2.球坐标系中的拉普拉斯方程（我们只讨论场问题与中无关的情形）1a.180=012(2+(sing0)aarr2sin 8a2er2 sin2a423.变量分离令の=（r）g（8），拉普拉斯方程可变为：1 [sin g(0] -01 [r2 af(n21+-g(0)sina8aef(o)arar上式中f(r)和g()已分开在两项中，令分别等于常数－入和入，得：1d(r2f)adg,=X(sin )=-入gdrdrsin e de284．常微分方程的解1dadg)(sin))=-入g(1)sindean在该式中引入一个新的自变量×=cos8,于是该式可变为：?2、dg(x)+ 入g(x) = 0dxdx上式称为勒让德方程。若我们研究的空间中包含从0到元，即x从1到(-1)时，且取入为：入=m(m+1)m=01,2,..则此时的勒让德方程只有一个有界解，它为m次多项式，称为勒让德多项式，记作P%（x)。d(radf=Ndr(2) drdr.2df(r)m(m+1f = 0在该式中代入上式后，得：dr上式的两个解为”和（(x+)，故：(r）-Au”+Bm（班4)(Amur" + Bur-m+) Pa(cos 0)0于是我们得到电位的解为：-0八、镜像法1.思路
2. 球坐标系中的拉普拉斯方程（我们只讨论场问题与 无关的情形） 3. 变量分离 令 ， 拉普拉斯方程可变为： 上式中 f(r)和 已分开在两项中，令分别等于常数 和 ，得： ， 4. 常微分方程的解 （1） 在该式中引入一个新的自变量 ,于是该式可变为： 上式称为勒让德方程。若我们研究的空间中包含 从 0 到 ，即 x 从 1 到(-1)时，且取 为： 则此时的勒让德方程只有一个有界解，它为 m 次多项式，称为勒让德多项式，记作 。 (2) 在该式中代入上式后，得： 上式的两个解为 和 ，故： 于是我们得到电位的解为： 八、镜像法 1. 思路
用假想的镜像电荷代替边界上的感应电荷。保持求解区域中场方程和边界条件不变。使用范围：界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区域。2.使用范围界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区域。3.步骤确定镜像电荷的大小和位置。去掉界面，按原电荷和镜像电荷求解所求区域场。求解边界上的感应电荷。求解电场力。4.点电荷对平面的镜像P(x,yz)Y接地导体(a）无限大接地导体平面上方有点电荷q（b）用镜像电荷-q代替导体平面上方的感应电荷图4.4.1点电荷的平面镜像（1）题目：在无限大接地导体平面（YOZ平面）上方有一点电荷9，距离导体平面的高度为h。（2）分析：用位于导体平面下方h处的镜像电荷-q代替导体平面上的感应电荷，边界条件维持不变，即YOZ平面为零电位面。（3）解题：去掉导体平面，用原电荷和镜像电荷求解导体上方区域场，注意不能用原电荷和镜像电荷求解导体下方区域场。11(9-9)=g4元84元80(x-h)2 +y3+z2Y(x +h)* +2 +r2电位：-qhqhdpEx Ix-o =8x x-02元8 (h* + y? + 2*)3/22元8 (h2 + R")3/2电场强度：+zR-其中，-ghPg =80E l-0"2(h +R~3/感应电荷：
用假想的镜像电荷代替边界上的感应电荷。 保持求解区域中场方程和边界条件不变。 使用范围：界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区域。 2. 使用范围 界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区域。 3. 步骤 确定镜像电荷的大小和位置。 去掉界面，按原电荷和镜像电荷求解所求区域场。 求解边界上的感应电荷。 求解电场力。 4. 点电荷对平面的镜像 (a) 无限大接地导体平面上方有点电荷 q （b） 用镜像电荷-q 代替导体平面上方的感应电荷 图 4.4.1 点电荷的平面镜像 （1）题目：在无限大接地导体平面（YOZ 平面）上方有一点电荷 q，距离导体平面的高度 为 h。 （2）分析：用位于导体平面下方 h 处的镜像电荷-q 代替导体平面上的感应电荷，边界条件 维持不变，即 YOZ 平面为零电位面。 （3）解题：去掉导体平面，用原电荷和镜像电荷求解导体上方区域场，注意不能用原电荷 和镜像电荷求解导体下方区域场。 电位： 电场强度： 其中， 感应电荷：