系数行列式为: 2 0 XX n(0:1 X 2 n n 此为范德蒙行列式。利用行列式性 质可得 Vn(x,x…,xn)=I(x1-x) 由于i≠j时x≠x,故所有因子 x-x≠0,于是 0:41 )≠0
6 系数行列式为： n n n n n n n n x x x x x x x x x V x x x 2 1 2 1 1 0 2 0 0 0 1 1 1 1 ( , , , ) = 此为范德蒙行列式。利用行列式性 质可得 = − = = − n i i j n n i j V x x x x x 1 1 0 0 1 ( , ,, ) ( ) 由于 i j 时 i j x x ，故所有因子 xi − x j 0 ，于是 ( , , , ) 0 0 1 n n V x x x
即插值多项式存在唯 2-2线性插值与抛物线插值 线性插值(一次插值) 1.问题的提法 已知函数f(x)在区间xx的 端点上的函数值 k=/(k),yk+/=f(k+l), k 个一次函数 使得 k =Pak), yu=P(u) 其几何意义是已知平面上两点 求一条 直线过该已知两点
7 即插值多项式存在唯一。 2-2 线性插值与抛物线插值 一、 线性插值（一次插值） 1.问题的提法 已知函数 f x( ) 在区间 x x k k 1 , + 的 端点上的函数值 ( ), ( ) y f x y f x k k k 1 k 1 = = + + ，求 一个一次函数 ( ) 1 y P x = 使得 ( ), ( ) y P x y P x k 1 k k 1 1 k 1 = = + + 。 其几何意义是已知平面上两点 ( x y x y k k k 1 k 1 , , , ) ( + + ) ,求一条 直线过该已知两点
p,( 2.插值函数和插值基函数 由直线的点斜式公式可知: P,()=yk+ K+l k+l k 把此式按照k和k+写成两 项
8 2.插值函数和插值基函数 由直线的点斜式公式可知： ( ) ( ) k 1 k 1 k k k 1 k y y P x y x x x x + + − = + − − 把此式按照 yk 和 k 1 y + 写成两 项： y x 0 x 1 x 0 y y1 f x( ) 1 p x( )
r- P1(x) k+l 十 k k+l k k+l x k (两点式), 记 d- d-a l(x)= k+l k k k+l k+I k 并称它们为一次插值基函数。 该基函数的特点如下表 x 从而 P()=yg k(x)+yklk(x) 此 形式称之为拉格朗日型插
9 ( ) k 1 k 1 k k 1 k k 1 k 1 k x x x x P x y y x x x x + + + + − − = + − − （两点式）， 记 ( ) , ( ) k 1 k k k 1 k k 1 k 1 k x x x x l x l x x x x x + + + + − − = = − − ， 并称它们为一次插值基函数。 该基函数的特点如下表： ( ) ( ) k k 1 k k 1 x x l x 1 0 l x 0 1 + + 从而 ( ) ( ) ( ) P x y l x y l x 1 k k k 1 k 1 = + + + ,此 形式称之为拉格朗日型插
值多项式。其中,插值基函数与 yk、Jk+无关,而由插值结 点k、xk+1所决定 一次插值多项式是插值基函数的 线性组合,相应的组合系 数是该点的函数值k、+1。 二、二次插值多项式(抛物线插值) 1.问题的提出 已知函数y=(x)在点 xk-1,Xk,k+1上的函数值
10 值多项式。其中,插值基函数与 yk 、 k 1 y + 无关，而由插值结 点 xk 、 k 1 x + 所决定。 一次插值多项式是插值基函数的 线性组合,相应的组合系 数是该点的函数值 yk 、 k 1 y + 。 二、 二次插值多项式(抛物线插值) 1.问题的提出 已知函数 y f x = ( ) 在点 , , x x x k 1 k k 1 − + 上的函数值