对偶空间，张量代数，微分形式，斯托克斯公式

对偶空间，张量代数，微分形式，斯托克斯公式本讲义的目的是介绍并部分证明斯托克斯公式的一般形式[ dw =ia(1)anJn其中w是(n－1)阶微分形式，aQ代表可定向区域Q的边界。是嵌入映射诱导的拉回映射。斯托克斯公式可以看成微积分基本定理在高维情形的推广，格林公式和高斯散度定理都是它的特殊情形。定义微分形式需要利用张量代数、切空间、余切空间等概念。参考资料：《微分几何讲义》（陈省身、陈维桓著）第一、二、三章。1线性空间一个实数上的n维线性空间始终可以看成n维欧氏空间R"，是所有n维向量构成的集合。Rn中的元素（向量）有点乘（内积）、数乘、加减法等运算。如果n=3，则还有叉乘运算。1.1有限维线性空间的基和坐标：对于n-维线性空间V，假如ei,.,enEV，并且对于任意的αEV，存在实数ai(α)..,an(α)，使得(2)α=ai(α)ei+...+an(α)en则称[ei..,en)是V的一组基。ai(α),.,an(α)称为α的坐标。·坐标的唯一性。1.2有限维线性空间之间的线性映射-矩阵：对于n维线性空间Vi和m维线性空间V2，一个映射A：Vi→V2称为线性的，如果对任意的实数a,b以及a,βEV1:(3)A(aα +bβ) =aA(α) +bA(β)假如e1,,en是Vi的一组基，S1,,Sm是V2的一组基。则存在实数[aij：1<i≤n,1≤j≤m]：(4)A(ei)=aiS1+..+aimsm1

对偶空间，张量代数，微分形式，斯托克斯公式 本讲义的目的是介绍并部分证明斯托克斯公式的一般形式： Z Ω dω = Z ∂Ω i ∗ω (1) 其中ω 是(n − 1) 阶微分形式，∂Ω 代表可定向区域Ω 的边界。i ∗ 是嵌入映射诱导的拉回映射。 斯托克斯公式可以看成微积分基本定理在高维情形的推广，格林公式和高斯散度定理都是它的特 殊情形。定义微分形式需要利用张量代数、切空间、余切空间等概念。参考资料：《微分几何讲 义》（陈省身、陈维桓著）第一、二、三章。 1 线性空间 一个实数上的n维线性空间始终可以看成n维欧氏空间Rn，是所有n维向量构成的集合。Rn中的元 素（向量）有点乘（内积）、数乘、加减法等运算。如果n = 3，则还有叉乘运算。 1.1 有限维线性空间的基和坐标: 对于n−维线性空间V，假如e1, .,en ∈ V，并且对于任意的α ∈ V，存在实数a1(α), ., an(α)，使得 α = a1(α)e1 + . + an(α)en (2) 则称{e1, .,en}是V的一组基。a1(α), ., an(α)称为α的坐标。 • 坐标的唯一性。 1.2 有限维线性空间之间的线性映射–矩阵: 对于n维线性空间V1和m维线性空间V2，一个映射A : V1 → V2称为线性的，如果对任意的实数a, b 以及α, β ∈ V1： A(aα + bβ) = aA(α) + bA(β) (3) 假如e1, .,en 是V1 的一组基，s1, .,sm 是V2 的一组基。则存在实数{aij : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m}： A(ei) = ai1s1 + . + aimsm (4) 1

Course notes@hhu从这个角度看，线性映射A对应了一个n×m矩阵：(aia12...a1ma21a22..a2m(5)...(anlan2...anm这个矩阵由A,基向量(ei:1≤i≤n)和基向量si：1<i<m)决定。作业1.1.对于Vi的另一组基向量[e]和V2的另一组基向量5i)，假设对任意的i=1,2,.n(6)ei = piiei +... + pinen以及对任意的j=1,2,..,m(7)Sj=qjiS1+...+qjmSm求A在基向量[]和[si]下对应的矩阵。1.3线性映射诱导的坐标变换：假设A：V→V是一个线性映射，对于基向量(ei],有(8)A(ei) = aiie +... +ainen对于V中的任意向量α=Ciei+...+Cnen,A(α）在原基向量下的展开为：A(α) =CiA(ei) +... +CnA(en)a11a12aine...(9)= (C1,..,Cn)(anlan2annen因此A(α）在原基向量下的坐标为(a11a12ain(10)(C1,..Cn).anlan2ann作业1.2.设A是可逆映射，求α在新的基向量[A(e)：1<i<n下的坐标，2/12

Course notes@hhu 从这个角度看，线性映射A 对应了一个n × m 矩阵：   a11 a12 . . . a1m a21 a22 . . . a2m . . . an1 an2 . . . anm   , (5) 这个矩阵由A, 基向量{ei : 1 ≤ i ≤ n} 和基向量{si : 1 ≤ i ≤ m}决定。 作业1.1. 对于V1的另一组基向量{e˜i} 和V2的另一组基向量{s˜i}，假设对任意的i = 1, 2, ., n e˜i = pi1e1 + . + pinen (6) 以及对任意的j = 1, 2, ., m s˜j = qj1s1 + . + qjmsm, (7) 求A 在基向量{e˜i} 和{s˜j} 下对应的矩阵。 1.3 线性映射诱导的坐标变换: 假设A : V → V 是一个线性映射，对于基向量{ei}, 有 A(ei) = ai1e1 + . + ainen (8) 对于V中的任意向量α = c1e1 + . + cnen, A(α) 在原基向量下的展开为： A(α) = c1A(e1) + . + cnA(en) = (c1, ., cn)   a11 a12 . . . a1n . . . an1 an2 . . . ann     e1 . . . en   , (9) 因此A(α) 在原基向量下的坐标为 (c1, ., cn)   a11 a12 . . . a1n . . . an1 an2 . . . ann   (10) 作业1.2. 设A 是可逆映射，求α 在新的基向量{A(ei) : 1 ≤ i ≤ n} 下的坐标。 2/12

Course notes@hhu1.4矩阵的秩：(a11ain对于矩阵A=它的秩定义为由其所有行向量αi=（a11...,a1n）张成的线性空:(aml...amn间的维数，也可定义为由其所有列向量β；=所张成的线性空间的维数。两者等价。ami1.5矩阵的行列式：(a11ain对于矩阵A=它的行列式定义为:(an...amdet(A) =Z (-1)sgn(0) a1o(1)a2(2).ano(n)(11)cEPerm·det(A）等于其行向量（或列向量）生成的平行2n-面体的体积。·det(A）只有当A是矩阵时才有定义。当A是一个线性映射时，对于给定的一组基，A可以看成一个矩阵。对于不同的基，A对应的矩阵也不一样。但是数学上可以证明，对于不同的基，A对应矩阵的行列式都是一样的。因此对于线性映射A,det(A）也是良定义的。·det(A）可以看成线性映射A的体积膨胀倍数。作业1.3.解释（或证明）为什么|det(AB)/=|det(A)/det(B)？2对偶空间对于n维线性空间V，考虑线性映射1：V→R。所有这样的线性映射构成的集合也是一个线性空间，称之为V的对偶空间V*。V*和V有相同的维度。对于V中的基向量[ei：1<in，可以定义一组V*的基向量fe*，称之为feil的对偶基：(12)ei(e;) = dij·e的定义不光依赖于ei，还依赖于.,ei-1,ei+1..2.1.对偶映射假如U,V分别为n维和m维线性空间，{ui}和[ui)分别是V,U的一组基向量，而A：U→V是一个线性映射，满足m(13)A(ui) =)Eaijujj=13/12

Course notes@hhu 1.4 矩阵的秩: 对于矩阵A =   a11 . . . a1n . . . am1 . . . amn  ，它的秩定义为由其所有行向量αi = (a11, . . . , a1n) 张成的线性空 间的维数，也可定义为由其所有列向量βj =   a1j . . . amj   所张成的线性空间的维数。两者等价。 1.5 矩阵的行列式: 对于矩阵A =   a11 . . . a1n . . . an1 . . . ann  ，它的行列式定义为 det(A) = ∑ σ∈Permn (−1) sgn(σ) a1σ(1) a2σ(2) .anσ(n) (11) • det(A) 等于其行向量（或列向量）生成的平行2n−面体的体积。 • det(A) 只有当A 是矩阵时才有定义。当A 是一个线性映射时，对于给定的一组基，A 可以 看成一个矩阵。对于不同的基，A 对应的矩阵也不一样。但是数学上可以证明，对于不同的 基，A 对应矩阵的行列式都是一样的。因此对于线性映射A, det(A) 也是良定义的。 • det(A) 可以看成线性映射A 的体积膨胀倍数。 作业1.3. 解释（或证明）为什么| det(AB)| = | det(A)|| det(B)|? 2 对偶空间 对于n维线性空间V，考虑线性映射l : V → R。所有这样的线性映射构成的集合也是一个线性空 间，称之为V 的对偶空间V ∗。V ∗ 和V 有相同的维度。对于V 中的基向量{ei : 1 ≤ i ≤ n}，可以定 义一组V ∗的基向量{e ∗ i }，称之为{ei} 的对偶基： e ∗ i (ej) = δij (12) • e ∗ i 的定义不光依赖于ei，还依赖于.,ei−1,ei+1, .。 2.1 对偶映射: 假如U, V分别为n维和m维线性空间，{vi} 和{ui} 分别是V, U 的一组基向量，而A : U → V 是一 个线性映射，满足 A(ui) = m ∑ j=1 aijvj (13) 3/12

Course notes@hhu对任意的*EV*，定义线性映射A*(u*)EU*，使得对任意的uEU,(A*(o*)(u) = 0*(A(u)(14)如此我们得到一个线性映射A*：V*→U*。直接验算：A*(of)(u) =;(A(u,) = i(akok) = (15)akok=aik=1k=1因此Eajiu,(16)A*(u*) =j=1·A*在基向量[u],u)下对应的矩阵是A在基向量ui],{ui下对应的矩阵的转秩。A*称之为A 的对偶映射。·假设A:U→V,B:V→W,可以证明(BoA)*=A*oB*3张量代数3.1线性空间的张量积：对于任意的线性空间V，定义VV为所有形如U1U2的元素张成的线性空间，并且满足如下定律（a,b,c,dER)：(17)(aVi+bv2)?(cV3+dv4)=acViV3+adViV4+bcV2V3+bd2V4·如果[e])是V的一组基向量，则[eie是VV的一组基向量。. dim(V @ V) = (dim V)2·(VV)V=V(VV），因此可以简单写为VVV·k个V做张量积写为Vk，其元素称为k阶张量。3.2Ak.假如A：V一→U是一个线性映射，则它诱导线性映射Aok : vok→ u8k(18)Vi@...@Uk → A(Ui) ...@A(vk)3.3对称张量：对于一个任意的2阶张量T=fijei?ej，可以看出，T对应了一个矩阵F=（fij)1<ij<n。反过来ij=14/12

Course notes@hhu 对任意的v ∗ ∈ V ∗，定义线性映射A ∗ (v ∗ ) ∈ U∗，使得对任意的u ∈ U，  A ∗ (v ∗ )  (u) = v ∗ (A(u)) (14) 如此我们得到一个线性映射A ∗ : V ∗ → U∗。直接验算： A ∗ (v ∗ i )(uj) =v ∗ i (A(uj)) = v ∗ i ( m ∑ k=1 ajkvk) = m ∑ k=1 ajkδik = aji (15) 因此 A ∗ (v ∗ i ) = n ∑ j=1 ajiu ∗ j (16) • A ∗在基向量{u ∗ i }, {v ∗ j } 下对应的矩阵是A在基向量{ui}, {vj}下对应的矩阵的转秩。A ∗ 称之 为A 的对偶映射。 • 假设A : U −→ V，B : V −→ W，可以证明(B ◦ A) ∗ = A ∗ ◦ B ∗ . 3 张量代数 3.1 线性空间的张量积: 对于任意的线性空间V，定义V ⊗ V 为所有形如v1 ⊗ v2 的元素张成的线性空间，并且满足如下定 律（a, b, c, d ∈ R）： (av1 + bv2) ⊗ (cv3 + dv4) = acv1 ⊗ v3 + adv1 ⊗ v4 + bcv2 ⊗ v3 + bdv2 ⊗ v4 (17) • 如果{ei} 是V 的一组基向量，则{ei ⊗ ej} 是V ⊗ V 的一组基向量。 • dim(V ⊗ V) = (dim V) 2 • (V ⊗ V) ⊗ V = V ⊗ (V ⊗ V)，因此可以简单写为V ⊗ V ⊗ V • k个V 做张量积写为V ⊗k，其元素称为k阶张量。 3.2 A ⊗k : 假如A : V −→ U 是一个线性映射，则它诱导线性映射 A ⊗k : V ⊗k −→ U ⊗k v1 ⊗ · · · ⊗ vk −→ A(v1) ⊗ · · · ⊗ A(vk) (18) 3.3 对称张量: 对于一个任意的2阶张量T = n ∑ i,j=1 fijei ⊗ ej , 可以看出，T 对应了一个矩阵F = (fij)1≤i,j≤n。反过来 4/12

Course notes@hhu任意一个n×n矩阵可以对应一个2阶张量。FT对应的2阶张量为/fjie;ei≠T，除非F是对称ij=1矩阵。对于任意的2阶张量T=fijeej，可以将其对称化：ijSym(T) =,Z(fi + fn)e; @ ej(19)i,j对于k阶张量T=fi-iei...ei，定义i..jinAZ f[Eeeia]Sym(T) = (20)1cePermi1..ik反对称张量：3.4对于任意k阶张量T=fiiei③.ei，可以将其反对称化iir.,ikAsym(T) =是Z fi [[Z (-1)gn(o)eir @...@eic)(21)k!in...ikCEPerm由V生成的所有k阶反对称张量构成的线性空间记为^V。·记ei ... ei=E(-1)gn()ei) @.@eiga)gePermk。可以证明，[ei^..ei:1i<iz<.<n]构成^的—组基。可以证明，eiNenNeiA...ei=ei,eiAeiA...i. 若 EA*V,nEA'V, 则定义A=ktAsym(s@n)1-111作业3.1.对于2阶张量T=fije:ej，写出Asym(T)的具体表达式。证明任意二阶张量可.以写成一个对称2阶张量和反对称2阶张量的和。作业3.2.证明ei^.^ei：1i<i2<.*<i≤n)构成^的一组基。作业3.3.证明e;^e,=-e;^ei5/12

Course notes@hhu 任意一个n × n矩阵可以对应一个2阶张量。F ⊤ 对应的2阶张量为 n ∑ i,j=1 fjiei ⊗ ej ̸= T，除非F是对称 矩阵。 对于任意的2阶张量T = ∑ ij fijei ⊗ ej，可以将其对称化： Sym(T) = 1 2 ∑ i,j (fij + fji)ei ⊗ ej (19) 对于k 阶张量T = ∑ i1,.,ik fi1.ik ei1 ⊗ · · · ⊗ eik，定义 Sym(T) = 1 k! ∑ i1,.,ik fi1.ik h ∑ σ∈Permk eiσ(1) ⊗ · · · ⊗ eiσ(k) i (20) 3.4 反对称张量: 对于任意k 阶张量T = ∑ i1,.,ik fi1.ik ei1 ⊗ · · · ⊗ eik，可以将其反对称化： Asym(T) = 1 k! ∑ i1,.,ik fi1.ik h ∑ σ∈Permk (−1) sgn(σ) eiσ(1) ⊗ · · · ⊗ eiσ(k) i (21) 由V生成的所有k 阶反对称张量构成的线性空间记为 Vk V。 • 记ei1 ∧ · · · ∧ eik = ∑ σ∈Permk (−1) sgn(σ) eiσ(1) ⊗ · · · ⊗ eiσ(k) • 可以证明，{ei1 ∧ · · · ∧ eik : 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n} 构成 Vk V 的一组基。 • 可以证明，ei1 ∧ · · · ∧ eil ∧ eil+1 ∧ . . .eik = −ei1 ∧ · · · ∧ eil+1 ∧ eil ∧ . . .eik • 若ξ ∈ Vk V, η ∈ ∧lV，则定义ξ ∧ η = (k+l)! k!l! Asym(ξ ⊗ η) 作业3.1. 对于2阶张量T = ∑ i,j fijei ⊗ ej，写出Asym(T)的具体表达式。证明任意二阶张量可 以写成一个对称2阶张量和反对称2阶张量的和。 作业3.2. 证明{ei1 ∧ · · · ∧ eik : 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n} 构成 Vk V 的一组基。 作业3.3. 证明ei ∧ ej = −ej ∧ ei 5/12