3.方差d2的管信区间 由式(2-34) 井且分x2(n-1)与a2无关,故有 n1)-(n=1)s2 <x2(n-1)}=1 由此得,当总体N(,2)的参数,a2都未知时,方差a的100(1-a)%置信区间为 (3-9) 例34已知一批电阻的阻值服从正态分布,其标准差为4.2kΩ。从中随机地抽出36只 进行测试,得其均值为20kΩ,求这批电阻均值的95%置信区间 解已知n-36,0=4.2,X=20 a=0.95则a-0.05,查附表2得xn2=xc25-1.96,出式(3·6)得 36<20+9636 即这批电阻均值在95%置信度下的置信间为 (18.63, 1.37) 由土例可看出,置信区间的大小与置信度(1-a)及样本容量n有关。在其它条件不变的情 况下,置信度高则置信区间大;样本数多,则置信区间小。另外要指出的是置信区间不是唯 的以例3-4来说明,显然有 P(-z0n4< X-p)√n<z0n 在实际应用中,往往取其中最小的那个,即 例3-5从机床加工的同类产品中随机抽取10件,测得其长度的均值x=12.15mm,样 本方差2=0,02mm2已知产品长度服从正态分布,求置信度为90%的总体方差a2的置信区 间。 解因为1-a=0.9,故a/2=0.05,1-m/2=0.95,查附表3得:x32(n-1)=xn3(9)= 16.919.x:m2(n-1)=xas(9)=3.325,由式(3-9)得总体方差a2的90%置信区间为 9×0.029×0 16.919 (0.01064,0.05413) 3.2.2.2两正态分布总体均值差的区间估计 设X:和S是总体N(,G)的容量为n的样本均值和样本方差,x2和S是总体N(p
d)的容量为x的样本圢值和样本方差.且这两个总体相互独立。现在考虑二总体均值差p 的间佔计·为X,:分班足∴,A的点估计,故取X;x2为P:-p的点估计。由第 112知Ⅹ 最从正态分布N(A-,只一9,对于总体方差的不同情形,可得An- .i,G2都为划 吱时,对于给定的置信度100(1-a)%,有 (X:…X2) x。 出比可得A-p的100(1·a)%置信区间为 x2二x2nn (3-10) 2.G-2-a2,但a2为未知 由式(2-40)得 (R1-X2)-(p1-2)一t(n1+n2-2) 1 式中 (n1-1)S nl1+n2-2 故得 P-tm(n1+n2-2)(X1-x)-(、二则∠m(x,+n2-2)}=1-a 所以得1一的100(1-a)%置信区间为 21-x2±t2("+x2-2)…n" 例3-6两个班组产同一种灯泡,为了检它们的产品质量,分别抽取50个和60个 样不.测得其平均寿命为1282和1208h).子样标准差为80和94(h)。根据经验,这两个班组 生产的灯泡寿命服从正态分布,且方差相同试确定其平均寿命之差的95%置信区间 解知r1=1282,s1=80,x2=1208,2=94,n1=50,m2=60,1-a=0.95,a/2=0.025 查附表4得t?(n1+n:-2)=10m5(108)=1.984 可算得5 50-1)×80+(6012×94 87.925 故由式(3-1)得两组生产灯泡的平均寿命差的95%置信区间为 (40.46 107.40) 两总体均值差置信区间的含意是:若A-p2的置信下限大于零则可认为A1>,若p
均的置信上限小于零,则可认为<2,若置信区间包含零,则不能断定哪个总体均值大。 3.2.2.3两正态总休方差比的置信区间 设二正态总体N(p,),N(H2,2)的参数都为未知,它们相应的容量为n1,n2的二相与独 立样本的方差为S,S。求方差比G1/的100(1-a)%置信区间。 由式(2-45)知 S/S /GF(n-1,n-1) 由此得 P{F1.a(n-1,m2-1)<57S2 所以得/v的100(1-a)%置信区间为 F 由式(2-44) F1(n1,n2)=1/F。(m2,n1) 故上式也可写成 F F/2(n2-1,n1-1)) a:z(川1 例37某厂生产的新、旧两种型号的手表,其走时服从正态分布,为了验证两种手表走 时的精度,进行了抽样检验得数据如下; 老式表:n1-11,1=5s/d 新式表:n2=21,52-3.2s/d 试在90%和95%的置信度下,估计其方差比的置信区间 解(1)因为1-a÷90%,故a/2=0.05 查附表5得 F2(n1-1,n2-1)Fn.(10,20)-2.35 Fn2(n2-1,n1-1)÷Fn(20,10)-2,77 代入式(3-13)得d/a的90%置信区间为 (1.04,6,76) (2)当1-a-95%时,a/2-0.025 查表得Fm2(10,20)=2.77, F. 42s(20.10)=3.42,故得l的95%置信区间为 (0.88,8.35) 方差比置信区间的含意是:若a/n的置信卜限小于1、则说明总体N(p,d)的波动性较 小;若/的置信下限大F1,则说明总体N(p1σ)的波动性较大;若置信区间包含1,则难 以从这次试验中判定那个总体的波动性更小。如上例中,在置信度为90%时,可以判定新式表 比老式表更精确而在95%置信度时,则不能判断那种表走时更精确。 3.2.2,4单侧五信限 上述置信限都是双侧的但对于许多问题,例如设备的平均寿命来说,平均寿命过长没有
什么问题,平均寿命过短就有问题了,对于这种情况,可将置信上限取为+∞,而只着眼于置信 下限。这种方法称单侧置信限估计。 例3-8从某批灯泡中随机抽取5只作寿命试验,其寿命(h)如下 1050,1100,1120,1250,1280 设寿命服从正态分布试求其平均寿命的95%置信下限 解的于总体方差未知故应使用t分布 (x-p)√n t(n-1) 按照题意要求有 A)v 于是得的单侧100(1-a)%置信区间为 (x-t(n-1) (3-14) 对于本例,1 查表得ts(5-1)=2.1318 故得寿命均值的95%置信下限为 1160-2.1318 9950 ==1065(h) √5 3参数的假设检验 33I假设检验的基本思想 假设检验的方法,其依据是“小概率事件在一次试验中可以看成是不可能发生这一实际 推断原理。例如,一袋中装有红、白两种顏色的球共100只,有人猜测袋中绝大部分是白球,问 这一猜测是否成立?如果假设上述猜测成立那么从袋中任摸一球是红球这一事件就是小概率 事件。为了验证假设,可以进行一次试验,从袋中任意摸出一球观察其顏色。若摸得是红球,这 表示小概率事件在一次试验中发生了,与“小概率事件不可能发生”这一实际推断原理相矛盾, 说明原假设不成立,即袋中白球不占绝大多数;若摸得是白球则小概率事件没有发生,我们没 有理由拒绝原假设只能认为它成立即袋中白球占绝大多数 从以上讨论可以看到假设检验实际上是建立在“小概率事件不可能发生"原理上的反证 法,它的基本思想是:先根据问题的题意提出原假设H然后在原假设成立的条件下,寻找与 间题有关的小概率事件A,并进行一次试验;再观察试验结果,看A是否发生?若发生则与小 概率事件实际上不可能发生原理矛盾从而推翻原假设H否则只能接受原假设。 参数假设检验的一般提法是:设总体X的分布函数F(x;B)中,6为未知参数,6∈D,D为 参数空间。我们将参数空间Ω分解为互不相交的两个部分D和(-D2),即D∩(2-n)= gun-Dn)=。考虑检验问题: H6:6∈9 H1:0∈n-0 a为非空子集。称H为原假设(或零假设)称H1为备择假设
下面通过一个例子进一步说明参数假设检验的原理与方法。 例3-9某车闰用一台包裝机包装葡萄糖额定标准为每袋净重0.5kg,设包装机称得糖 的重量服从止态分布,且根据长期经验知其标准差d=0015kg。为检验包装机某天工作是否 正常,随机抽取它所包装的糖9袋,得其均值x=0.509kg,问这天包装机工作是否正常 解设这天包装机所包装糖的重量为X,则X~N(p,02),=0.015,假设 H 表示包装机工作正常 接下去要判断这个假设是否成立。由于要判断总体均值是否等于p,所以选用样本均值 X这一统计量来进行判断,我们知道即使机器工作正常,波动性总是存在的,所以机器包装 的每袋糖的重量不会都等于,总有一些差异,从而样本均值x的观察值x也不一定恰好等 于踟。但若观察值x与p有显著差异,即|x-灿|相当大时,则认为机器工作不正常。因此,应 首先确定一个界限,即确定一个适当的常数k如果|x-|<距则接受原假设H(即认为包 装机工作正常);如果x-{>k,则拒绝H(即认为包装机工作不正常) 是否接受假设H,与k值的选取有很大关系。因此,k值的确定非常关键。如前所述,为了 作出比较合理的判断,应该明确|X-|>k是一小概率事件,即 PfIX-Ho>k=a 式中a是一个很小的正数,例如取a=0.05。 由于X~N(p,o2),故x~N(A,),因此有 PiIX-Ao>k)=P( 由双侧百分位点的定义得 =zm/2 当{x-|>k==x时,就拒绝原假设H1反之则接受H 若取a=0.05,则由附表2查得xn25=1.96 0.015 1.96=0.0098 9 因为|x-|=10.509-0.51=0.009<0.0098,所以认为假设H符合实际情况,从而接受 H,即认为这天包装机工作正常 从上述讨论可以看出,k值的大小取决于a,因此a的选取很重要.在样本容量固定时,当a 取定后,值也随之确定。然后按|x-n大于还是小于k作出判断数k=-zn可以看作检 验上述假设的一个标准,它是样本均值x的一个误差限度。 数a称为检验的显著性水平。上述假设检验问题通常叙述成;在(显著性)水平a下,检验 假设 Ho: A=uo 拒绝假设H的区域称为检验的拒绝域拒绝域的边界点叫临界点。 假设检验的依据是“小概率事件不可能发生”原理但小概率事件并不等于是不可能事件