第4单元 万有引力与航天 必备知识要打率 抓双基 固本 得基础分 掌握程度 知说点一 万有引力定律 想一想 (1)开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运动,也适用于卫星绕地球运动,若 颗卫星绕地球做椭圆轨道运动,则它在近地点和远地点的速度大小关系如何? (2)请根据万有引力定律和牛顿第二定律分析地球表面上不同质量的物体的重力加速度 大小关系。 提示:(1)由于卫星与地球的连线在单位时间内扫过的面积相等,故卫星在近地点的速 度大于在远地点的速度 R2=mg可知 GM (2)由 可见,物体的重力加速度大小与物体的质量大小无关 [记一记] 1.开普勒行星运动定律 (1)开普勒第一定律:所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点 上 (2)开普勒第二定律:对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等 的面积 (3)开普勒第三定律:所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比 值都相等,表达式:=k 2.万有引力定律 (1)公式:F=Om,其中G=667×101Nm3g3,叫引力常量。 (2)公式适用条件:此公式适用于质点间的相互作用。当两物体间的距离远远大于物体 本身的大小时,物体可视为质点。均匀的球体可视为质点,r是两球心间的距离。一个均匀 球体与球外一个质点间的万有引力也适用,其中r为球心到质点间的距离。 1.一名宇航员来到一个星球上,如果该星球的质量是地球质量的一半,它的直径也是
1 第 4 单元 万有引力与航天 万有引力定律 [想一想] (1)开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运动，也适用于卫星绕地球运动，若一 颗卫星绕地球做椭圆轨道运动，则它在近地点和远地点的速度大小关系如何？ (2)请根据万有引力定律和牛顿第二定律分析地球表面上不同质量的物体的重力加速度 大小关系。 提示：(1)由于卫星与地球的连线在单位时间内扫过的面积相等，故卫星在近地点的速 度大于在远地点的速度。 (2)由 GMm R 2 ＝mg 可知，g＝ GM R 2 可见，物体的重力加速度大小与物体的质量大小无关。 [记一记] 1．开普勒行星运动定律 (1)开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点 上。 (2)开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等 的面积。 (3)开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比 值都相等，表达式： a 3 T 2＝k。 2．万有引力定律 (1)公式：F＝G m1m2 r 2 ，其中 G＝6.67×10－11N·m2 /kg2，叫引力常量。 (2)公式适用条件：此公式适用于质点间的相互作用。当两物体间的距离远远大于物体 本身的大小时，物体可视为质点。均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离。一个均匀 球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中 r 为球心到质点间的距离。 [试一试] 1．一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是
地球直径的一半,那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是它在地球上所受万有引 力的() A.0.25倍 B.0.5倍 C.2.0倍 D.40倍 2GMom 2GM 解析:选CF=了5n)2m =2F地,故C项正确 即说点三 卫星运行规律及宇宙速度 [想一想] 在地球周围飞行着许多人造地球卫星,由于用途不同,它们的运行轨道也不相同,请思 考以下问题: (1)若各卫星的轨道均为圆形轨道,这些轨道有什么共同点 (2)各圆形轨道卫星的飞行速度是不同的,卫星离地面越近,其飞行速度越大还是越小, 它们的最大速度是多少? 提示:(1)各圆形轨道的圆心均为地球的球心 (2)离地面越近的卫星,飞行速度越大,卫星沿圆形轨道运行的最大速度为79kms,也 就是第一宇宙速度。 记一记] 地球同步卫星的特点 (1)轨道平面一定:轨道平面和赤道平面重合 (2)周期一定:与地球自转周期相同,即T=24h=86400s (3)角速度一定:与地球自转的角速度相同 (4)高度一定:据CMm=m红得 GMT2 =424×10km,卫星离地面高度h 4 R≈6R(为恒量) (5)速率一定:运动速度U=2mT=3.07km/s(为恒量) (6)绕行方向一定:与地球自转的方向一致 2.极地卫星和近地卫星 (1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极,由于地球自转,极地卫星可以实现全球覆盖。 (2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星,其运行的轨道半径可 近似认为等于地球的半径,其运行线速度约为79km/s (3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心 3.三种宇宙速度比较
2 地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是它在地球上所受万有引 力的( ) A．0.25 倍 B．0.5 倍 C．2.0 倍 D．4.0 倍 解析：选 C F 引＝ GMm r 2 ＝ 1 2 GM0m ( 1 2 r0) 2 ＝ 2GM0m r 2 0 ＝2F 地，故 C 项正确。 卫星运行规律及宇宙速度 [想一想] 在地球周围飞行着许多人造地球卫星，由于用途不同，它们的运行轨道也不相同，请思 考以下问题： (1)若各卫星的轨道均为圆形轨道，这些轨道有什么共同点。 (2)各圆形轨道卫星的飞行速度是不同的，卫星离地面越近，其飞行速度越大还是越小， 它们的最大速度是多少？ 提示：(1)各圆形轨道的圆心均为地球的球心。 (2)离地面越近的卫星，飞行速度越大，卫星沿圆形轨道运行的最大速度为 7.9 km/s，也 就是第一宇宙速度。 [记一记] 1．地球同步卫星的特点 (1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。 (2)周期一定：与地球自转周期相同，即 T＝24h＝86 400 s。 (3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。 (4)高度一定：据 G Mm r 2 ＝m 4π2 T 2 r 得 r＝ 3 GMT2 4π2 ＝4.24×104 km，卫星离地面高度 h＝r －R≈6R(为恒量)。 (5)速率一定：运动速度 v＝2πr/T＝3.07 km/s(为恒量)。 (6)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。 2．极地卫星和近地卫星 (1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。 (2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可 近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为 7.9 km/s。 (3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。 3．三种宇宙速度比较
宇宙速度数值(km/s) 意义 第一宇宙 这是卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度,若79km/s≤U 速度 <112km,物体绕地球运行(环绕速度) 第二宇宙 这是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度,若11.2km/s≤U 速度 <167km/s,物体绕太阻运行(脱离速度) 第三宇宙 这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度,若≥16.7 16.7 速度 km/s,物体将脱离太阳引力束缚在宇宙空间运行(逃逸速度) 2.由于通讯和广播等方面的需要,许多国家发射了地球同步轨道卫星,这些卫星的 A.质量可以不同 B.轨道半径可以不同 C.轨道平面可以不同 D.速率可以不同 解析:选A同步卫星轨道只能在赤道平面内,高度一定,轨道半径一定,速率一定 但质量可以不同,A项正确 知识点目 经典时空观和相对论时空观 [记一记] 1.经典时空观 (1)在经典力学中,物体的质量是不随速度的改变而改变的 (2)在经典力学中,同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中 是相同的。 2.相对论时空观 同一过程的位移和时间的测量与参考系有关,在不同的参考系中不同。 3.经典力学有它的适用范围 只适用于低速运动,不适用于高速运动;只适用于宏观世界,不适用于微观世界。 3.下列说法正确的是() A.牛顿运动定律就是经典力学 B.经典力学的基础是牛顿运动定律 C.牛顿运动定律可以解决自然界中所有的问题 D.经典力学可以解决自然界中所有的问题
3 宇宙速度 数值(km/s) 意义 第一宇宙 速度 7.9 这是卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度，若 7.9 km/s≤v ＜11.2 km/s，物体绕地球运行(环绕速度) 第二宇宙 速度 11.2 这是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，若 11.2 km/s≤v ＜16.7 km/s，物体绕太阳运行(脱离速度) 第三宇宙 速度 16.7 这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，若 v≥16.7 km/s，物体将脱离太阳引力束缚在宇宙空间运行(逃逸速度) [试一试] 2．由于通讯和广播等方面的需要，许多国家发射了地球同步轨道卫星，这些卫星的 ( ) A．质量可以不同 B．轨道半径可以不同 C．轨道平面可以不同 D．速率可以不同 解析：选 A 同步卫星轨道只能在赤道平面内，高度一定，轨道半径一定，速率一定， 但质量可以不同，A 项正确。 经典时空观和相对论时空观 [记一记] 1．经典时空观 (1)在经典力学中，物体的质量是不随速度的改变而改变的。 (2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中 是相同的。 2．相对论时空观 同一过程的位移和时间的测量与参考系有关，在不同的参考系中不同。 3．经典力学有它的适用范围 只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界。 [试一试] 3．下列说法正确的是( ) A．牛顿运动定律就是经典力学 B．经典力学的基础是牛顿运动定律 C．牛顿运动定律可以解决自然界中所有的问题 D．经典力学可以解决自然界中所有的问题
解析:选B经典力学并不等于牛顿运动定律,牛顿运动定律只是经典力学的基础,经 典力学并非万能,也有其适用范围,并不能解决自然界中所有的问题,没有哪个理论可以解 决自然界中所有的问题。因此只有搞清牛顿运动定律和经典力学的隶属关系,明确经典力学 的适用范围,才能正确解决此类问题。 高频考点要通关 抓考点 攻重点 得拔高分 掌握程度 人造卫星的运行问题 1一种模型 无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看做质点, 围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动 2.两条思路 (1)万有引力提供向心力即CMmn=m (2)天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力, R=mg或gR2=GMR、g分别 是天体的半径、表面重力加速度),公式gR2=GM,应用广泛,称“黄金代换” 3.三个物体 求解卫星运行问题时,一定要认清三个物体(赤道上的物体、近地卫星、同步卫星)之间 的关系。 比较内容 赤道表面的物体 近地卫星 同步卫星 向心力来源 万有引力的分力 万有引力 向心力方向 指向地心 重力与万有引力的关系重力略小于万有引力 重力等于万有引力 3=3(R+h) 线速度 R GM R+h U1<U3<U2(2为第一宇宙速度) O3=a自 01=0自 角速度 R (R+h) 1=03<02
4 解析：选 B 经典力学并不等于牛顿运动定律，牛顿运动定律只是经典力学的基础，经 典力学并非万能，也有其适用范围，并不能解决自然界中所有的问题，没有哪个理论可以解 决自然界中所有的问题。因此只有搞清牛顿运动定律和经典力学的隶属关系，明确经典力学 的适用范围，才能正确解决此类问题。 人造卫星的运行问题 1.一种模型 无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看做质点， 围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。 2．两条思路 (1)万有引力提供向心力即 G Mm r 2 ＝ma。 (2)天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即 GMm R 2 ＝mg 或 gR2＝GM(R、g 分别 是天体的半径、表面重力加速度)，公式 gR2＝GM，应用广泛，称“黄金代换”。 3．三个物体 求解卫星运行问题时，一定要认清三个物体(赤道上的物体、近地卫星、同步卫星)之间 的关系。 比较内容 赤道表面的物体 近地卫星 同步卫星 向心力来源 万有引力的分力 万有引力 向心力方向 指向地心 重力与万有引力的关系 重力略小于万有引力 重力等于万有引力 线速度 v1＝ω1R v2＝ GM R v3＝ω3(R＋h)＝ GM R＋h v1<v3<v2(v2 为第一宇宙速度) 角速度 ω1＝ω 自 ω2＝ GM R 3 ω3＝ω 自＝ GM (R＋h) 3 ω1＝ω3<ω2
3(R+h) aI=OiR GM 1-2 ER 向心加速度 (R+h)2 a1<a3<a2 4四个关系 “四个关系”是指人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系。 m一a= GMm 越高越慢 n0· 42r3 「例1](2012·浙江高考)如图4-4-1所示,在火星与木星轨道之间有一小行星带。假 设该带中的小行星只受到太阳的引力,并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是() 阳·地球 图 A.太阳对各小行星的引力相同 B.各小行星绕太阳运动的周期均小于一年 C.小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值 D.小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值 尝试解题] 因各小行星到太阳中心的距离不同,皆大于地球到太阳中心的距离,根据万有引力公式 如m=m=m(2}=m,知太阳对各小行星的引力不相同,各小行星绕太阳运动的周期 均大于年,则选项A、B错误,由a=和n2GM,r越小,a越大,r越大,越小, 则选项C正确,D错误。 答案]C 规律总结]::: (1)不同轨道上运行的卫星的加速度、线速度、角速度、周期可以比较大小,但不同轨 道上卫星的质量及所受的万有引力大小无法比较。 2)要熟记经常用到的常数,如地球自转一周为一天,绕太阳公转一周为一年,月球绕
5 向心加速度 a1＝ω 2 1 R a2＝ω 2 2 R＝ GM R 2 a3＝ω 2 3 (R＋h)＝ GM (R＋h) 2 a1<a3<a2 4.四个关系 “四个关系”是指人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系。 GMm r 2 ＝ ma―→a＝ GM r 2 ―→a∝ 1 r 2 m v 2 r ―→v＝ GM r ―→v∝ 1 r mω2 r―→ω＝ GM r 3 ―→ω∝ 1 r 3 m 4π2 T 2 r―→T＝ 4π2 r 3 GM ―→T∝ r 3 越高越慢 [例 1] (2012·浙江高考)如图 4－4－1 所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假 设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是( ) 图 4－4－1 A．太阳对各小行星的引力相同 B．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年 C．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值 D．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值 [尝试解题] 因各小行星到太阳中心的距离不同，皆大于地球到太阳中心的距离，根据万有引力公式 G Mm r 2 ＝m v 2 r ＝m( 2π T ) 2 r＝ma，知太阳对各小行星的引力不相同，各小行星绕太阳运动的周期 均大于一年，则选项 A、B 错误，由 a＝ GM r 2 和 v 2＝ GM r ，r 越小，a 越大，r 越大，v 越小， 则选项 C 正确，D 错误。 [答案] C (1)不同轨道上运行的卫星的加速度、线速度、角速度、周期可以比较大小，但不同轨 道上卫星的质量及所受的万有引力大小无法比较。 (2)要熟记经常用到的常数，如地球自转一周为一天，绕太阳公转一周为一年，月球绕