[200Q'AQ=0 2 000-3且二次型的标准形为f =2y +2y2 -3y?【评注】本题求a,b，也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定：二次型f的矩阵A对应特征多项式为-ba-a 000[E- A=1-2=(-2)[2 -(a-2)-(2a+b2)]-b0元+2设A的特征值为，2,，则=2,+=a-2,=-(2a+b)由题设得 + +, =2+(a-2)=1,=-2(2a+b2)=-12解得a=1,b=2.十一、（本题满分13分）设随机变量×的概率密度为1()-若xe[.8],其他;1o,F(x)是X的分布函数.求随机变量Y=F(X)的分布函数【分析】先求出分布函数F(x)的具体形式，从而可确定Y=F(X)然后按定义求Y的分布函数即可.注意应先确定Y=F(X)的值域范围(O≤F(X)≤1)，再对y分段讨论【详解】易见，当x<1时，F(x)=0;当x>8时，F(x)=1.对于xE[1.8]，有-dt=/x-1F(x)=13/2设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数.显然，当y<0时，G(y)=0：当y≥1时，G(y)=1.对于ye[0,1)，有G(y) = P(Y ≤y) = P(F(X)≤y)=P/x-1≤y)= P(X≤(+1)=F[(y+1)’]= y.[0,若y<0,于是，Y=F(X)的分布函数为G(y)=,若0≤y<1,1,若y≥1.【评注】事实上，本题X为任意连续型随机变量均可，此时Y=F(X)仍服从均匀分布：
， 且二次型的标准形为 【评注】 本题求 a,b，也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定： 二次型 f 的矩阵 A 对应特征多项式为 设 A 的特征值为 ，则 由题设得 ， 解得 a=1,b=2. 十一、（本题满分 13 分） 设随机变量 X 的概率密度为 F(x)是 X 的分布函数. 求随机变量 Y=F(X)的分布函数. 【分析】 先求出分布函数 F(x) 的具体形式，从而可确定 Y=F(X) ,然后按定义求 Y 的分布函数即可.注 意应先确定 Y=F(X)的值域范围 ，再对 y 分段讨论. 【详解】 易见，当 x<1 时，F(x)=0; 当 x>8 时，F(x)=1. 对于 ，有 设 G(y)是随机变量 Y=F(X)的分布函数. 显然，当 时，G(y)=0；当 时，G(y)=1. 对于 ，有 = = 于是，Y=F(X)的分布函数为 【评注】 事实上，本题 X 为任意连续型随机变量均可，此时 Y=F(X)仍服从均匀分布: − = 0 0 3 0 2 0 2 0 0 Q AQ T 2 2 3 . 2 3 2 2 2 1 f = y + y − y ( 2) [ ( 2) (2 )]. 0 2 0 2 0 0 2 2 a a b b a b E A = − − − − + − + − − − − = 1 2 3 , , 2, 2, (2 ). 2 1 = 2 + 3 = a − 23 = − a + b 1 + 2 + 3 = 2 + (a − 2) = 1 2(2 ) 12. 2 123 = − a + b = − ; [1,8], 0, , 3 1 ( ) 3 2 其他 若 = x x f x (0 F(X ) 1) x [1,8] 1. 3 1 ( ) 3 1 3 2 = = − dt x t F x x y 0 y 1 y [0,1) G(y) = P{Y y} = P{F(X) y} { 1 } { ( 1) } 3 3 P X − y = P X y + [( 1) ] . 3 F y + = y 1. 0 1, 0, 1, , 0, ( ) = y y y G y y 若 若 若
当y<0时，G(y)=0;当y≥1时，G(y)=1;当 0≤y<1时, G(y)=P(Y≤y)=P(F(X)≤y)=P(X≤F-'()))=F(F-I(y)) = y.十二、（本题满分13分）设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).【分析】求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率，注意×只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算【详解】设F(y)是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为G(u) = P(X +Y ≤u)=0.3P(X+Y≤uX=1)+0.7P(X+Y≤uX=2)=0.3P(Y≤u-1X =1) +0.7P(Y ≤u-2X = 2) 由于X和Y独立，可见G(u)= 0.3P(Y≤u-1) +0.7P(Y ≤u-2)=0.3F(u-1)+0.7F(u-2)由此,得U的概率密度g(u)= G(u)=0.3F(u-1)+0.7F(u-2)=0.3f(u-1)+0.7f(u-2)【评注】本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）sinx(1)若lim(cosx-b)=5，则a=x-0er_af(2)设函数f(u，v)由关系式f[xg(y)，y)=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)￥0,.aoy11xex<2f(x-1)dx(3)设f(x)=1x≥2(4)二次型f(x1,x2,x3)=(x+x2)+(x2-x)2+(x+x,)的秩为
当 y<0 时，G(y)=0; 当 时，G(y)=1; 当 0 时， = = 十二、（本题满分 13 分） 设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 的概率分布为 ， 而 Y 的概率密度为 f(y)，求随机变量 U=X+Y 的概率密度 g(u). 【分析】求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率. 注意 X 只有两个可能 的取值，求概率时可用全概率公式进行计算. 【详解】 设 F(y)是 Y 的分布函数，则由全概率公式，知 U=X+Y 的分布函数为 = = . 由于 X 和 Y 独立，可见 G(u)= = 由此,得 U 的概率密度 = 【评注】 本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率 公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性. 2004 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） (1) 若 ，则 a =_，b =_. (2) 设函数 f (u , v)由关系式 f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y) 0，则 . (3) 设 ，则 . (4) 二次型 的秩为 . y 1 y 1 G(y) = P{Y y} = P{F(X) y} { ( )} 1 P X F y − ( ( )) . 1 F F y = y − 0.3 0.7 1 2 X ~ G(u) = P{X +Y u} 0.3P{X +Y u X =1}+ 0.7P{X +Y u X = 2} 0.3P{Y u −1X =1}+ 0.7P{Y u − 2 X = 2} 0.3P{Y u −1}+ 0.7P{Y u − 2} 0.3F(u −1) + 0.7F(u − 2). g(u) = G(u) = 0.3F(u −1) + 0.7F(u − 2) 0.3 f (u −1) + 0.7 f (u − 2). (cos ) 5 sin lim 0 − = → − x b e a x x x 2 f u v = − − = 2 1 1 , 2 1 2 1 , ( ) 2 x xe x f x x 2 1 2 f x dx ( 1) − = 2 3 1 2 2 3 2 1 2 3 1 2 f (x , x , x ) = (x + x ) + (x − x ) + (x + x )
(5）设随机变量X服从参数为入的指数分布，则P(X>/DX)=(6)设总体X服从正态分布N(ui,G"），总体Y服从正态分布N(u2,G"）X,X2….X，和Y,Y2,Ym分别是来自总体X和Y的简单随机样本，则Z(X,-X) +>VEn+n-2二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）Ix sin(x -2)(7)函数f(x)=-在下列哪个区间内有界x(x - 1)(x - 2)2(A) (-1, 0).(B) (0 ,1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3).1f(-),x±0(8) 设f(x)在(-0,+o)内有定义，且 lim f(x)=a ，g(x)=，则xo2x=0(A)x=0 必是g(x)的第一类间断点.(B)x=0必是g(x)的第二类间断点(C)x=0必是g(x)的连续点(D)g(x)在点x=0处的连续性与α的取值有关.[(9) 设f(x)=[x(1 -x)], 则(A)x=0是f(x)的极值点，但(O,O)不是曲线y=f(x)的拐点.(B)x=0不是f(x)的极值点，但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点(C)x=0 是f(x)的极值点，且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点(D)x=0不是f(x)的极值点，(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点.1(10）设有下列命题：d(1）若(u2n-1+u2n）收敛，则un收敛.n=ln=1000(2）若un收敛，则un+1000收敛n=1n=1a(3) 若 lim"l>1,则Zu, 发散.n->0Unn=l00000则Zun'(4）若(un+vn)收敛，Z，都收敛.n=in=1n=1则以上命题中正确的是[(A) (1) (2).(B) (2) (3),.(C) (3) (4).(D) (1) (4).1(11)设f(x)在[a,b)上连续，且f(a)>0,f(b)<0，则下列结论中错误的是(A)至少存在一点xo E(a,b)，使得f(xo)>f(a)
(5) 设随机变量 服从参数为 的指数分布, 则 _. (6) 设总体 服从正态分布 , 总体 服从正态分布 , 和 分别是来自总体 和 的简单随机样本, 则 . 二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要 求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数 在下列哪个区间内有界. (A) (−1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). [ ] (8) 设 f (x)在(− , +)内有定义，且 ， ，则 (A) x = 0 必是 g(x)的第一类间断点. (B) x = 0 必是 g(x)的第二类间断点. (C) x = 0 必是 g(x)的连续点. (D) g(x)在点 x = 0 处的连续性与 a 的取值有关. [ ] (9) 设 f (x) = |x(1 − x)|，则 (A) x = 0 是 f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线 y = f (x)的拐点. (B) x = 0 不是 f(x)的极值点，但(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. (C) x = 0 是 f(x)的极值点，且(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. (D) x = 0 不是 f(x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线 y = f (x)的拐点. [ ] (10) 设有下列命题： (1) 若 收敛，则 收敛. (2) 若 收敛，则 收敛. (3) 若 ，则 发散. (4) 若 收敛，则 ， 都收敛. 则以上命题中正确的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ ] (11) 设 在[a , b]上连续，且 ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点 ，使得 > f (a). X λ P{X DX } = X ( , ) 2 N μ1 σ Y ( , ) 2 N μ2 σ 1 , , X1 X2 Xn 2 , , Y1 Y2 Yn X Y 1 2 2 2 1 1 1 2 ( ) ( ) 2 n n i j i j X X Y Y E n n = = − + − = + − 2 ( 1)( 2) | |sin( 2) ( ) − − − = x x x x x f x f x a x = → lim ( ) = = 0 , 0 ) , 0 1 ( ( ) x x x f g x = − + 1 2 1 2 ( ) n u n u n n=1 n u n=1 n u = + 1 1000 n un lim 1 1 + → n n n u u n=1 n u = + 1 ( ) n n n u v n=1 n u n=1 nv f (x) f (a) 0, f (b) 0 ( , ) x0 a b ( ) 0 f x
(B)至少存在一点xoE(a,b)，使得f(xo)>f(b)(C)至少存在一点xoE(a,b)，使得f(xo)=0(D)至少存在一点xo E(a,b)，使得f(xo)=0.[D](12）设n阶矩阵A与B等价，则必有(A)当|Aα(a0)时,Ba(B)当|A=α(a0)时,[B-a.［](C)当|A±0时，BF0.(D）当|A=0时，B=0.(13）设n阶矩阵A的伴随矩阵A+0，若,52,5,4是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=O的基础解系(A)不存在.(B）仅含一个非零解向量，【](C）含有两个线性无关的解向量(D）含有三个线性无关的解向量.(14)设随机变量X服从正态分布N(O,I)，对给定的αE(O,I)，数u。满足P(X>u。=α，若Xkx=α，则x等于(A) (B)(C) Ul-a *{](D) ulj-a)ua:专2三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分8分)1cos"求lim(x→0 sin?x(16)(本题满分8分)求[[(2++)d，其中D是由圆x+=4和(x+1)+=1所围成的D平面区域(如图)(17)(本题满分8分)设f(x)，g(x)在[a,b)上连续，且满足J,f(0)dt≥J,g(0)dt , xe [a,b), J,f(t)dt =].g(t)dt证明：('xf(x)dx≤[xg(x)dx.(18)(本题满分9分)设某商品的需求函数为Q=100-5P，其中价格Pe(0,20)，Q为需求量()求需求量对价格的弹性Ea(Ea>0);()推导dRQ(1-Ea)（其中R为收益)，并用弹性Ed说明价格在何范围内变化时，dp降低价格反而使收益增加
(B) 至少存在一点 ，使得 > f (b). (C) 至少存在一点 ，使得 . (D) 至少存在一点 ，使得 = 0. [ D ] (12) 设 阶矩阵 与 等价, 则必有 (A) 当 时, . (B) 当 时, . (C) 当 时, . (D) 当 时, . [ ] (13) 设 阶矩阵 的伴随矩阵 若 是非齐次线性方程组 的 互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量. (C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. [ ] (14) 设随机变量 服从正态分布 , 对给定的 , 数 满足 , 若 , 则 等于 (A) . (B) . (C) . (D) . [ ] 三、解答题(本题共 9 小题，满分 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分 8 分) 求 . (16) (本题满分 8 分) 求 ，其中 D 是由圆 和 所围成的 平面区域(如图). (17) (本题满分 8 分) 设 f (x) , g(x)在[a , b]上连续，且满足 ，x [a , b)， . 证明： . (18) (本题满分 9 分) 设某商品的需求函数为 Q = 100 − 5P，其中价格 P (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性 ( > 0)； (II) 推导 (其中 R 为收益)，并用弹性 说明价格在何范围内变化时， 降低价格反而使收益增加. ( , ) x0 a b ( ) 0 f x ( , ) x0 a b f (x0 ) = 0 ( , ) x0 a b ( ) 0 f x n A B | A |= a(a 0) | B |= a | A |= a(a 0) | B |= −a | A | 0 | B |= 0 | A |= 0 | B |= 0 n A 0, * A 1 2 3 4 ξ , ξ , ξ , ξ Ax = b Ax = 0 X N(0,1) α (0,1) α u P{X uα } = α P{| X | x} = α x 2 α u 2 1 u α − 2 u1−α α u1− ) cos sin 1 lim( 2 2 2 0 x x x x − → + + D ( x y y)d 2 2 4 2 2 x + y = ( 1) 1 2 2 x + + y = x a x a f (t)dt g(t)dt = b a b a f (t)dt g(t)dt b a b a xf (x)dx xg(x)dx Ed Ed (1 ) Q Ed dP dR = − Ed
(19)(本题满分9分)设级数x8x4x6(-00 < x<+00)....2.42.4-62.4.6.8的和函数为S(x).求：()S(x)所满足的一阶微分方程；(II) S(x)的表达式.(20)(本题满分13分)设α =(1,2,0)", α, =(1,α+2,-3α), α, =(-1,-b-2,α+2b)T, β=(1,3,-3),试讨论当a,b为何值时，（I）β不能由αt,α2,α,线性表示;(1I）β可由α,αz,α,唯一地线性表示，并求出表示式；(I)β可由α,αz,α,线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式(21)(本题满分13分）设n阶矩阵(1 bb)b1..bA=1：:(bb..1（I）求A的特征值和特征向量；（II）求可逆矩阵P，使得P-IAP为对角矩阵(22)(本题满分13分)P(A|B) 设A，B为两个随机事件,且P(A)=P(B|A) =S2(1,[1,B发生，A发生，X=Y-0,[0，B不发生，A不发生，求（I）二维随机变量(X,Y)的概率分布;(II）X与Y的相关系数Pxy;(I)Z=X2+的概率分布.(23)(本题满分13分)设随机变量X的分布函数为x>aF(x,α,β)0.x≤a,其中参数α>0,β>1.设X,X,"",X为来自总体X的简单随机样本
(19) (本题满分 9 分) 设级数 的和函数为 S(x). 求： (I) S(x)所满足的一阶微分方程； (II) S(x)的表达式. (20)(本题满分 13 分) 设 , , , , 试讨论当 为何值时, (Ⅰ) 不能由 线性表示; (Ⅱ) 可由 唯一地线性表示, 并求出表示式; (Ⅲ) 可由 线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. (21) (本题满分 13 分) 设 阶矩阵 . (Ⅰ) 求 的特征值和特征向量; (Ⅱ) 求可逆矩阵 , 使得 为对角矩阵. (22) (本题满分 13 分) 设 ， 为两个随机事件,且 , , , 令 求 (Ⅰ) 二维随机变量 的概率分布; (Ⅱ) 与 的相关系数 ; (Ⅲ) 的概率分布. (23) (本题满分 13 分) 设随机变量 的分布函数为 其中参数 . 设 为来自总体 的简单随机样本, ( ) 2 4 2 4 6 2 4 6 8 4 6 8 + − + + + x x x x T α (1,2,0) 1 = T α (1,α 2, 3α) 2 = + − T α ( 1, b 2,α 2b) 3 = − − − + T β = (1,3,−3) a,b β 1 2 3 α ,α ,α β 1 2 3 α ,α ,α β 1 2 3 α ,α ,α n = 1 1 1 b b b b b b A A P P AP −1 A B 4 1 P(A) = 3 1 P(B | A) = 2 1 P(A | B) = = ， 不发生， 发生， A A X 0 1, = 0 . 1, ， 不发生 发生， B B Y (X ,Y) X Y XY ρ 2 2 Z = X +Y X − = ， ， ， x α x α x α F x α β β 0 1 , ( , , ) α 0, β 1 X X Xn , , , 1 2 X