两个正态总体方差比的假设检验 设X1,X2,…,X为总体N(内,0)的一个样本,Y1,Y2…,Y为总体N(p2,)的一个样 本,并且二样本相互独立。我们已知 F(n1-1,n2-1) /n2 于是选取统计量 为检验函数 1.检验假设 0=02 在H,为真的情况下,则有 SS/02 F F(n1-1 1) 于是,在水平a下,有 P{F1-mn2(n1-1,m2-1)<F0<F2(n,-1 故拒绝域为 (0,F1m2(n1-1,n2-1))U(Fn(n1-1,n21) 或写成 (0.1/F/(n2-1,n1-1))U(F2(n1-1, 检验假设 H:0=d;H1:d!< 当H为真时 P{F>F(n1-1,n2-1)}=a 故拒绝域为 3检验假设 Ho: 0=0; H1:0i>o2 (3-56) 当H为真时 P{F。<F1 故拒绝域为 <F1.(n1-1 或写成 (3-57) 由于这里采用的是F变量作为检验函数故称为F检验法。F检验是一个比较重要的检 验方法,在方差分析时经常用到 34
4正交试验设计的基本思想与正交表 4.1正交试验设计的基本思想 在实际生产和科学研究中,往往需要通过一定的试验,获得一些试验数据。对这些数据进 行科学分析或数学处理,可以帮助人们找出问题的主要矛盾方面及其它们之间的相互关系,明 确问题的内在规律,从而寻求问题的解决办法。 对于单影响因素的试验,可以采用0.618法、对分法、平行线法、交替法、调优法等去解决, 并在生产中都取得了显著的成效 但对于多影响因素问题,上述方法就无能为力了,而正交试验正是解决多因素试验问题的 有效方法。 例4-1某农药厂生产某种农药,根据生产经验发现影响农药效率的因素有四个,每个 因素都有两种状态,具体如下: A反应温度 A1=60CA2=80C B反应时间 B1=2.5hB2=3.5h C配比(某两原料之比)C1=1.1:1C2=1.2 D真空度 D1=66.7kPaD2=80.0kPa 为了便于以后的讨论,我们把考核指标用y表示(如农药效率);把影响考核指标的因素用大 写字母A、B、C……表示;把每个因素的某种状态用该因素大写宇母加上足标表示,如A1、A2 表示因素A的第一、二……状态,以后称之为因素A的第一、二……水平。 我们称以上这种多个影响因素,而每个因素又有多个水平的试验为多因素试验问题。具体 讲例4-1是一个“四因素两水平”的试验问题 上述例4-1中,所有四个因素,每个因素两个水平中选取个水平与其它因素中水平的 所有可能的搭配共有 2×2×2X2=2=16种 显然,所有16种可能的搭配都进行试验,再通过试验结果的处理就可获得问题的圆满解决,但 试验次数往往太多能否用较少的试验反映比较全面的情况,怎样选择各个试验才能实现这个 要求呢? 象以上这种多因素试验用正交试验是很容易解决的,并能获得如下结论 (1)找出各因素对考核指标的影响规律(县体说就是;哪些因素是主要的,哪些是次要的 哪些因素只起单独作用,哪些因素除了自己单独作用外,它们之间还产生综合作用,这种综合 作用的效果有多大;综合作用是主要的还是因素的单独作用是主要的) (2)选出各因素的灬个水平来组成比较合适的生产条件(或称最优生产条件)。 4.2正交表的櫬念与类型 4.2.1什么叫“完全对 设有两组元素
b1,b2,……a, 我们把其全部搭配的rs个“元素对” (a1,b1),(a1b2),……,(a1,b) (a2,b1),(a2,b2),…,(a2,b) (a,b1),(a-,h2),…,(a,b,) 叫做元素a1,42,……,an与b,b2,…所构成的“完全对”。 以后常用到的“完全对”是由数字构成的。例如,由数字12,3和1,2,3构成的“完全对”为 (1,1),(1,2),(1,3) (2,1),(2,2),(2,3) (3,1),(3,2),(3,3) 4.2.2什么叫“完全有序对” 若一个矩阵的任意两列中,同行元素所构成的元素对是一个完全对,而且每对出现的次数 相同时,就说这个矩阵是“完全有序对”,或称该矩阵搭配均衡,否则称为搭配不均衡 例如矩阵A和B 11 11 122 121 122 122 212 212 212 221 222 22 其中矩阵A是一个“完全有序对”矩阵,或称是搭配均衡的,而矩阵B是搭配不均衡的因1列 与3列缺少(2,1),所以不是“完全对”第2列与第3列的搭配也不均衡。 4.2.3正交表的定义与种类 4.2.3.1正交表的定义 设A是n×k矩阵,它的第j列元素由数字1,2,3,…,m所构成(或者为方便起,也可用 别的符号来代替这些数字)如果矩阵A的任意两列都搭配均衡,则称A是一个正交表。 例如8×7矩阵 1112222 122 122221 2121212 212212 2211221
其中任意两列所构成的都是完全有序对都包含四个数字对,即 (1,1),(1,2),(2,1),(2,2) 每对数字都出现两次。因此矩阵A是一个正交表。 由正交表的定义可直接推出以下两个性质: (1)每一列中各水平出现的次数相同。例如,第i列各水平出现的次数为 (2)任意两列所构成的水平对中,每个水平对重复出现的次数相同例如第i列与第j列, 重复搭配的次数为 2=n/mm;(i,=1,2,……k,≠j 式中m,m,分别为第i列、第j列元素水平数。 4.2.3.2正交表的种类 在多因素的正交试验中常把正交表写成表格的形式,并在其左旁写上行号(试验号),在 其上方写上列号(因素号)。此外,还常把这样的正交表简记为 式中L为正交表的代号,n表示这张正交表共有n行(安排n次试验),而m1Xm2×…m则表 示此表有k列(最多安排k个因素),并且第j列的因素有m1个水平。 在正交表L(m1Xm2×…m)中,若m1=m m=m,则称为m水平正交表,或称为 水平数相同的正交表,并简记为 一列数(最多安排因素个数) L,(m) 因素水平数 行数(安排试验次数) 正交表代号 例如:m=2,称Ln(2*)为二水平正交表; m=3,称L(3)为三水平正交表。 对于水平数相同的正交表,若满足 则称该正交表为饱和正交表相应的试验称为饱和正交试验。 例如:L4(2)正交表 1+2(2-1)=4 L2(313)正交表 n=1+2(3-1)=27 在饱和正交表L(m)中,n、m、k之间有如下关系: 例如,L4(2)正交表,n=4,m=2,则k=3; 37
J(3)止交表,n=9,m=3,则k=4; L2(5)正交表,n=25,m=5,则k=6 常见的水平数相同的正交表有, 水平正交表:L4(23),L(2),L12(21),Ls(213),La2(24),L(213),L12(2127)等; 三水平正交表:L3(34),L2(313),L1(3),L(32); 四水平正交表:L18(43),L64(42); 五水平正交表:L25(56),L5(5); 七水平正交表:L4(7) 正交试验设计中使用的最简单的正交表是L(2),其格式如表4-1所示。共要做四次试 睑,最多安排三个二水平的因素进行试验表4-2是L(2)正交表,表4-3是L3(3)正交表 表4-【L4(23) 行号 1 表4-2L;(2) 列号 2 3+s6 2 2t12 正交表L(m1×m2×…m)中,如果育两列水平数不相等的话.则称为水平数不相同的 正交表,或混合型正交表。其中最常用的是两种水平的正交表,记为 例如,表4-4就是一张L(4×2混合型正交表,其含义如下: