定理( Bauer-Fike) 设矩阵A具有完全特征向量系,矩阵P使得 PAP=ding(1,…,1n)=A 则A经扰动后的矩阵A+E的一个特征值H满 足不等式 min1u-d, KsP-lh Pll: Il 其中‖·‖沩矩阵的P范数(P=1,2,∞) copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
11 上一页 下一页 定理（Bauer-Fike） = = − ( , , ) 1 1 P AP diag n 设矩阵 A 具有完全特征向量系，矩阵 P 使得 则 经扰动后的矩阵 的一个特征值 满 足不等式. A A+ E i p p p i n − P P E − 1 1 min | | 其中 为矩阵的 范数. p ( p = 1,2,) p || . ||
经常使用的P=1,2,∞,但定理5对一般P≥1仍成立 若对称矩阵,阿选为正交矩阵,这时|P2=1 于是有结论 推论若A为实对称矩阵,而A+E为A的任何 个扰动,则对A+E的任何一个特征值u 有 minlu-d sE copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
12 上一页 下一页 经常使用的 但定理5对一般 仍成立. 若 为对称矩阵， 可选为正交矩阵，这时 于是有结论： A p = 1,2,, p 1 1 2 P P = A A+ E 若 为实对称矩阵，而 为 的任何 一个扰动，则对 的任何一个特征值 ， 有 推论 A A+ E 2 1 min | i E i n −
§2乘幂法与反乘幂法 G计算矩阵的主特征根及对应的特征向量 >乘幂法 条件:A有特征根41|>A2|≥…≥n|≥0,对应n个线性无 关的特征向量x1,…,xn 思路:从任意训≠0出发,要求(0,x)≠0 ;/a1|<1 0=∑a,a1≠0v(“=4v M a,A (k) ∑ a.x a(马个这是关于的近 =Ap=∑4当充大时,有 (k) Miax, (k-1) A1 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
13 上一页 下一页 §2 乘幂法与反乘幂法 计算矩阵的主特征根及对应的特征向量 ➢ 乘幂法 条件：A 有特征根 |1 | > |2 | … | n | 0，对应n个线性无 关的特征向量 x xn , ... , 1 思路：从任意 (0) 0 出发，要求 , 1 0 1 (0) = = n i i xi = = (1) (0) A = n i i i xi 1 = = (2) (1) A = n i i i xi 1 2 … … … = = − = = = n i i k i i k n i i k i i k k x A x 1 1 1 1 ( ) ( 1) | i / 1 | < 1 当k 充分大时，有 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 ( ) x , x k k k k − − 这是A关于1的近似 特征向量 ( ) 1 1 1 1 ( ) k k k A Ax ( 1) 1 ( ) ( ) ( ) − i k i k (0) 1 ( , ) 0 x
定理|设4∈K7为排矩阵,其主特征根A为实根, 且A>2l2…212。则任意非零向量v(满足a=(0,x)≠0) 出发迭代v=Av到主特征向量x1,v)(v“)收 敛到λ1。 注:一结论对重根1=42=…=4成立 v=41∑ax+∑ ()无/≈4 ait 若有A1=-2则此法不收敛 任取初始向量时,因为不知道x1,所以不能保 证a1≠0,故所求得之v不一定是x1,而是使 得,xn)≠0的第一个x,同时得到的特征根 是λm copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
14 上一页 下一页 定理 设 ARnn为非亏损矩阵，其主特征根 1为实根， 且|1 | > |2 | … | n | 。则从任意非零向量 (满足 ) 出发, 迭代 收敛到主特征向量 ， 收 敛到1。 (0) ( , ) 0 1 (0) 1 = v x ( ) (0) k k = A 1x i k i k ( ) /( ) ( 1) ( ) + 每个不同的特征根 只对应一个Jordan 块 注： 结论对重根 1 = 2 = … = r 成立。 = + = = + = r i i i k r i n i r i k i i i i k k x x x 1 1 1 1 1 1 ( ) 若有 1 = −2 ，则此法不收敛。 任取初始向量时，因为不知道 ，所以不能保 证 1 0，故所求得之 不一定是 ，而是使 得 的第一个 ，同时得到的特征根 是 m 。 1 x (k ) 1 x ( , ) 0 (0) xm m x
>规范化 为避免大数出现,需将迭代向量规范化,即每一步先保 证‖训=1,再代入下一步迭代。一般用‖ν=max|v|。 记:‖v6)l=|v|则有: (k-1) k-13(0) L (k-1) k)=Au(k Av(o) (k-1) (k) D(4)1→x1 算法:乘幂法 给定一非零的初始向量,获得nxn矩阵A的主特征征值及其 相应的特征向量. Input:维数n;矩阵I[;初始向量v[:误差容限7o 迭代的最大次数Nmax Output:近似特征值λ和规格化的近似特征向量或失败信息。 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一页
15 上一页 下一页 ➢ 规范化 为避免大数出现，需将迭代向量规范化，即每一步先保 证 || || = 1 ，再代入下一步迭代。一般用 。 || || max | | 1 i i n v = 记： || || | | ( ) (k) i k k = 则有： − = − − − − = = − 1 0 ( ) 1 (0) ( 1) ( 1) ( 1) | | | | 1 k s s i k k i k k s k v A v v v u − = − = = 1 0 ( ) (0) ( ) ( 1) | | k s s i k k k s v A v v Au | | ( ) ( ) ( ) k i k k k v v u = 1 x ( ) ( 1) ( ) 1 1 k k i i k i k v u v − = − 算法：乘幂法 给定一非零的初始向量，获得nn矩阵 A的主特征征值及其 相应的特征向量. Input: 维数n; 矩阵 a[ ][ ]; 初始向量V0[ ]; 误差容限 TOL; 迭代的最大次数 Nmax . Output: 近似特征值 和规格化的近似特征向量或失败信息