（I）当α=1时，求未知参数β的矩估计量；（II）当α=1时，求未知参数β的最大似然估计量;(II)当β=2时，求未知参数α的最大似然估计量2004年考研数学（三）真题解析、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）sinx(1) 若lim-(cosx-b)=5，则a=1，b=-4x-→0ex1【分析】本题属于已知极限求参数的反问题sinx【详解】因为lim-(cosx-b)=5，且limsinx·(cosx-b)=0，所以x-0er-ax>0lim(e-a)=0，得a=1.极限化为x-0sinx(cosx-b)= lim =(cosx-b)=1-b=5,得 b=-4.lim0ex-ax->0x因此，a=1，b=-4.【评注】一般地，已知lim（(a=Ag(x)(1)若g(x)→0，则f(x)→0;(2)若f(x)→0,且A0，则g(x)→0.(2）设函数f(u,v)由关系式f[xg(y)，=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)*0,a"fg'(v)则Ouovg(v)【分析】令u=xg(y)，v=y，可得到f(u，v)的表达式，再求偏导数即可.u【详解】令u=xg(y)，=y，则f(u,v) =+g(v) ,g(v)a2f1afg(v)所以，auaudvg(v)g?(v)11xe≤x<C2则[if(x-1)dx=(3)设f(x):121,>2【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：X一1=t，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可f(x- 1)dx =[["i f(t)dt = [1f(x)dt【详解】令x-1=t,22, xe dx+fi(-1)dx =0+(-1)=-0222
(Ⅰ) 当 时, 求未知参数 的矩估计量; (Ⅱ) 当 时, 求未知参数 的最大似然估计量; (Ⅲ) 当 时, 求未知参数 的最大似然估计量. 2004 年考研数学（三）真题解析 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） (1) 若 ，则 a = ，b = . 【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为 ，且 ，所以 ，得 a = 1. 极限化为 ，得 b = −4. 因此，a = 1，b = −4. 【评注】一般地，已知 ＝ A， (1) 若 g(x) → 0，则 f (x) → 0； (2) 若 f (x) → 0，且 A 0，则 g(x) → 0. (2) 设函数 f (u , v)由关系式 f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y) 0， 则 . 【分析】令 u = xg(y)，v = y，可得到 f (u , v)的表达式，再求偏导数即可. 【详解】令 u = xg(y)，v = y，则 f (u , v) = ， 所以， ， . (3) 设 ，则 . 【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x − 1 = t，再利用对称区间上奇偶函数 的积分性质即可. 【详解】令 x − 1 = t， ＝ . α = 1 β α = 1 β β = 2 α (cos ) 5 sin lim 0 − = → − x b e a x x x 1 − 4 (cos ) 5 sin lim 0 − = → − x b e a x x x lim sin (cos ) 0 0 − = → x x b x lim( ) 0 0 − = → e a x x (cos ) lim (cos ) 1 5 sin lim 0 0 − = − = − = → − → x b b x x x b e a x x x x ( ) ( ) lim g x f x ( ) ( ) 2 2 g v g v u v f = − ( ) ( ) g v g v u + ( ) 1 u g v f = ( ) ( ) 2 2 g v g v u v f = − − − = 2 1 1 , 2 1 2 1 , ( ) 2 x xe x f x x 2 1 ( 1) 2 2 1 − = − f x dx − − − = = 1 2 1 1 2 1 2 2 1 f (x 1)dx f (t)dt f (x)dt 2 1 ) 2 1 ( 1) 0 ( 1 2 1 2 1 2 1 2 + − = + − = − − xe dx dx x
【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解(4)二次型f(x,x2,x)=(x+x2)+(x2-x)+(x+x)的秩为_2【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩，亦即标准型中平方项的项数，于是利用初等变换或配方法均可得到答案【详解一)因为f(,x2,x,)=(x, +x,)2+(xz-x)+(x, +x)=2x2+2x+2x+2xx2+2xx-2x2xg(2111 2-1A=于是二次型的矩阵为(1 -1 2)(1 -1 2)-12)A→03-33-3由初等变换得00(03-3)0从而r(A)=2，即二次型的秩为2【详解二】因为f(x,X2,x）=(x+x2)+(x2-x）+(x+x）=2x2+2x2+2x+2xx2+2xx-2x2x3113*)+号(-号)= 2(x +法+235=2y251￥1其中yi =xi+Y2= X2-3X2+X3,22所以二次型的秩为2.(5）设随机变量X服从参数为入的指数分布，则PIX>VDX)=e【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案1【详解】由于DX=X的分布函数为R[1-e-x, x>0,F(x) =0,x≤0.故P(X >/DX)= 1- P(X ≤/DX)= 1- P(X ≤1 =1-F(2【评注】本题是对重要分布，即指数分布的考查，属基本题型(6）设总体X服从正态分布N(μ1,α2），总体Y服从正态分布N(μ2,"）XX,X，和Y,Y,Y分别是来自总体X和Y的简单随机样本，则
【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解. (4) 二次型 的秩为 2 . 【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换 或配方法均可得到答案. 【详解一】因为 于是二次型的矩阵为 , 由初等变换得 , 从而 , 即二次型的秩为 2. 【详解二】因为 , 其中 . 所以二次型的秩为 2. (5) 设随机变量 服从参数为 的指数分布, 则 . 【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案. 【详解】 由于 , 的分布函数为 故 . 【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型. (6) 设总体 服从正态分布 , 总体 服从正态分布 , 和 分别是来自总体 和 的简单随机样本, 则 2 3 1 2 2 3 2 1 2 3 1 2 f (x , x , x ) = (x + x ) + (x − x ) + (x + x ) 2 3 1 2 2 3 2 1 2 3 1 2 f (x , x , x ) = (x + x ) + (x − x ) + (x + x ) 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 = 2x1 + 2x + 2x + 2x x + 2x x − 2x x − = − 1 1 2 1 2 1 2 1 1 A − − → − − − → 0 0 0 0 3 3 1 1 2 0 3 3 0 3 3 1 1 2 A r(A) = 2 2 3 1 2 2 3 2 1 2 3 1 2 f (x , x , x ) = (x + x ) + (x − x ) + (x + x ) 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 = 2x1 + 2x + 2x + 2x x + 2x x − 2x x 2 2 3 2 1 2 3 ( ) 2 3 ) 2 1 2 1 = 2(x + x + x + x − x 2 2 2 1 2 3 = 2y + y , 2 1 2 1 1 1 2 3 y = x + x + x 2 2 3 y = x − x X λ P{X DX } = e 1 2 1 λ DX = X − = − 0, 0. 1 , 0, ( ) x e x F x λx P{X DX } = 1− P{X DX } = − } = 1 1 { λ P X ) 1 1 ( λ − F e 1 = X ( , ) 2 N μ1 σ Y ( , ) 2 N μ2 σ 1 , , X1 X2 Xn 2 , , Y1 Y2 Yn X Y
Tn +n2 -2【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案/1【详解】因为E[--Y)1=α2-X1=α,XEY.ni-1台n,故应填。2【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） x |sin(x-2)(7)函数f(x)=在下列哪个区间内有界x(x- 1)(x- 2)2(A) (-1, 0).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3).【A](B) (0 ,1).【分析】如f(x)在(a,b)内连续，且极限 limf(x)与limf(x)存在，则函数f(x)xax-→>b在(a,b)内有界sin3sin 2【详解】当x￥0,1,2时，f(x)连续，而lim，f(x)=lim f(x)=184x-1x→0-sin2lim f(x)=limf(x)=o01lim f(x)= 004x-→1x>2x-0+所以，函数f(x)在(-1,0)内有界，故选(A)【评注】一般地，如函数f(x)在闭区间[a,b])上连续，则f(x)在闭区间[a，b)上有界；如函数f(x)在开区间(a,b)内连续，且极限 limf(x)与limf(x)存在，则函数f(x)在开区间(a,b)内有界.x-→bxa(8)设f(x)在(-00,+o0)内有定义，且lim f(x)=a,x0).x±0LfC则g(x) =0,x=0(A)x=0 必是g(x)的第一类间断点.(B)x=0 必是g(x)的第二类间断点(C)x=0 必是g(x)的连续点(D)g(x)在点x=0处的连续性与α的取值有关[D]1【分析】考查极限limg(x）是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通过换元u=x-0P可将极限limg(x）转化为limf(x).【详解】因为limg(x)=limf(-)=lim f(u)=α(令u=-)，又g(0)=0，所以,x-0X+当α=0时，limg(x)=g(0)，即g(x)在点x=0处连续，当a+0时，x-0
. 【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案. 【详解】因为 , , 故应填 . 【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查. 二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要 求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数 在下列哪个区间内有界. (A) (−1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). [ A ] 【分析】如 f(x)在(a , b)内连续，且极限 与 存在，则函数 f (x) 在(a , b)内有界. 【详解】当 x 0 , 1 , 2 时，f (x)连续，而 ， ， ， ， ， 所以，函数 f (x)在(−1 , 0)内有界，故选(A). 【评注】一般地，如函数 f(x)在闭区间[a , b]上连续，则 f(x)在闭区间[a , b]上有界；如函数 f(x)在开区间(a , b)内连续，且极限 与 存在，则函数 f (x)在开区间(a , b)内有界. (8) 设 f (x)在(− , +)内有定义，且 ， ，则 (A) x = 0 必是 g(x)的第一类间断点. (B) x = 0 必是 g(x)的第二类间断点. (C) x = 0 必是 g(x)的连续点. (D) g(x)在点 x = 0 处的连续性与 a 的取值有关. [ D ] 【分析】考查极限 是否存在，如存在，是否等于 g(0)即可，通过换元 ， 可将极限 转化为 . 【详解】因为 = a(令 )，又 g(0) = 0，所以， 当 a = 0 时， ，即 g(x)在点 x = 0 处连续，当 a 0 时， 2 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 1 2 σ n n X X Y Y E n j j n i i = + − − + − = = 2 1 2 1 ( ) ] 1 1 [ 1 X X σ n E n i i − = − = 2 1 2 2 ( ) ] 1 1 [ 2 Y Y σ n E n j j − = − = 2 σ 2 ( 1)( 2) | |sin( 2) ( ) − − − = x x x x x f x lim f (x) x a → + lim f (x) x b → − 18 sin3 lim ( ) 1 = − + →− f x x 4 sin 2 lim ( ) 0 = − → − f x x 4 sin 2 lim ( ) 0 = → + f x x = → lim ( ) 1 f x x = → lim ( ) 2 f x x lim f (x) x a → + lim f (x) x b → − f x a x = → lim ( ) = = 0 , 0 ) , 0 1 ( ( ) x x x f g x lim ( ) 0 g x x→ x u 1 = lim ( ) 0 g x x→ lim f (x) x→ ) lim ( ) 1 lim ( ) lim ( 0 0 f u x g x f x→ x→ u→ = = x u 1 = lim ( ) (0) 0 g x g x = →
limg(x)≠g(0)，即x=0是g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点x=0处的连续性x-→0与α的取值有关，故选(D)【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性(9) 设f(x)= [x(1 -x)I，则(A)x=0是f(x)的极值点，但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点.(B)x=0不是f(x)的极值点，但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.(C)x=0是f(x)的极值点，且(O,O)是曲线y=f(x)的拐点(D)x=0不是f(x)的极值点，(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点.[c]【分析】由于f(x)在x=0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f(x)在x=0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解) 设 0<8<1,当×E(-8,0)U (0,8)时，f(x)>0,而f(0)=0,所以x=0 是f(x)的极小值点.显然，x=0是f(x)的不可导点.当xe(-8,0)时，f(x)=-x(1-x)，f"(α)=2>0,当xe(0,8)时，f(x)=x(1-x)，f"(x)=-2<0，所以(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.故选(C)【评注】对于极值情况，也可考查f(x)在x=0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断(10)设有下列命题：000则Zun收敛.(1)若(u2n-1+u2n）收敛，n=ln=1800(2)若Zun收敛，则un+100收敛.n=1n=180(3）若lim"l>1，则Zun发散。n→00 Unn=1则un，(4）若Z(un+vn)收敛，贝yn都收敛.n=n=1n=l则以上命题中正确的是(A) (1) (2).(B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4).［B]【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.0080【详解】(1)是错误的，如令u,=(-1)"，显然，Zun分散，而（u2n-1+uan）收敛n=ln=1(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性&(3)是正确的，因为由 lim"n+>1可得到u,不趋向于零(n→0),，所以Zun,发散.n-0oUnn=l00d11Eun,Z都发散，而显然，(4)是错误的，如令un=,Vnnnn=1n=l2(a + )收。 越(),n=1
，即 x = 0 是 g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点 x = 0 处的连续性 与 a 的取值有关，故选(D). 【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性. (9) 设 f (x) = |x(1 − x)|，则 (A) x = 0 是 f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线 y = f (x)的拐点. (B) x = 0 不是 f(x)的极值点，但(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. (C) x = 0 是 f(x)的极值点，且(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. (D) x = 0 不是 f(x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线 y = f (x)的拐点. [ C ] 【分析】由于 f(x)在 x = 0 处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况， 考查 f (x)在 x = 0 的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况. 【详解】设 0 < < 1，当 x (− , 0) (0 , )时，f (x) > 0，而 f (0) = 0，所以 x = 0 是 f (x) 的极小值点. 显然，x = 0 是 f (x)的不可导点. 当 x (− , 0)时，f (x) = −x(1 − x)， ， 当 x (0 , )时，f (x) = x(1 − x)， ，所以(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. 故选(C). 【评注】对于极值情况，也可考查 f(x)在 x = 0 的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. (10) 设有下列命题： (1) 若 收敛，则 收敛. (2) 若 收敛，则 收敛. (3) 若 ，则 发散. (4) 若 收敛，则 ， 都收敛. 则以上命题中正确的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ B ] 【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明 4 个命题的正确性. 【详解】(1)是错误的，如令 ，显然， 分散，而 收敛. (2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性. (3)是正确的，因为由 可得到 不趋向于零(n → )，所以 发散. (4)是错误的，如令 ，显然， ， 都发散，而 收敛. 故选(B). lim ( ) (0) 0 g x g x → f (x) = 2 0 f (x) = −2 0 = − + 1 2 1 2 ( ) n u n u n n=1 n u n=1 n u = + 1 1000 n un lim 1 1 + → n n n u u n=1 n u = + 1 ( ) n n n u v n=1 n u n=1 nv n un = (−1) n=1 n u = − + 1 2 1 2 ( ) n u n u n lim 1 1 + → n n n u u n u n=1 n u n v n un n 1 , 1 = = − n=1 n u n=1 nv = + 1 ( ) n n n u v
【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型(11)设f(x)在[a,b)上连续，且f(a)>0,f(b)<0，则下列结论中错误的是(A)至少存在一点xoE(a,b)，使得f(xo)>f(a)(B)至少存在一点xoE(a,b)，使得f(xo)>f(b)(C)至少存在一点xoE(a,b)，使得f(xo)=0(D）至少存在一点xoE(a,b)，使得f(xo)=0［D]【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项【详解】首先，由已知f(x)在[a,b]上连续，且f(a)>0,f(b)<0，则由介值定理，至少存在一点xoE(a,b)，使得f(xo）=0；另外，F(a)=lim-{>0，由极限的保号性，至少存在一点o (a,b)x-ax→a*使得(x0)-f(α)>0,即f(xo)>F(a)。同理，至少存在一点xo E(a,b)Xo-a使得f(xo)>f(b).所以，(A)(B)(C)都正确，故选(D).【评注】本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度(12）设n阶矩阵A与B等价，则必有(A)当Aα(a0)时,[Ba(B)当|Aa(a0)时，B-a.(C)当|A±0时，B0(D）当|A=0时，B=0.［D]【分析】利用矩阵A与B等价的充要条件：r(A)=r(B)立即可得.【详解】因为当A=0时，r(A)<n，又A与B等价，故r(B)<n，即B=0，故选(D)【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查，属基本题型(13）设n阶矩阵A的伴随矩阵A+0，若1,52,53,4是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系(A）不存在(B）仅含一个非零解向量(C)含有两个线性无关的解向量.(D）含有三个线性无关的解向量【B]【分析】要确定基础解系含向量的个数，实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩【详解】因为基础解系含向量的个数=n-r(A)，而且[n, r(A)=n,r(A)=}1, r(A)=n-1,[0, r(A)<n-1.根据已知条件A±0，于是rA）等于n或n-1：又Ax=b有互不相等的解即解不惟一，故r(A)=n-1.从而基础解系仅含一个解向量，即选(B).【评注】本题是对矩阵A与其伴随矩阵A的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查(14)设随机变量X服从正态分布N(0,1)，对给定的αE(0,1)，数a满足P(X>ua}=α，若PIXkx)=a，则x等于
【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型. (11) 设 在[a , b]上连续，且 ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点 ，使得 > f (a). (B) 至少存在一点 ，使得 > f (b). (C) 至少存在一点 ，使得 . (D) 至少存在一点 ，使得 = 0. [ D ] 【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项. 【详解】首先，由已知 在[a , b]上连续，且 ，则由介值定理， 至少存在一点 ，使得 ； 另外， ，由极限的保号性，至少存在一点 使得 ，即 . 同理，至少存在一点 使得 . 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D). 【评注】 本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度. (12) 设 阶矩阵 与 等价, 则必有 (A) 当 时, . (B) 当 时, . (C) 当 时, . (D) 当 时, . [ D ] 【分析】 利用矩阵 与 等价的充要条件: 立即可得. 【详解】因为当 时, , 又 与 等价, 故 , 即 , 故选(D). 【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型. (13) 设 阶矩阵 的伴随矩阵 若 是非齐次线性方程组 的 互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量. (C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. [ B ] 【分析】 要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩. 【详解】 因为基础解系含向量的个数= , 而且 根据已知条件 于是 等于 或 . 又 有互不相等的解, 即解不惟一, 故 . 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B). 【评注】本题是对矩阵 与其伴随矩阵 的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查. (14) 设随机变量 服从正态分布 , 对给定的 , 数 满足 , 若 , 则 等于 f (x) f (a) 0, f (b) 0 ( , ) x0 a b ( ) 0 f x ( , ) x0 a b ( ) 0 f x ( , ) x0 a b f (x0 ) = 0 ( , ) x0 a b ( ) 0 f x f (x) f (a) 0, f (b) 0 ( , ) x0 a b f (x0 ) = 0 0 ( ) ( ) ( ) lim − − = → + x a f x f a f a x a ( , ) x0 a b 0 ( ) ( ) 0 0 − − x a f x f a ( ) ( ) f x0 f a ( , ) x0 a b ( ) ( ) f x0 f b n A B | A |= a(a 0) | B |= a | A |= a(a 0) | B |= −a | A | 0 | B |= 0 | A |= 0 | B |= 0 A B r(A) = r(B) | A |= 0 r(A) n A B r(B) n | B |= 0 n A 0, * A 1 2 3 4 ξ , ξ , ξ , ξ Ax = b Ax = 0 n − r(A) − = − = = 0, ( ) 1. 1, ( ) 1, , ( ) , ( ) * r A n r A n n r A n r A 0, * A r(A) n n −1 Ax = b r(A) = n −1 A * A X N(0,1) α (0,1) α u P{X uα } = α P{| X | x} = α x