在实际检验中,也有可能作出错误判断。实际上假设H。为真时,有可能犯拒绝H的错误,称 这类“弃真的错误为第一类错误。犯这类错误的概率为a,即 P(拒绝HH为真}=P{|X一p|>k|4=}=a 又,当H为不真时,也有可能接受H0,称这类“取伪”的错误为第二类错误。犯这类错误 的概率为β,即 P{接受H|H为假}=P(|X一;<kH≠}-P 在样本容量确定后犯两类错误的概率不可能同时减少减小其中一个,另一个就会增大 如图3一1所示。要它们同时减少,只有增加样本容量。在实际问题中,一般总是控制犯第-类 错误的概率a。a的大小视具体情况而定,通常取a为0.1,0.05,0.001,0.0005,0.0001等数 值 f(s) 拒绝域 接受域 折绝域 图3…1接受域与拒绝域 有时候,我们只关心总体均值是否增大,譬如,试验新工艺以提高产品质量,如材料强度 元件使用寿命等指标。这时,总体均值越大越好。这时的检验一般叙述为:在水平a下,检验假 Ho:A=Ai Hi:A>Ao 这里H即为原假设,H1为备择假设。这种假设检验称为右侧检验,如前面检验类似,有 P(X-uo>k)=a 若x-1>k,则拒绝H,接受H1,反之则接受H,拒绝H1。 如,当检验食品卫生指标时,希望细菌含量越低越好。这时我们则用左侧检验,即在水 平a下检验假设 H :=; 左侧检验和右侧检验都称为单侧检验。与之相对应,在例3-9中所述的检验称为双侧检 验双侧检验又可叙述为:在水平a下,检验假设 H H1:pH≠ 但双侧检验的备择假设常路而不写 综上所述归纳出处理假设检验问题的步骤如下 (1)根据实际问题提出假设H(对于单侧检验还应写出备择假设H1); (2)选取适当的水平a (3)确定检验用的统计量和拒绝域的形式; (4)求出拒绝域 5)根据样本观察值确定接受还是拒绝H
下面对正态总体的均值和方差的检验进行讨论,大家将会看到,检验所用的统计量与区间 估计相应问题的函数形式是一致的。因此,只简单给出检验的形式,不作详细论述 3.3.2正态总体均值的假设检验 33.2.1已知方差a2,均值H的检验 1,单个正态总体均值p的假设检验 因为x一凸~N(0,1,于是选取统计量 (1)双侧检验 这个问题叙述为,在水平a下检验假设 H 由于当H成立时,有 P(1凸1>x,=P1-|>.x,)=a 故拒绝域为 (2)右侧检验 在水平a下,检验假设 H 由于当H成立时,有 X 故拒绝域为 (3-19) (3)左侧检验 在水平a下,检验假设 H:g=;H1:κ<k (3~20) 由于当H成立时,有 故拒绝域为 (3-21) 2.两个正态总体均值差的检验 设Ⅹ和Y分别为来自总体X~N(,)和Y~N(p2,a)的容量为n和n2的样本均值 d和d为已知,X与Y相互独立。由第2章知 (X-Y P2)
故选取统计量为 Nn (1)检验假设 当H成立时,有 P{|U1|>zm2} 故拒绝域为 (2)检验假设 H6;H1=2;H1:p>p2 当Ha成立时,有 于是拒绝域为 (3)检验假设 Ho:A=A: H1: #<uy 当H成立时,有 ze)=a 故拒绝域为 (3-28) 以上检验都是采用服从正态分布的统计量,故称为U检验法 3.3.2.2方差σ未知时均值μ的检验 由于方差未知,必须选用t分布的统计量进行检验,故称t检验法。在实际应用中,方差多 是未知的,因此,检验法比U检验法应用更为普遍 1.单个正态总体均值的假设检验 设总体X服从正态分布N(H,d2),参数p,d未知,其容量为n的样本均值和方差分别为 X和S2,则根据第2章知 故选用统计量 X (1)检验假设 (3-30) 由于当H成立时,有 n-1)
故拒绝域为 lto>t,/(n-1) (2)检验假设 当H成立时 Pito>t, (n-1))=a 故拒绝域为 t>t(n-1) (3-33) (3)检验假设 (3-34) 当H成立时 P{t<-tn(n-1)} 故拒绝域为 <-tn(n-1) 2.两正态总体均值差的假设检验 设总体X~N(A1,d),Y~N(四2,d2),参数p1;H2,G及ⅵ均未知,但d=2。来自总体X 的容量为n1的样本均值和方差为X和S,来自总体Y容量为n2的样本均值和方差为Y和 S2·我们已知 (X-Y) (n1+n2-2 式中 (n1-1)S2+(n2-1)S 于是选用统计量 3-36) (1)检验假设 H 当H成立时 PlE: I>to/2(n 故拒绝域为 lt1|>t2(n:+n2-2) 3-38) 检验假设 Hn H1:A1> 当H成立时,有 P{t1>t(m+n2-2)} 故拒绝域为
t1>t(n1+n2-2) (3-40) (3)检验假设 AI<ul (3-41) 由于当H.成立时 放得鉅绝域为 3.3.3正态总体方差的假设检验 3.3.3.1单个正态总体方差的检验 设总体X~N(H,a2),其容量为n的子样方差为S2,则 (n-1)S2 ~x2(n-1) 于是选取统计量为 (n-1)S 作为检验函数 1.双边检验 3-44) 在H为真的情况下 (n-1)S2(n-1)S x x2(n-1) 故在水平a下,有 P{x2-2( 所以拒绝为 (0,x22(n-1))U(x2(n-1),+∞) (3-45 2.右边检验 当H为真时,有 P{x2>X2(n-1)}=a 故拒绝域为 (3-47) 3.左边检验 当H,为真时,有 故折绝域为 X.(n-1)) (3-49) 这里由于是采用x2变量作为检验函数,故称为X2检验法