m(x)= inf f(), M(x)=sup f(y) assr 试讨论m(x)与M(x)的图像,其中 (1)f(x)=cosx,x∈[O,+∞);(2)f(x)=x2,x∈[-1,+∞) coS x 答(1)m(x)= 1,丌<x<+∞; M(x)=1,0≤x<+0 (2)m(x) l≤x≤0, 10.,0<x<+∞ M(x)= 几1 x21<x<+ 第二章数列极限
m(x) inf f (y),M(x) sup f (y) a y x a y x = = . 试讨论 m(x) 与 M(x) 的图像，其中 （1） f (x) = cos x, x[0,+) ；（2） ( ) , [ 1, ) 2 f x = x x − + 答 （1） m(x) = − + 1, ; cos , 0 , x x x M(x) 1,0 x +. （2） m(x) = + − 0, 0 ; , 1 0, 2 x x x M(x) = + − ,1 . 1, 1 1, 2 x x x 第二章 数列极限
§1数列极限概念 4.证明:若iman=a,则对任一正整数k,有 lim a=a 提示由man=a可知:VE>0,3N,当n>N时,{n-4<E需证:VE>0,丑N,当n>N时 7.证明:若lman=a,则lm|anHa|当且仅当a为何值时反之亦成立 若man=a,则VE>0,3N,当n>N时,p,一d<E:由不等式|-1sn-,可知 lm a, Hal 可证当且仅当a=0时由lm|an同a可推得iman=a
§1 数列极限概念 4．证明：若 an a n = → lim ，则对任一正整数 k，有 an k a n + = → lim . 提示 由 an a n = → lim 可知： 0, , N1 当 n N1 时， a − a n .需证： 0,N, 当 n N 时， − an+k a . 7．证明：若 an a n = → lim ，则 lim | a | | a | n n = → .当且仅当 a 为何值时反之亦成立. 证 若 an a n = → lim ，则 0,N, 当 n N 时， a − a n .由不等式 an − a an − a ，可知 lim | a | | a | n n = → . 可证当且仅当 a=0 时由 lim | a | | a | n n = → 可推得 an a n = → lim
先证若a=0,且mnan=0,则vE>0,3N,当n>N时,|-0=nd<E,于是man=0 若由lmn|anHa可得lman=a,则必有a=0.不然的话,若a≠0,令an=(-1)a,则 im|anHa,但是ln(-1)"a不存在 §2收敛数列的性质 5.设{an}与{}中一个是收敛数列,另一个是发散数列证明{an±bn}是发散数列又问{,bn}和 (b.≠0)是否必为发散数列 证设{an}是收敛数列,{bn}是发散数列用反证法,假若{n±bn}是收敛数列设an±bn≠Cn
先证若 a=0，且 lim = 0 → n n a ，则 0,N, 当 n N 时， − = an 0 an−0 ，于是 lim = 0 → n n a . 若由 lim | a | | a | n n = → 可得 an a n = → lim ，则必有 a=0. 不然的话，若 a≠0，令 a a n n = (−1) ，则 lim | a | | a | n n = → ，但是 a n n lim(−1) → 不存在. §2 收敛数列的性质 5．设 an 与 bn 中一个是收敛数列，另一个是发散数列.证明 an bn 是发散数列.又问 an bn 和 n n b a （ bn 0 ）是否必为发散数列. 证 设 an 是收敛数列， bn 是发散数列.用反证法，假若 an bn 是收敛数列.设 n n n a b c
则bn=土(cn-an),由四则运算性质可知{n}也是收敛数列,与所设矛盾,于是{an±bn}是发散数 列 在题设条件下,{b,}未必是发散数列,可以考虑反例:a=1, 9.设a1a2,…,an为m个正数,证明: lmar+a2+…+an=mln,a1…,an} 设a=max{a1a1…,an},有 a=wa"={a+a2+…+am≤wm"=Vm:a, 令n→O,利用极限mm=1,由迫敛性可得 im{a1+a2+…+am=a
则 ( ) n n an b = c − ，由四则运算性质可知 bn 也是收敛数列，与所设矛盾，于是 an bn 是发散数 列. 在题设条件下， an bn 未必是发散数列，可以考虑反例： b n n an = , n = 1 . 9．设 a1 , a2 , , am为m 个正数，证明： n n m n n n a + a + + a → lim 1 2 = maxa1 , a1 , , am . 证 设 a = maxa1 , a1 , , am ，有 a a a a a ma m a n n n n n m n n n n = = + ++ = 1 2 ， 令 n→ ，利用极限 lim =1 → n n m ，由迫敛性可得 a a a a n n m n n n + + + = → lim 1 2
§3数列极限存在的条件 8.证明:若{an}为递增(递减)有界数列,则 lim a,=supa, Kinf a,) 又问逆命题成立否? 证1不妨设{an}为递增有界数列由确界原理,存在n=sup{n},由确界定义, VE>0,3n,7-E<an,由{an}的递增性,当n>n时,-E<an<an<+E,由此可见: vE>0,3n,当n>n时,{n-川<E,即man=sup{an} 反之不然,反例:an=1-(+(-1)") 例2设man=a,由an≤η,由保不等式性质有an≤η,设法证明an<η是不可能的(请读
§3 数列极限存在的条件 8．证明：若 an 为递增（递减）有界数列，则 lim sup (inf ) n n n n a = a a → . 又问逆命题成立否？ 证 1 不 妨设 an 为 递 增 有 界 数列. 由 确 界原 理 ，存 在 = supan ， 由 确 界 定义 ， 0 0 0, , an − an ，由 an 的递增性， 当 n n0 时， − + an0 an . 由此可见： 0 0,n ，当 n n0 时， − an ，即 n n n lim a = sup a → . 反之不然，反例： (1 ( 1) ) 2 1 1 n n n a = − + − . 例 2 设 an a n = → lim ，由 an ，由保不等式性质有 an ，设法证明 an 是不可能的（请读