1.2矩阵与投影.9.1.2矩阵与投影注记为了讨论方便，如果没有特别指出，本节仅考虑实数情形，对于复数情形，我们可以得到类似的结论.1.2.1矩阵的秩设AERmxn,则称A的列向量组的秩为A的列秩,称A的行向量组的秩为A的行秩.可以验证,矩阵A的列秩与行秩是相等的.因此我们统一称它们为矩阵A的秩，记为rank(A).定理1.7 设 A E Rmxn,则 rank(A)=k(0 ≤ k≤min[m,n))的充要条件是A存在非奇异的 k阶子矩阵，且所有k十1阶子矩阵都奇异(留作课外自习，可参见[142])关于矩阵的秩，我们有下面的基本性质定理 1.8 设 A,B e Rmxn,则. rank(A) ≤min(m,n) ;· rank(AT) = rank(A) ;· rank(ATA) = rank(AAT) = rank(A) ; rank(A+ B) < rank(A) + rank(B);·对任意非奇异矩阵PeRmxm和QeRnxn,有rank(PA) = rank(AQ) = rank(PAQ) = rank(A),下面是关于矩阵的秩的一些常用性质，定理1.9(秩分解)设rank(A)=l,则存在非奇异矩阵PE Rmxm和QE IRnxn使得[I o]A=Q0进一步，rank(A)=rank(B）当且仅当存在非奇异矩阵PRmxm和QERnxn使得A=PBQ.推论1.10（满秩分解）设rank(A)=l,则存在非奇异矩阵FERmxl和GERxn使得A= FG.定理1.11 设AeRmxk,BRkxn,则rank(A) + rank(B) -k ≤ rank(AB) ≤min(rank(A), rank(B))证明.(1)易知AB
1.2 矩阵与投影 · 9 · 1.2 矩阵与投影 注记 为了讨论方便, 如果没有特别指出, 本节仅考虑实数情形, 对于复数情形, 我们可以得到类似的 结论. 1.2.1 矩阵的秩 设 A ∈ R m×n , 则称 A 的列向量组的秩为 A 的列秩, 称 A 的行向量组的秩为 A 的行秩. 可以 验证, 矩阵 A 的列秩与行秩是相等的. 因此我们统一称它们为矩阵 A 的秩, 记为 rank(A). 定理 1.7 设 A ∈ R m×n , 则 rank(A) = k (0 ≤ k ≤ min{m, n}) 的充要条件是 A 存在非奇异的 k 阶子矩阵, 且所有 k + 1 阶子矩阵都奇异. (留作课外自习, 可参见 [142]) 关于矩阵的秩, 我们有下面的基本性质. 定理 1.8 设 A, B ∈ R m×n , 则 • rank(A) ≤ min{m, n} ; • rank(AT) = rank(A) ; • rank(ATA) = rank(AAT) = rank(A) ; • rank(A + B) ≤ rank(A) + rank(B); • 对任意非奇异矩阵 P ∈ R m×m 和 Q ∈ R n×n , 有 rank(P A) = rank(AQ) = rank(P AQ) = rank(A). 下面是关于矩阵的秩的一些常用性质. 定理 1.9 (秩分解) 设 rank(A) = ℓ, 则存在非奇异矩阵 P ∈ R m×m 和 Q ∈ R n×n 使得 A = P " Iℓ 0 0 0# Q. 进一步, rank(A) = rank(B) 当且仅当存在非奇异矩阵 P ∈ R m×m 和 Q ∈ R n×n 使得 A = P BQ. 推论 1.10 (满秩分解) 设 rank(A) = ℓ, 则存在非奇异矩阵 F ∈ R m×ℓ 和 G ∈ R ℓ×n 使得 A = F G. 定理 1.11 设 A ∈ R m×k , B ∈ R k×n , 则 rank(A) + rank(B) − k ≤ rank(AB) ≤ min{rank(A), rank(B)}. 证明. (1) 易知 " Im −A 0 Ik # "A 0 Ik B # = " 0 −AB Ik B #
:10.第一讲线性代数基础所以rank(A) + rank(B) = ran≤rankrank(AB) + k.(2)显然AB的列向量都是A的列向量的线性组合,所以rank(AB)≤rank(A).同理，AB的行向口量都是B的行向量的线性组合,所以rank(AB)≤rank(B)推论1.12设ARmxk,BeRkxm,k≤m.若A和B都是满秩矩阵，则rank(AB) = rank(BA) = rank(A) = rank(B) = k.张成的线性空间设T1,2...,kERn,记span[r1,a2,...,k] ≤ Q11 +Q272+..+Qkk: Q1,Q2,...,Qk ER]则span[a1,2...，k}构成R"的一个线性子空间，称为由1,2.，张成的线性空间.特别地，记span(A)为由A的所有列向量张成的线性空间.矩阵A相关的四个子空间设AeRmxn,则A可以看作是从Rn到Rm的一个线性变换（或线性映射，线性算子),即A:T→ Ar我们分别称Ker(A)≤[rERn : Ar=0}CRn和Ran(A)(yE Rm : y=Ar, reRnICRm为A的零空间（核）和像空间（列空间，值域）称Ker(A)≤[yERm :ATy=0}CRm和Ran(AT) A[TE Rn : T=ATy,yERm)CRn为A的左零空间和行空间.可以证明,Ker(A)和Ran(AT)是Rn的线性子空间,Ran(A)和Ker(AT)是Rm的线性子空间，且Ran(A)=span(A)定理1.13设AERmxn，则有· dim(Ran(A)) = dim(Ran(AT) = rank(A);1严格地讲，是某个线性变换在某组基下的矩阵
· 10 · 第一讲 线性代数基础 所以 rank(A) + rank(B) = rank "A 0 0 B #! ≤ rank "A 0 Ik B #! = rank " 0 −AB Ik B #! = rank(AB) + k. (2) 显然 AB 的列向量都是 A 的列向量的线性组合, 所以 rank(AB) ≤ rank(A). 同理, AB 的行向 量都是 B 的行向量的线性组合, 所以 rank(AB) ≤ rank(B). □ 推论 1.12 设 A ∈ R m×k , B ∈ R k×m, k ≤ m. 若 A 和 B 都是满秩矩阵, 则 rank(AB) = rank(BA) = rank(A) = rank(B) = k. 张成的线性空间 设 x1, x2, . . . , xk ∈ R n , 记 span{x1, x2, . . . , xk} ≜ α1x1 + α2x2 + · · · + αkxk : α1, α2, . . . , αk ∈ R , 则 span{x1, x2, . . . , xk} 构成 R n 的一个线性子空间, 称为由 x1, x2, . . . , xk 张成的线性空间. 特别 地, 记 span(A) 为由 A 的所有列向量张成的线性空间. 矩阵 A 相关的四个子空间 设 A ∈ R m×n , 则 A 可以看作是从 R n 到 R m 的一个线性变换 (或线性映射, 线性算子) 1 , 即 A : x → Ax 我们分别称 Ker(A) ≜ x ∈ R n : Ax = 0 ⊆ R n 和 Ran(A) ≜ y ∈ R m : y = Ax, x ∈ R n ⊆ R m 为 A 的零空间 (核) 和像空间 (列空间, 值域), 称 Ker(A T ) ≜ y ∈ R m : A T y = 0 ⊆ R m 和 Ran(A T ) ≜ x ∈ R n : x = A T y, y ∈ R m ⊆ R n 为 A 的左零空间和行空间. 可以证明, Ker(A) 和 Ran(AT) 是 R n 的线性子空间, Ran(A) 和 Ker(AT) 是 R m 的线性子空间, 且 Ran(A) = span(A). 定理 1.13 设 A ∈ R m×n , 则有 • dim(Ran(A)) = dim(Ran(AT)) = rank(A); 1严格地讲, 是某个线性变换在某组基下的矩阵