结论:若单步法的局部截断误差为O(hP+) 整体截断误差为O(hP) 条件:满足 Lipsch条件
结论：若单步法的局部截断误差为O（h P+1) 整体截断误差为O（h P ) 条件：满足Lipschitz条件
单步法的收敛性定义 定义若某算法对于任意固定的x=x1=x0+ih,当 h->0(同时i→∞)时有y→y(x),则称该算法是收 敛的。 结论1:收敛<体截断误差E;0 结论2:只要单步法(35)式是高于零阶的方法, 判断单步法(35)式的收敛性就归结为验证其增量 函数(xy,h)是否满足对y的 Lipschitz条件
定义 若某算法对于任意固定的 x = xi = x0 + i h，当 h→0 ( 同时 i → ) 时有 yi → y( xi )，则称该算法是收 敛的。 单步法的收敛性定义 结论1：收敛 整体截断误差Ei 0 结论2：只要单步法(35)式是高于零阶的方法， 判断单步法(35)式的收敛性就归结为验证其增量 函数(x, y, h)是否满足对y的Lipschitz条件
例5Eule方法是收敛的 证明:由于Euer方法是一阶方法,且其增量 函数Φ(x,y,h)=f(x,y).而初值问题是要求函 数f(x,y对满足 Lipschitz条件的 故 Euler方法收敛
例5 Euler方法是收敛的. 证明： 由于Euler方法是一阶方法，且其增量 函数(x, y, h) =f (x, y)．而初值问题是要求函 数f (x, y)对y满足Lipschitz条件的， 故Euler方法收敛
例6改进Eule方法是收敛的 证明改进 Euler方法是二阶方法,其增量函数为 中(x,y,h)=万[f(x,y)+f(x+h,y+htf(x,y)】(42) 下面证明,当f(x,y)满足对y的 Lipschitz条件时,(42) 式中的Φ(x,y,h)也满足对y的 Lipschitz条件
例6 改进Euler方法是收敛的. 证明 改进Euler方法是二阶方法，其增量函数为 • 下面证明，当f (x, y)满足对y的Lipschitz条件时，(42) 式中的 (x, y, h)也满足对y的Lipschitz条件
由(42)式有 中(x,y,h)-4(x,y,b)≤f(x,y)-f(x,y) +af(x+h,y+hf(x,y))-f(x+ h,y+ hf(x,y) <ALy -y+L(y hf(x,y))-y+ hf(x, y))ll LLly-y+L(y-y+ hf(x, y)-f(x,y)D) ≤L(1+=hL)y-yl 假定h≤h(h为定数),并记L=L(1+hoL),则 有 中(x,y,h)-φ(x,y,b)≤Ly-y 即Φ(x,yh)满足对y的 Lipschitz条件,故改进的 Euler方法是收敛的
• 由(42)式有 • 假定h h0 (h0为定数)，并记 ，则 有 • 即(x, y, h)满足对y的Lipschitz条件，故改进的 Euler方法是收敛的