6=(1,0.,0), 6=(0,l.,0), ( 4.4 8。=(0,0,.,1） 的一个线性组合因为 a=a6+a,62+.+a5n 向量6,52，.，8n称为n维单位向量 由定义可以立即看出，零向量是任一向量组的线性组合（只要取系数全为0就行了）， a是向量组B,B,.B,的一个线性组合时，我们也说α可经向量组月，B,.B,线性表出， 定义10如果向量组，凸，.，g,中每一个向量a,(=1,2.,)都可以经向量组月，月2，.月线 性表出，那么向量组a4,a,.,心，就称为可以经向量组B,B,.B,线性表出.如果两个向量组互相可 以线性表出，它们就称为等价 由定义不难证明，每一个向量组都可以经它自身线性表出.同时，如果向量组4，.，C,可以经向 量月，月，.B线性表出，向量组民，月2，.月可以经向量组，2，.7。线性表出，那么向量组 4,凸，.，g,可以经向量组，乃2，.yn线性表出. 事实上，如果 g=24B1=l2.64=J=l2 则 a-242-空.=24 这就是说，向量组么，4，a,中每一个向量都可以经向量组，Yp线性表出，因而向量组 4,，.，可以经向量组，乃2.y,线性表出 由上述的结论，得知向量组之间的等价有以下性质！ 1)反身性：每一个向量组都与它自身等价。 2)对称性：如果向量组a,凸，.，g,与，.B等价，那么，向量组民，B,.月也与 ,.,等价 3)传递性：如果向量组%，%2，.，a,与月，B.月等价，月，B,月与Y,Y2,Y。等价，那么向
1 2 (1,0, ,0), (0,1, ,0), (0,0, ,1) n = = = (1) 的一个线性组合.因为 1 1 2 2 . n n = + + + a a a 向量 1 2 , , , n 称为 n 维单位向量. 由定义可以立即看出,零向量是任一向量组的线性组合(只要取系数全为 0 就行了). 是向量组 1 2 , , s 的一个线性组合时,我们也说 可经向量组 1 2 , , s 线性表出. 定义 10 如果向量组 1 2 , , , t 中每一个向量 ( 1,2, , ) i i t = 都可以经向量组 1 2 , , s 线 性表出,那么向量组 1 2 , , , t 就称为可以经向量组 1 2 , , s 线性表出.如果两个向量组互相可 以线性表出,它们就称为等价. 由定义不难证明,每一个向量组都可以经它自身线性表出.同时,如果向量组 1 2 , , , t 可以经向 量 1 2 , , s 线性表出, 向量组 1 2 , , s 可以经向量组 1 2 , , p 线性表出, 那么向量组 1 2 , , , t 可以经向量组 1 2 , , p 线性表出. 事实上,如果 1 , 1,2, , , s i ij j j k i t = = = 1 , 1,2, , , p i jm m m l j s = = = 则 1 s i ij j k = = 1 p jm m m l = = 1 1 ( ) , 1,2, , , p s ij jm m m j k l i t = = = 这就是说,向量组 1 2 , , , t 中每一个向量都可以经向量组 1 2 , , p 线性表出,因而向量组 1 2 , , , t 可以经向量组 1 2 , , p 线性表出. 由上述的结论,得知向量组之间的等价有以下性质: 1) 反身性:每一个向量组都与它自身等价. 2) 对称性: 如 果向 量组 1 2 , , , s 与 1 2 , , s 等 价, 那 么, 向量组 1 2 , , s 也 与 1 2 , , , s 等价. 3) 传递性:如果向量组 1 2 , , , s 与 1 2 , , s 等价, 1 2 , , s 与 1 2 , , p 等价,那么向
量组4,2，.，a,与，.yn等价 定义1如果向量组，“，a,(心之2)中有一向量可以经其余的向量线性表出，那么向量组 4,凸，.，a称为线性相关的 显然，向量组a，4线性相关就表示a,=k，或者=k，（这两个式子不一定能同时成立在三维的 情形，这就表示向量%，与4，共线三个向量a,一，%，线性相关的几何意义说是它们共面. 因为零向量可以被任一个向量组线性表出，所以任意一个包含零向量的向量组必线性相关 定义1向量组a,()称为线性相关，如果有数域P中不全为零的数k,k,.,k 使kg+kg2+.+k,g,=0 现在我们来证明这两个定义在5之2的时候是一致的 如果向量组4,42，.，4，按定义1是线性相关的，那么其中有一个向量是其余向量的线性相关组 合，譬如说a,=ka+ka,+.+kg,.把它改写一下，就有 ka%+k3a2+.+k-a-1+(-l)a,=0 因为数k,k2,k,-1不全为0（至少-1≠0），所以按定义11'，这个向量组线性相关 反过来如果向量组☑，心，.，C,按定义1'线性相关即有不全为零的数k,k,.,k,使 k%1+k42+.+k,&,=0 因为k,k,.,人，不全为零，不妨设k,≠0，于是上式可以改写为 这就是说向量α，可以被其余的向量线性表出，所以此向量组按定义11也线性相关 定义12向量组a,42,C,不线性相关，即没有不全为零的数k,k2,.,k,使 k%+k2++k,g,=0 就称为线性无关，或者说，一向量组,2.，称为线性无关，如果由 kg+k2a%++k,g,=0
量组 1 2 , , , t 与 1 2 , , p 等价. 定义 11 如果向量组 1 2 , , , t ( 2) s 中有一向量可以经其余的向量线性表出,那么向量组 1 2 , , , t 称为线性相关的. 显然,向量组 1 2 , 线性相关就表示 1 2 = k 或者 2 1 = k (这两个式子不一定能同时成立在三维的 情形,这就表示向量 1 与 2 共线.三个向量 1 2 3 , , 线性相关的几何意义说是它们共面. 因为零向量可以被任一个向量组线性表出,所以任意一个包含零向量的向量组必线性相关. 定义 11 向量组 1 2 , , , s ( 1) s 称为线性相关,如果有数域 P 中不全为零的数 1 2 , , , s k k k , 使 1 1 2 2 0 s s k k k + + + = 现在我们来证明这两个定义在 s 2 的时候是一致的. 如果向量组 1 2 , , , s 按定义 11 是线性相关的,那么其中有一个向量是其余向量的线性相关组 合,譬如说 s s s 1 1 2 2 1 1 k k k = + + + − − .把它改写一下,就有 1 1 2 2 1 1 ( 1) 0 s s s k k k + + + + − = − − . 因为数 1 2 1 , , , , 1 s k k k − − 不全为 0 (至少 − 1 0 ),所以按定义 11 ,这个向量组线性相关. 反过来,如果向量组 1 2 , , , s 按定义 11 线性相关,即有不全为零的数 1 2 , , , s k k k 使 1 1 2 2 0 s s k k k + + + = 因为 1 2 , , , s k k k 不全为零,不妨设 0 s k ,于是上式可以改写为 1 2 1 1 2 1 s s s s s s k k k k k k − = − − − − − . 这就是说,向量 s 可以被其余的向量线性表出,所以此向量组按定义 11 也线性相关. 定义 12 向量组 1 2 , , , s 不线性相关,即没有不全为零的数 1 2 , , , s k k k 使 1 1 2 2 0 s s k k k + + + = 就称为线性无关;或者说,一向量组 1 2 , , , s 称为线性无关,如果由 1 1 2 2 0 s s k k k + + + =