 + g2n−2a1 + . + g0a2n−1 o (38) =2 n−1 ∑ k=0 (2k + 1)a2k+1 − λ n−1 ∑ k=0 a2k+1 (39) = n−1 ∑ k=0 (4k + 2 − λ)a2k+1 (40) 为了进一步求得an的具体表达式，将式(37) 中的n换成n − 1，有 (2n − 2)(2n − 3)a2n−2 = n−2 ∑ k=0 (4k − λ)a2k (41) =2n(2n − 1)a2n − (4n − 4 − λ)a2n−2 (42) 5/12