施图姆-刘维尔（Sturm-Liouville）理论

施图姆-刘维尔（Sturm-Liouville）理论下载地址：https://hyxy.hhu.edu.cn/2022/0830/c8640a239983/page.htm参考资料：https://www.iitg.ac.in/physics/fac/charu/courses/ph402/SturmLiouville.pdf定义o.1（Sturm-Liouville本征值问题).对于给定区域D（可能是[a,b]，[a,+00),(a,00),或者(-00,+o0)等等）。对于D上的已知的函数p(),q(a),w()其中p（）可微，施图姆-刘维尔本征值问题（以下简称SL问题）为求常数入和函数y满足如下形式的二阶常微分方程：2[0m)) +q(r)y= Xw(r)y(1)drdr当w>0时，对于D上任意的二次可微函数f，如下定义的算子（函数到函数的映射）L被称为Sturm-Liouville算子：+)L(f) ==(2) dr.一个完整的求解本征值的问题应该还附带对解在D边界上的要求，俗称边界条件。所谓的施图姆-刘维尔理论，即在p.,W以及边界条件满足特定条件（以下称之为正则性）时，对SL问题的解所普遍具有的数学性质的描述。首先我们证明，SL方程左边的部分并不是一个特别特殊的情形。定理0.1.对于如下形式的一般二阶常微分方程(3)fy"+gy'+hy=0如果f()≠0，则可以将其等价地变换为(4)-(py)+qy=0的形式。证明.考虑在方程(3）两边同时乘以函数m(r），m待定，使得存在某个函数F,mf=F,mg=F。然后方程(3）就可以转化为(5)(Fy)'+mhy=0.为了确定F、我们发现F'mgmf=F=(lnF))(6)由此我们得出g(t)F(r) = expat(7)f(t)g(t)at)口相应的，m(a)=explJaf(t)1

施图姆-刘维尔(Sturm-Liouville) 理论 下载地址: https://hyxy.hhu.edu.cn/2022/0830/c8640a239983/page.htm 参考资料：https://www.iitg.ac.in/physics/fac/charu/courses/ph402/SturmLiouville.pdf 定义0.1 (Sturm-Liouville 本征值问题). 对于给定区域D （可能是[a, b], [a, +∞), (a, ∞), 或者(−∞, +∞) 等等）。对于D上的已知的函数p(x), q(x), w(x)， 其中p(x)可微，施图姆-刘维尔本征值问题(以下简称SL问题)为求常数λ和函 数y满足如下形式的二阶常微分方程： − d dx p(x) dy dx + q(x)y = λw(x)y (1) 当w > 0 时，对于D 上任意的二次可微函数f，如下定义的算子(函数到函 数的映射) L 被称为Sturm-Liouville算子： L(f) = 1 w n − d dx p(x) df dx + qfo (2) 一个完整的求解本征值的问题应该还附带对解在D 边界上的要求，俗称 边界条件。所谓的施图姆-刘维尔理论，即在p, q, w 以及边界条件满足特定条 件(以下称之为正则性)时，对SL问题的解所普遍具有的数学性质的描述。 首先我们证明，SL方程左边的部分并不是一个特别特殊的情形。 定理0.1. 对于如下形式的一般二阶常微分方程： fy′′ + gy′ + hy = 0， (3) 如果f(x) ̸= 0，则可以将其等价地变换为 −(py′ ) ′ + qy = 0 (4) 的形式。 证明. 考虑在方程(3) 两边同时乘以函数m(x)，m待定，使得存在某个函 数F, mf = F, mg = F ′。然后方程(3) 就可以转化为 (F y′ ) ′ + mhy = 0。 (5) 为了确定F，我们发现 mg mf = F ′ F = (ln F) ′ (6) 由此我们得出 F(x) = exp{ Z x a g(t) f(t) dt} (7) 相应的，m(x) = 1 f(x) exp{ Z x a g(t) f(t) dt} 1

1一个关于（二阶）常微分方程的一般结论注意对于给定的入方程(1)是一个二阶常微分方程。定理1.1.对于任意实数区间[a,b]上的任意二阶常微分方程：(8)y" +f(r)y +g(a)y =h(ar),假设其中f,g,h都是[a,b]上的连续函数，则对于给定的初始值y(a)=α,y(a)=β，方程(8)在[a,可]上有唯一解。证明：对于方程（8）的任意满足初始条件的解u：：定义向量值函数y(T))ER2.0(a) = ((9)y(r)则e一定满足如下一阶常微分方程：d=()-(-μ=g-t)-(。 -)o+(-%)(10)dr即e'= A0 +n,(11)其中A(r) =(12)(-g(z) -f(a)。 n(a)=(-h(r))注意固定初始值y(a）和y(a）等价于固定的初始值。假若方程(8）对同一个初始值有两个不同的解y1和32，则相应的有满足同一个方程(11)的1和62，且01(a)=02(a)。令中=01-02,则满足：dp= Ad(13)drd(a) =(14)因此d012= 2gT de_=20TAg(15)drdr由于矩阵值函数A在[a,b]连续，因此存在不依赖于的常数m>0,使得对任意的[a,],A。因此(0)=0且()<m。因此(16)(e-m0()2)=e-m(l)-m)<0。因此e-m(r)/2<e-mald(0)/2=0。但这不可能成立，因此方程(8)不存在满足同一初始条件的不同解。口2

1 一个关于（二阶）常微分方程的一般结论 注意对于给定的λ, 方程(1)是一个二阶常微分方程。 定理1.1. 对于任意实数区间[a, b] 上的任意二阶常微分方程： y ′′ + f(x)y ′ + g(x)y = h(x), (8) 假设其中f, g, h 都是[a, b] 上的连续函数，则对于给定的初始值y(a) = α, y ′ (a) = β, 方程(8) 在[a, b] 上有唯一解。 证明. 对于方程(8) 的任意满足初始条件的解y, ；定义向量值函数: θ(x) =  y(x) y ′ (x)  ∈ R 2。 (9) 则θ 一定满足如下一阶常微分方程： d dx θ =  y ′ y ′′ =  y ′ −fy′ − gy − h  =  0 1 −g −f  θ +  0 −h  (10) 即 θ ′ = Aθ + η, (11) 其中 A(x) =  0 1 −g(x) −f(x)  , η(x) =  0 −h(x)  。 (12) 注意固定初始值y(a) 和y ′ (a) 等价于固定θ 的初始值。假若方程(8) 对同一个 初始值有两个不同的解y1 和y2，则相应的有满足同一个方程(11)的θ1 和θ2， 且θ1(a) = θ2(a)。令ϕ = θ1 − θ2, 则ϕ 满足： dϕ dx = Aϕ (13) ϕ(a) =  0 0  (14) 因此 d|ϕ| 2 dx = 2ϕ ⊤ dϕ dx = 2ϕ ⊤Aϕ (15) 由于矩阵值函数A 在[a, b] 连续，因此存在不依赖于x 的常数m > 0, 使得对任意 的x ∈ [a, b]，ϕ ⊤Aϕ < m 2 |ϕ| 2。因此|ϕ(0)| 2 = 0 且(|ϕ| 2 ) ′ < m|ϕ| 2。因此 (e −mx|ϕ(x)| 2 ) ′ = e −mx((|ϕ| 2 ) ′ − m|ϕ| 2 ) < 0。 (16) 因此e −mx|ϕ(x)| 2 < e−ma|ϕ(0)| 2 = 0。但这不可能成立，因此方程(8)不存在满 足同一初始条件的不同解。 2

推论1.2.对于方程(1)，假如闭区间[ao,bo] CD，并且对任意的rE[ao,bo]有p()≠0。那么对于一个给定的入，方程(1)的解空间限制在在[ao,bol上至多是2维。注1.1.对于正则的（下文定义正则性）SL问题以及固定的入，方程(1)的解空间至多是一维的。但是对于非正则的SL问题，其解空间有可能是2维，但维数不会超过2。2正则的(regular)SL问题定义2.1.一个SL问题被称为正则的，如果D=[a,b]是一个闭区间，P,q,w,p都在D上连续，P,W>0，并且附带（齐次混合）边界条件：aoy'(a) +Boy(a) =0(17)(a1y (b)+B1y(b)= 0其中α0α1,βo,β都是实数，且+陷>0,+陷>0。正则的SL本征值问题的解有一系列简洁漂亮的数学性质，被称为SL理论。SL理论一般用希尔伯特空间(Hilbertspace)这套语言描述。3希尔伯特空间（Hilbertspace)简介希尔伯特空间的概念属于泛函分析这个数学分支。这套概念的产生源于对偏微分方程的解的存在性和唯一性的研究。偏微分方程是用来刻画自然界物理状态演变规律的方程。尽管自然界的物理状态始终存在且唯一，但许多物理方程的推导始终存在很明显的人为的假设。因此并不能先验地认为被用来描述自然界规律的偏微分方程的解一定存在且唯一。在很多重要的情形，一个偏微分方程对应于一个算子（参考SL问题对应到SL算子），和这个偏微分方程相关的某个函数空间构成一个有内积的线性空间（即希尔伯特空间）。而希尔伯特空间上的里兹表示定理(Rieszrepresentationtheorem)将偏微分方程求解的问题划归为证明之前那个算子在当前希尔伯特空间的度量下连续的问题。在实际的应用中，一个希尔伯特空间一般是由一些满足特定条件的函数组成的线性空间。但是在希尔伯特空间这个抽象概念的定义中，我们可以暂时忘记这个空间由一堆函数组成，而将其想象成一个向量空间。定义3.1.一个复数域上的（完备）线性空间H被称为希尔伯特空间，如果存在一个（内积）映射：(18)():H×H→C,使得对任意的y1,J23J3，94EH，i,a2,a3a4EC，满足：(91,y2) =(y2,31)(a1y1+a2y2,a3y3+a4y4)=aias(y1,93)+aia4(y1,y4)+a2as(y2,y3)+a2ay(92,94),3

推论1.2. 对于方程(1), 假如闭区间[a0, b0] ⊂ D，并且对任意的x ∈ [a0, b0] 有p(x) ̸= 0。那么对于一个给定的λ，方程(1) 的解空间限制在在[a0, b0]上至多 是2维。 注1.1. 对于正则的（下文定义正则性）SL问题以及固定的λ，方程(1)的解 空间至多是一维的。但是对于非正则的SL问题，其解空间有可能是2维，但维 数不会超过2。 2 正则的(regular)SL问题 定义2.1. 一个SL问题被称为正则的，如果D = [a, b]是一个闭区间，p, q, w, p′都 在D上连续，p, w > 0，并且附带（齐次混合）边界条件： ( α0y ′ (a) + β0y(a) = 0 α1y ′ (b) + β1y(b) = 0 (17) 其中α0, α1, β0, β1 都是实数，且α 2 0 + β 2 0 > 0, α 2 1 + β 2 1 > 0。 正则的SL本征值问题的解有一系列简洁漂亮的数学性质，被称为SL理 论。SL理论一般用希尔伯特空间(Hilbert space)这套语言描述。 3 希尔伯特空间(Hilbert space)简介 希尔伯特空间的概念属于泛函分析这个数学分支。这套概念的产生源于对偏微 分方程的解的存在性和唯一性的研究。偏微分方程是用来刻画自然界物理状态 演变规律的方程。尽管自然界的物理状态始终存在且唯一，但许多物理方程的 推导始终存在很明显的人为的假设。因此并不能先验地认为被用来描述自然界 规律的偏微分方程的解一定存在且唯一。在很多重要的情形，一个偏微分方程 对应于一个算子（参考SL问题对应到SL算子），和这个偏微分方程相关的某个 函数空间构成一个有内积的线性空间(即希尔伯特空间)。而希尔伯特空间上的 里兹表示定理(Riesz representation theorem)将偏微分方程求解的问题划归为证 明之前那个算子在当前希尔伯特空间的度量下连续的问题。 在实际的应用中，一个希尔伯特空间一般是由一些满足特定条件的函数组 成的线性空间。但是在希尔伯特空间这个抽象概念的定义中，我们可以暂时‘忘 记’这个空间由一堆函数组成，而将其想象成一个向量空间。 定义3.1. 一个复数域上的（完备）线性空间H 被称为希尔伯特空间，如果 存在一个（内积）映射： ⟨., .⟩ : H × H → C, (18) 使得对任意的y1, y2, y3, y4 ∈ H, a1, a2, a3, a4 ∈ C, 满足： ⟨y1, y2⟩ = ⟨y2, y1⟩， ⟨a1y1 + a2y2, a3y3 + a4y4⟩ = a1a¯3⟨y1, y3⟩ + a1a¯4⟨y1, y4⟩ + a2a¯3⟨y2, y3⟩ + a2a¯4⟨y2, y4⟩， 3

《y1,y1)≥0，且等号成立当且仅当y1=0eH注3.1.这里完备性是拓扑里的概念，而不是指正交基的完备性，感兴趣的同学请自行查阅任何一本网上的免费中文拓扑教材。定义3.2.对于任意的yEH，Ilyll:=《y,y）被称为y的模（对应于向量的模的概念）。假设工是一个指标集合（可能有限，也可能无限），如果[ei)ie工CH，满足：(1),对任意的i,jEI，有(ei,ej)=j;(2),对任意的yEH，以及任意的e>0，都存在有限集合[ei=1..n,以及系数ai，使得lly-h=aikell≤e。则称[eilier为H的一组单位正交基。例3.1.令凡=是[0,2元)上的复值连续函数，且f(0=f(2元)。对于，g孔，定义fgdr(19)(f.g)=但是H还不是一个希尔伯特空间，因为H不完备。令H=孔，此时H是一个（完备的）希尔伯特空间。也就是说，H中的元素不光有[0,2元]上的连续函数还有[0.2元]上的一部分不连续函数。比如阶梯函数Jo当a<T,h(r) =(20)1当≥元。这些额外的函数h有一个共同特点是，对任意小的e>0,都存在一个fEH满足"[h-Pdr这些额外的h属于H。这个H通常写为H=：J2"1f2dr<o0。H有单位正交基[ek=eik]kez一个H上的线性算子L不是一定要定义在整个希尔伯特空间上。通常L只定义在H的一个（稠密）线性子空间上，这个（稠密）线性子空间一般被记为Dom(L)。其中Dom是domain的缩写：指定义域。例3.2.比如对于H=(f：JIfPda<oo]，对于f,gEH，其内积定义为(f,g)=Jfgda.考虑L(f)=%。很显然，L不可能对所有的连续函数f都有直接定义，因为存在连续且平方可积，但是不可微的函数。此时Dom(L）=f：feH可微且JIf'2dr<oo)。Dom(L)是H的稠密子空间，因为任意一个闭区间上的连续函数都可以用一个可微函数任意逼近。在某些情形，线性算子L的定义域可能可以扩张到一个更大的子空间，但这个扩张依赖于H的选取。在本讲义中，我们只选取显而易见的Dom(L)。4

⟨y1, y1⟩ ≥ 0 ，且等号成立当且仅当y1 = 0 ∈ H 注3.1. 这里完备性是拓扑里的概念，而不是指正交基的完备性，感兴趣的 同学请自行查阅任何一本网上的免费中文拓扑教材。 定义3.2. 对于任意的y ∈ H，∥y∥ := ⟨y, y⟩ 被称为y的模（对应于向量的模 的概念）。假设I是一个指标集合（可能有限，也可能无限），如果{ei}i∈I ⊂ H，满足： (1), 对任意的i, j ∈ I，有⟨ei , ej ⟩ = δij ; (2), 对任意的y ∈ H，以及任意的ϵ > 0，都存在有限集合{eik }k=1.n,以及系 数aik，使得∥y − Pn k=1 aikei ∥ ≤ ϵ。 则称{ei}i∈I为H的一组单位正交基。 例3.1. 令H˜ = n f是[0, 2π]上的复值连续函数，且f(0) = f(2π) o 。对f, g ∈ H˜，定义 ⟨f, g⟩ = Z 2π 0 fgdx ¯ 。 (19) 但是H˜还不是一个希尔伯特空间，因为H˜不完备。令H = H˜，此时H是一个 （完备的）希尔伯特空间。也就是说，H中的元素不光有[0, 2π]上的连续函数， 还有[0, 2π]上的一部分不连续函数。比如阶梯函数 h(x) = ( 0 当x < π， 1 当x ≥ π。 (20) 这些额外的函数h有一个共同特点是，对任意小的ϵ > 0,都存在一个f ∈ H˜， 满足 Z 2π 0 |h − f| 2 dx < ϵ。这些额外的h属于H \ H ¯˜。这个H通常写为H = n f : R 2π 0 |f| 2dx < ∞ o 。H有单位正交基{ek = e ikx}k∈Z。 一个H上的线性算子L不是一定要定义在整个希尔伯特空间上。通常L 只定义在H 的一个(稠密)线性子空间上，这个(稠密)线性子空间一般被记 为Dom(L)。其中Dom 是domain的缩写，指定义域。 例3.2. 比如对于H = {f : R 1 0 |f| 2dx < ∞}，对于f, g ∈ H, 其内积定义 为⟨f, g⟩ = R 1 0 fgdx ¯ . 考虑L(f) = df dx。很显然，L 不可能对所有的连续函数f 都 有直接定义，因为存在连续且平方可积，但是不可微的函数。此时Dom(L) = {f : f ∈ H 可微且 R 1 0 |f ′ | 2dx < ∞}。Dom(L) 是H 的稠密子空间，因为任意 一个闭区间上的连续函数都可以用一个可微函数任意逼近。在某些情形，线性 算子L的定义域可能可以扩张到一个更大的子空间，但这个扩张依赖于H的选 取。在本讲义中，我们只选取显而易见的Dom(L)。 4

定义3.3.一个线性算子L：Dom(L）→H被称为对称算子，如果对于任意的y1,y2EDom(L),满足：(21)(91, Ly2) = (Ly1, 92)例3.3. 令 Jop, la,=],考虑%。令Dom(L)={fEH且于2次连续可微)。此时对于f,g EDom(L)(22)(Lf.g) = [(-fa- fu)gdrdy--raan d+ fugudady(23)fagr+fudrdy(24)因此(Lf,g)=(f,Lg)。定理3.1.希尔伯特空间H上的对称算子L的特征值一定是实数。证明.设入为L的一个特征值，且0≠yEDom(L）为其对应的一个特征向量。由定义，(y,y) = (y, ay) = (y, Ly) = (Ly, y) = (Ay, y) = ^(y, y) (25)口由于(y,y)>0,因此入=。定理3.2.若希尔伯特空间H上的对称算子L有两个不同的特征值入1和入2，其对应的特征向量y1，y2一定正交，即(91, y2) = 0(26)证明.由定义，2(31, 92) = 《y1, A2y2) = (1, Ly2) = (Ly1,32) = (A13/1, 9/2) = 入1(91, y2) 。(27)口已证明入1，入2都是实数，因此若入1≠入2，必有《9/1，9/2）=0。4正则SL本征值问题的解的性质对于正则的SL本征值问题，定义希尔伯特空间H=[复值函数y:满足/w(z)ly(r)2dr<oo)。(28)5

定义3.3. 一个线性算子L : Dom(L) → H被称为对称算子，如果对于任意 的y1, y2 ∈ Dom(L), 满足： ⟨y1, Ly2⟩ = ⟨Ly1, y2⟩ (21) 例3.3. 令H = n f : R [0,1]2 |f| 2 < ∞, f    ∂[0,1]2 = 0o 。考虑L = −∆ = − ∂ 2 ∂x2 − ∂ 2 ∂y2 。令Dom(L) = {f ∈ H且f 2次连续可微}。此时对于f, g ∈ Dom(L) ⟨Lf, g⟩ = Z 1 0 Z 1 0 (−fxx − fyy)¯gdxdy (22) = − Z 1 0 fxg¯    (1,y) (0,y) dy + Z 1 0 Z 1 0 fxg¯xdxdy − Z 1 0 fyg¯    (x,1) (x,0) dx + Z 1 0 Z 1 0 fyg¯ydxdy (23) = Z 1 0 Z 1 0 fxg¯x + fyg¯ydxdy (24) 因此⟨Lf, g⟩ = ⟨f, Lg⟩。 定理3.1. 希尔伯特空间H 上的对称算子L 的特征值一定是实数。 证明. 设λ为L的一个特征值，且0 ̸= y ∈ Dom(L) 为其对应的一个特征向 量。由定义， λ¯⟨y, y⟩ = ⟨y, λy⟩ = ⟨y, Ly⟩ = ⟨Ly, y⟩ = ⟨λy, y⟩ = λ⟨y, y⟩。 (25) 由于⟨y, y⟩ > 0, 因此λ = λ¯。 定理3.2. 若希尔伯特空间H 上的对称算子L 有两个不同的特征值λ1 和λ2， 其对应的特征向量y1, y2一定正交，即 ⟨y1, y2⟩ = 0 (26) 证明. 由定义， λ¯ 2⟨y1, y2⟩ = ⟨y1, λ2y2⟩ = ⟨y1, Ly2⟩ = ⟨Ly1, y2⟩ = ⟨λ1y1, y2⟩ = λ1⟨y1, y2⟩。 (27) 已证明λ1, λ2 都是实数，因此若λ1 ̸= λ2, 必有⟨y1, y2⟩ = 0。 4 正则SL本征值问题的解的性质 对于正则的SL本征值问题，定义希尔伯特空间 H = {复值函数y : 满足 Z D w(x)|y(x)| 2 dx < ∞}。 (28) 5