>关于实对称矩阵的极大一极小定理 定义设A为n阶实矩阵,x=(x1,…,xn)≠0,x∈R 我们称R (以s(Ax,x)xAx飞y =2∑ax∑x 为矩阵A关于向量x的 Rayleigh(雷利)商 A为n阶实对称矩阵,则其特征值皆为实数, 记做:41≤2≤…≤几 并且存在规范正交特征向量系满足: An1=1l2,i=1,2,…,n,(n1,u)=bn,i,j=1,2,…, copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
6 上一页 下一页 ➢ 关于实对称矩阵的极大—极小定理： = = = = = = n i n j n i T i j i j i T a x x x x x x Ax x x Ax x R x 1 1 1 2 / ( , ) ( , ) ( ) 为矩阵 A 关于向量 x 的Rayleigh（雷利）商. 为 阶实对称矩阵，则其特征值皆为实数， 记做： A n 1 2 n 并且存在规范正交特征向量系满足： Au u , i 1,2, ,n, i = i i = (ui ,uj ) = i j , i, j = 1,2, ,n 设 为 阶实矩阵， . 我们称 A n T n 定义 x = (x1 , , xn ) 0, x R
定理设A为n阶实对称矩阵,其特征值 为A1≤a2≤…≤An,则 n=min r(x)=min(ax, x) x≠0 n=max r(x)=max(Ax,,x x≠0 由于R(ax)=R(x),对于任意x,可以取a,使 得:a|2=1 证明:假设4,2,…,4为A的规范正交特征向量 组,则对任何向量x∈R",有 x=∑ i=1 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
7 上一页 下一页 min ( ) min( , ) 0 1 1 2 R x Ax x x x = = = max ( ) max( ,, ) 0 1 2 R x Ax x x x n = = = 由于 ，对于任意 ，可以取 ，使 得： . R(x) = R(x) x ||x ||2 = 1 证明: 假设 为 的规范正交特征向量 组，则对任何向量 ，有 u u un , , , 1 2 A n x R = = n i x i ui 1 设 为 阶实对称矩阵，其特征值 为 ，则 A n 1 2 n 定理
于是 (4x,x) ∑4a1,∑ au R(x)= (x,x) a. ∑λa2/∑a, i=1 因而≤1≤n,特别地,若取x=1,这时 (A1,1 =(1u1,u1)=x1 从而x1=minR(x)同理可证,=maxR(x) x≠0 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
8 上一页 下一页 于是 / , ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) 1 2 2 1 1 1 1 1 = = = = = = = = = n i i i n i i n i n i i i i i n i n i i i i i i u u u u x x Ax x R x 因而 n ,特别地，若取 ，这时 x x Ax x ( , ) ( , ) 1 x = u1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) = u u = u u Au u 从而 1 = min x0 R(x).同理可证 max ( ) 0 R x X n =
特征值的扰动问题 4→ 讨论:元-2的大小 A+E→见 例 A+e 特征方程 det(-(4+E) 0 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
9 上一页 下一页 ➢ 特征值的扰动问题 A→ A+ E → ~ 例： = a a a A 1 1 讨论： − 的大小. ~ + = a a a A E 1 1 特征方程 0 ~ 1 ~ 1 ~ ( )) ~ det( = − − − − − − − + = a a a I A E
(x-a)”+(-1)+1(-)(-1)n=0,(x-a)2=E 刀 (E)=a+E"e",j=1,2,,n A△λ|=()-a|=6",j=1,2,…,n 设g=10 20 20,则 E"=10 若E在A+E 的上角,则特征值并无扰动 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
10 上一页 下一页 ) ( 1) ( ) ( 1) 0, ~ ( 1 1 − + − − − = n n+ n− a − = n a) ~ ( a e j n n j i n j ( ) , 1,,2, , 1 2 = + = a j n n j j | | ( ) | , 1,2, , 1 = − = = 设 则 .若 在 的上角，则特征值并无扰动. 10 , 20, 20 = = − n 1 1 10− = n A+ E