这就是方程组(8)的一般解，其中x,是自由未知量 从这个例子看出，一般线性方程组化成阶梯形，不一定就是(5)的样子，但是只要把方程组中的某些 项调动一下，总可以化成(5)的样子 应该看到，r>n的情形是不可能出现的. 以上就是用消元法解线性方程组的整个过程总起来说就是首先用初等变换化线性方程组为阶梯 形方程组，把最后的一些恒等式"0=0”（如果出现的话）去掉如果剩下的方程当中最后的一个等式是零 等于一非零的数，那么方程组无解，否则有解.在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数”等于 未知量的个数，那么方程组有唯一的解：如果阶梯形方程组中方程的个数”小于未知量的个数，那么方程 组就有无穷多个解 定理1在齐次线性方程组 a+azx+.+amxn=0, a+a2x2+.+a2nxn=0 a,x+az2+.+anxn=0 中，如果5<n,那么它必有非零解 证明 显然，方程组在化成阶梯形方程组之后，方程 的个数不会超过原方程组中方程的个数，即 r≤s<n.由r<n得知，它的解不是唯一的，因而必有非零解 矩阵 aa2.anb a1a2.anb (10) 444小4.044. a1a2.amb 称为线性方程组(1)的增广矩阵显然，用初等变换化方程组(1)成阶梯形就相当于用初等行变换化增广 矩阵(10成阶梯形矩阵因此，解线性方程组的第一步工作可以通过矩阵来进行，而从化成的阶梯形矩阵 就可以判别方程组有解还是无解，在有解的情形，回到阶梯形方程组去解 例解 2x-+3x=1 4x-2x3+5x3=4, 2x-2+4x=0, 对它的增广矩阵作初等行变换 2-131)2-1312-131 4-254→00-12→00-12 2-140(001-10001 从最后一行(0001)可以看出原方程组无解 作业：P152,习题1之3). 预习：下一节的基本概念
这就是方程组(8)的一般解,其中 2 x 是自由未知量. 从这个例子看出,一般线性方程组化成阶梯形,不一定就是(5)的样子,但是只要把方程组中的某些 项调动一下,总可以化成(5)的样子. 应该看到,r n 的情形是不可能出现的. 以上就是用消元法解线性方程组的整个过程.总起来说就是,首先用初等变换化线性方程组为阶梯 形方程组,把最后的一些恒等式 "0 0" = (如果出现的话)去掉.如果剩下的方程当中最后的一个等式是零 等于一非零的数,那么方程组无解,否则有解.在有解的情况下,如果阶梯形方程组中方程的个数 r 等于 未知量的个数,那么方程组有唯一的解;如果阶梯形方程组中方程的个数 r 小于未知量的个数,那么方程 组就有无穷多个解. 定理 1 在齐次线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0, 0, 0 n n n n s s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = 中,如果 s n ,那么它必有非零解. 证明 显然,方程组在化成阶梯形方程组之后,方程的个数不会超过原方程组中方程的个数,即 r s n .由 r n 得知,它的解不是唯一的,因而必有非零解. 矩阵 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 n n s s sn s a a a b a a a b a a a b (10) 称为线性方程组(1)的增广矩阵.显然,用初等变换化方程组(1)成阶梯形就相当于用初等行变换化增广 矩阵(10)成阶梯形矩阵.因此,解线性方程组的第一步工作可以通过矩阵来进行,而从化成的阶梯形矩阵 就可以判别方程组有解还是无解,在有解的情形,回到阶梯形方程组去解. 例 解 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1, 4 2 5 4, 2 4 0. x x x x x x x x x − + = − + = − + = 对它的增广矩阵作初等行变换, 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 4 2 5 4 0 0 1 2 0 0 1 2 2 1 4 0 0 0 1 1 0 0 0 1 − − − − → − → − − − 从最后一行 (0 0 01) 可以看出原方程组无解. 作业: P152,习题 1 之 3). 预习: 下一节的基本概念
§2n维向量空间 教学目标掌握解线性方程组高斯消元法，齐次线性方程组有非零解的充分条件 教学重点：解线性方程组高斯消元法 教学方法：讲授法 教学过程 上节我们介绍了消元法，对于具体地解线性方程组，消元法是一个最有效和最基本的方法但是，有 时候需要直接从原方程组来看它是否有解，这样消元法就不能用了.同时用消元法化方程组成阶梯形 剩下来的方程的个数是否唯 一决定的呢，这个问题也是没有解决的这些问题就要求我们对线性方程组 还要作进 非的 显然，一个线性方程组的解的情况是被方程组中方程之间的关系所规定的.臂如说，在51方程组(8) 2x-x+3x=1 4x-2,+5x2=4 2x1-x2+4x3=-1, 中，第一个方程的3倍减去第二个方程就等于第三个方程，这就是说第三个方程可以去掉而不影响方稻 组的解在那里用初等变换得到的阶梯形方程组中只含有两个方程正是反映了这个情况.可以认为，初 等变换是揭露方程之间的关系的一种方法因此，这了直接从原来的线性方程组来讨论它的解的情况 我们有必要来研究方程之间的关系. 个n元方程 a+a2+.+anxn=b 可以用n+l元有序数组(a,4,.,a,b)米代表，所谓方程之间的关系实际上就是代表它们的n+1元 有序数组之间的关系因此，我们先来讨论多元有序数组. 应该指 ,多元有序数组不只是可以代表线性方程，而且还与其它方面有极其广泛的联系在解机 几何中我们已经看到，有些事物的性质不能用一个数来刻画，例如，为了刻画一点在平面上的位置需要 两个数，一点在空间中的位置需要三个数，也就是要知道它们的坐标又如力学中的力、速度、加速度等 由于它们既有大小，又有方向，用一个数也不能刻画它们，在取定坐标系之后，它们可以用三个数来刻画
§2 n 维向量空间 教学目标: 掌握解线性方程组高斯消元法，齐次线性方程组有非零解的充分条件. 教学重点: 解线性方程组高斯消元法. 教学方法: 讲授法. 教学过程: 上节我们介绍了消元法,对于具体地解线性方程组,消元法是一个最有效和最基本的方法.但是,有 时候需要直接从原方程组来看它是否有解,这样,消元法就不能用了.同时,用消元法化方程组成阶梯形, 剩下来的方程的个数是否唯一决定的呢,这个问题也是没有解决的.这些问题就要求我们对线性方程组 还要作进一步的研究. 显然,一个线性方程组的解的情况是被方程组中方程之间的关系所规定的.臂如说,在§1 方程组(8) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1, 4 2 5 4, 2 4 1, x x x x x x x x x − + = − + = − + = − 中,第一个方程的 3 倍减去第二个方程就等于第三个方程,这就是说,第三个方程可以去掉而不影响方程 组的解.在那里用初等变换得到的阶梯形方程组中只含有两个方程正是反映了这个情况.可以认为,初 等变换是揭露方程之间的关系的一种方法.因此,这了直接从原来的线性方程组来讨论它的解的情况, 我们有必要来研究方程之间的关系. 一个 n 元方程 1 1 2 2 n n a x a x a x b + + + = 可以用 n+1 元有序数组 1 2 ( , , , , ) n a a a b 来代表,所谓方程之间的关系实际上就是代表它们的 n+1 元 有序数组之间的关系.因此,我们先来讨论多元有序数组. 应该指出,多元有序数组不只是可以代表线性方程,而且还与其它方面有极其广泛的联系.在解析 几何中我们已经看到,有些事物的性质不能用一个数来刻画.例如,为了刻画一点在平面上的位置需要 两个数,一点在空间中的位置需要三个数,也就是要知道它们的坐标.又如力学中的力、速度、加速度等, 由于它们既有大小,又有方向,用一个数也不能刻画它们,在取定坐标系之后,它们可以用三个数来刻画
几何中向量的概念正是它们的抽象但是，还有不少东西用三个数来刻画是不够的，如一个n元方程组的 解是由n个数组成的，而这n个数作为方程组的解是 个整体，分开来谈是没有意义的在几何上这样的 例子也是不少的.为了刻画一个球的大小和位置需要知道它中心的坐标（三个数）以及它的半径也就是 说，球的大小和位置需要4个数来刻画至于一个刚体的位置的确定就需要6个数了事实上，如果我们在 刚体中取定一个点以及过这一点的一根轴那么刚体的位置就决定于这一点的坐标（三个数）.轴的方向 (两个数一它的方向余弦中的两个)，以及刚体绕这根轴转动的角度（一个数）.在国民经济的问题中，我 们也会碰到这种情况臂如一个工厂生产好几种产品，那么为了说明这个工厂的产量，就需要同时指出 每种产品的产量，又如一个工厂的原料是来自好多地方，于是一个原料的采购计划就需要同时指出从每 个原料产地的采购量总之，这样的例子是举不胜举的，作为它们的一个共同的抽象，我们就有 定义2所谓数域P上一个n维向量就是由数域P中n个数组成的有序数组 (a,a,.,an,b). a,称为向量(1)的分量 几何上的向量可以认为是它的特殊情形，即n=2,3且P为实数域的情形.在n>3时，n维向量就 没有直观的几何意义了我们所以仍然称它为向量，一方面固然是由于它包括通常的向量作为特殊情形 另一方面也由于它与通常的向量确有许多性质是共同的，因而采取这样一个几何的名词有好处 以后我们用小写希腊字母α，B,y,.来代表向量 定义3如果n维向量a=(a,a,.,an),B=(亿，b,.,bn)的对应分量都相等，即 a=b(0=12,., 就称这两个向量是相等的，记作《=B. n维向量之间的基本关系是用向量的加法和数量乘法表达的。 定义4向量 y=(a+h,42+b2,.,an+b） 称为向量 a=(a,4,.,an),B=(h,b,.,bn) 的和，记为y=a+B 由定义立即推出 交换律： a+B=B+a 结合律： a+(B+y)=(a+)+y 定义5分量全为零的向量
几何中向量的概念正是它们的抽象.但是,还有不少东西用三个数来刻画是不够的,如一个 n 元方程组的 解是由 n 个数组成的,而这 n 个数作为方程组的解是一个整体,分开来谈是没有意义的.在几何上这样的 例子也是不少的.为了刻画一个球的大小和位置,需要知道它中心的坐标(三个数)以及它的半径,也就是 说,球的大小和位置需要 4 个数来刻画.至于一个刚体的位置的确定就需要6 个数了.事实上,如果我们在 刚体中取定一个点以及过这一点的一根轴,那么刚体的位置就决定于这一点的坐标(三个数),轴的方向 (两个数-它的方向余弦中的两个),以及刚体绕这根轴转动的角度(一个数).在国民经济的问题中,我 们也会碰到这种情况.臂如一个工厂生产好几种产品,那么为了说明这个工厂的产量,就需要同时指出 每种产品的产量;又如一个工厂的原料是来自好多地方,于是一个原料的采购计划就需要同时指出从每 个原料产地的采购量.总之,这样的例子是举不胜举的,作为它们的一个共同的抽象,我们就有 定义 2 所谓数域 P 上一个 n 维向量就是由数域 P 中 n 个数组成的有序数组 1 2 ( , , , , ) n a a a b , (1) i a 称为向量(1)的分量. 几何上的向量可以认为是它的特殊情形,即 n = 2,3 且 P 为实数域的情形.在 n 3 时, n 维向量就 没有直观的几何意义了.我们所以仍然称它为向量,一方面固然是由于它包括通常的向量作为特殊情形, 另一方面也由于它与通常的向量确有许多性质是共同的,因而采取这样一个几何的名词有好处. 以后我们用小写希腊字母 , , , 来代表向量. 定义 3 如果 n 维向量 1 2 ( , , , ), n = = a a a 1 2 ( , , , ) n b b b 的对应分量都相等,即 ( 1,2, , ) i i a b i n = = 就称这两个向量是相等的,记作 = . n 维向量之间的基本关系是用向量的加法和数量乘法表达的. 定义 4 向量 1 1 2 2 ( , , , ) n n = + + + a b a b a b 称为向量 1 2 ( , , , ), n = = a a a 1 2 ( , , , ) n b b b 的和，记为 = + . 由定义立即推出 交换律： + = + . (2) 结合律： + + ( ) = + + ( ) (3) 定义 5 分量全为零的向量
(0,0,0) 称为零向量，记为0：向量(-4，-4，.，-an)称为向量=(a,4,.,a)的负向量，记为-a 显然，对于所有的a,都有 a+0=a (4) a+(-a)=0 (5) (2)-(⑤)是向量加法的四条基本运算规律 利用负向量，我们可以定义向量的减法。 定义6a-B=a+(-B) 定义7设k为数域P中的数，向量 (ka,ka2,.,kan) 称为向量a=(a,4,.,an)与数k的数量乘积，记为ka 由定义立即推出： k(a+B)=ka+kB. (k+)a=ka+ka, k(la)=(kl)a. (8) la=a. (6)-(9)是关于数量乘法的四条基本运算规则.由(6)-(9)或者由定义不难推出： 0a=0, (10) (-l0a=-a. (10) k0=0 (12) 如果k≠0，a≠0，那么 ka≠0. (13) 定义8以数域P中的数作为分量的n维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量 乘法称为数域P上的n维向量空间. 在1=3时.3维 向量空间可以认为就是几何空间中全体向量所成的空间， 向量通常是写成一 a=(a,a2,.,a) 有时候也可以写成一列：
(0,0, 0) 称为零向量，记为 0 ；向量 1 2 ( , , , ) n − − − a a a 称为向量 1 2 ( , , , ) n = a a a 的负向量，记为− . 显然，对于所有的 a ，都有 + =0 (4) + − = ( ) 0 (5) (2) (5) − 是向量加法的四条基本运算规律. 利用负向量,我们可以定义向量的减法. 定义 6 − = + −( ) 定义 7 设 k 为数域 P 中的数,向量 1 2 ( , , , ) n ka ka ka 称为向量 1 2 ( , , , ) n = a a a 与数 k 的数量乘积,记为 k . 由定义立即推出: k k k ( ) , + = + (6) ( ) , k l k k + = + (7) k l kl ( ) ( ) , = (8) l = . (9) (6) (9) − 是关于数量乘法的四条基本运算规则.由 (6) (9) − 或者由定义不难推出: 0 0, = (10) ( 1) . − = − (11) k0 0 = (12) 如果 k 0, 0, 那么 k 0 . (13) 定义 8 以数域 P 中的数作为分量的 n 维向量的全体,同时考虑到定义在它们上面的加法和数量 乘法,称为数域 P 上的 n 维向量空间. 在 n = 3 时,3 维实向量空间可以认为就是几何空间中全体向量所成的空间. 向量通常是写成一行; 1 2 ( , , , ) n = a a a 有时候也可以写成一列:
9 a.) 为了区别，前者称为行向量，后者称为列向量它们的区别只是写法上的不同。 作业：P152,习题2. 预习：下一节基本概念 S3线性相关性 教学目标掌握线性组合、向量组之间的等价、线性相关、线性无关、极大线性无关组的概念 与相关性质， 教学重点：线性相关、线性无关、极大线性无关组的概念与相关性质 教学方法：讲授法 教学过程： 在这一节我们来进一步研究向量之间的关系两个向量之间最简单的关系是成比例所谓向量与 B成比例就是说有一数k使a=kB. 在多个向量之间，成比例的关系表现为线性组合。 定义9向量α称为向量组B,B,.B的一个线性组合，如果有数域中P中的数k,k,.,k,使 a=kB+kB+.+kB 例如，§1的方程组(8)的三个方程可以用向量 4=(2,-1,3,1),42=(4,-2,5,4),43=(2,-1,4,-1) 来代表，a就是向量组a,42的一个线性组合，因为a3=3a,-42 又如，任一个n维向量a=(a,a2,.,a)都是向量组
1 2 n a a a = 为了区别,前者称为行向量,后者称为列向量.它们的区别只是写法上的不同. 作业: P152,习题 2. 预习: 下一节基本概念. §3 线性相关性 教学目标: 掌握线性组合、向量组之间的等价、线性相关、线性无关、极大线性无关组的概念 与相关性质. 教学重点: 线性相关、线性无关、极大线性无关组的概念与相关性质. 教学方法: 讲授法. 教学过程: 在这一节我们来进一步研究向量之间的关系.两个向量之间最简单的关系是成比例.所谓向量 与 成比例就是说有一数 k 使 = k . 在多个向量之间,成比例的关系表现为线性组合. 定义 9 向量 称为向量组 1 2 , , s 的一个线性组合,如果有数域中 P 中的数 1 2 , , , s k k k 使 1 1 2 2 s s = + + + k k k 例如,§1 的方程组(8)的三个方程可以用向量 1 2 3 = − = − = − − (2, 1,3,1), (4, 2,5,4), (2, 1,4, 1) 来代表, 3 就是向量组 1 2 , 的一个线性组合,因为 3 1 2 = − 3 . 又如,任一个 n 维向量 1 2 ( , , , ) n = a a a 都是向量组