(A)(B)(C) Uj-a"(D)u,-α[c]Ua.ua-223【分析】利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得【详解】由P(IXkx}=α，以及标准正态分布密度曲线的对称性可得1-0.P(X >x =故正确答案为(C)2【评注】本题是对标准正态分布的性质，严格地说它的上分位数概念的考查.三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）(15)(本题满分8分)cos?x1求 lim (x-→>0 sin2 x“0”型极限，【分析】先通分化为，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可.0cos2 x-sin?xcos?x1lim【详解】limx2x→0 sin?xx?sin?xx→011x2(4x)2sin?2x2xsin4x41-cos4x=lim242=lim= lim= limx44x336x2x->0x→06x2x→0x→0于“%”型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于0(16)（本题满分8分）求[[(x?+y2+y)d，其中D是由圆x?+y?=4和(x+1)?+y=1所围成的平面区域(如图)D【分析】首先，将积分区域D分为大圆D,=（(x)|x2+y?4)减去小圆D2=((x,J)I(x+1)2+y2≤1)，再利用对称性与极坐标计算即可.[详解) 令D, =(x,y)/x? +y2≤4), D, =((x,)1(x+1)? +y?≤1) ,由对称性，yd=0.DJJ +yda= J+yda-J[/?+ydoDDiD23元-2cose p2dr.drzdolJ02_16元32_16(3元-2)39C16(3元 -2),所以,[(/x? +y2 +y)da=9D【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂
(A) . (B) . (C) . (D) . [ C ] 【分析】 利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得. 【详解】 由 , 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得 . 故正确答案为(C). 【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查. 三、解答题(本题共 9 小题，满分 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分 8 分) 求 . 【分析】先通分化为“ ”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可. 【详解】 = . 【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“ ”型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算. (16) (本题满分 8 分) 求 ，其中 D 是由圆 和 所围成的平面区域(如图). 【分析】首先，将积分区域 D 分为大圆 减去小圆 ，再利用对称性与极坐标计算即可. 【详解】令 ， 由对称性， . . 所以， . 【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂 2 α u 2 1 u α − 2 u1−α α u1− P{| X | x} = α 2 1 { } α P X x − = ) cos sin 1 lim( 2 2 2 0 x x x x − → 0 0 x x x x x x x x x x 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 sin sin cos ) lim cos sin 1 lim ( − − = → → 3 4 6 (4 ) 2 1 lim 6 1 cos4 lim 4 sin4 2 1 2 lim sin 2 4 1 lim 2 2 0 2 0 3 0 4 2 2 0 = = − = − = − → → → → x x x x x x x x x x x x x x 0 0 + + D ( x y y)d 2 2 4 2 2 x + y = ( 1) 1 2 2 x + + y = {( , ) | 4} 2 2 D1 = x y x + y {( , ) | ( 1) 1} 2 2 D2 = x y x + + y {( , )| 4}, {( , )| ( 1) 1} 2 2 2 2 2 D1 = x y x + y D = x y x + + y = 0 D yd + = + − + 1 2 2 2 2 2 2 2 D D D x y d x y d x y d − = − 2cos 0 2 2 3 2 2 0 2 2 0 d r dr d r dr (3 2) 9 16 9 32 3 16 = − = − (3 2) 9 16 ( ) 2 2 + + = − D x y y d
区域划分为两个或三个简单区域来简化计算(17)(本题满分8分)设f(x),g(x)在[a,b)上连续，且满足['f()dt≥f'g(t)dt, xe [a, b), J,f(t)dt=]g(t)dt证明： [xf(x)dx≤['xg(x)dx.【分析】令F(x)=f(x)-g(x)，G(x)=[F(t)dt，将积分不等式转化为函数不等式即可。【详解】 令 F(x)=f(x)-g(x), G(x)=,F(1)dt ,由题设 G(x)≥0，xe[a,b],G(a) = G(b) = 0, G'(x) = F(x) .从而 ['xF(x)dx=['xdG(x)= xG(x) -[′G(x)dx=-['G(x)dx ,由于 G(x)≥0,xe[a,b],故有G(x)dx≤0,xF(x)dx ≤0.因此 [xf(x)dx≤[,xg(x)dx【评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法(18)(本题满分9分)设某商品的需求函数为Q=100-5P，其中价格Pe(0,20)，Q为需求量.()求需求量对价格的弹性Ea(Ea>0);(l)推导dRQ(1-Ea)(其中R为收益)，并用弹性Ea说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使dp收益增加.Pdo[P do]由Q=PQ及Ed可推导【分析】由于Ea>0，所以Ed dp dpdR =Q(I- Ea).dPP[P dd]【详解】(1）Ea20-PodP(I)由R=PQ，得dR=0(1+ P dg)=o+pdo)=Q(1-Ed)dpdpOdpP又由Ea==1，得P=1020-PdR<0当10<P<20时，Ea>1，于是dp
区域划分为两个或三个简单区域来简化计算. (17) (本题满分 8 分) 设 f (x) , g(x)在[a , b]上连续，且满足 ，x [a , b)， . 证明： . 【分析】令 F(x) = f (x) − g(x)， ，将积分不等式转化为函数不等式即可. 【详解】令 F(x) = f (x) − g(x)， ， 由题设 G(x) 0，x [a , b]， G(a) = G(b) = 0， . 从而 ， 由于 G(x) 0，x [a , b]，故有 ， 即 . 因此 . 【评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法. (18) (本题满分 9 分) 设某商品的需求函数为 Q = 100 − 5P，其中价格 P (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性 ( > 0)； (II) 推导 (其中 R 为收益)，并用弹性 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使 收益增加. 【分析】由于 > 0，所以 ；由 Q = PQ 及 可推导 . 【详解】(I) . (II) 由 R = PQ，得 . 又由 ，得 P = 10. 当 10 < P < 20 时， > 1，于是 ， x a x a f (t)dt g(t)dt = b a b a f (t)dt g(t)dt b a b a xf (x)dx xg(x)dx = x a G(x) F(t)dt = x a G(x) F(t)dt G(x) = F(x) = = − = − b a b a b a b a b a xF(x)dx xdG(x) xG(x) G(x)dx G(x)dx − ( ) 0 b a G x dx ( ) 0 b a xF x dx b a b a xf (x)dx xg(x)dx Ed Ed (1 ) Q Ed dP dR = − Ed Ed dP dQ Q P Ed = dP dQ Q P Ed = (1 ) Q Ed dP dR = − P P dP dQ Q P Ed − = = 20 (1 ) (1 ) Q Ed dP dQ Q P Q dP dQ Q P dP dR = + = + = − 1 20 = − = P P Ed Ed 0 dP dR
故当10<P<20时，降低价格反而使收益增加P dg]lPdo【评注】当E，>0时，需求量对价格的弹性公式为E。=OdPQ dP利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式：dRdR1=(1- Ea)Q=(1-dR=(1-Ea)Qdp,Ep,dpdoER=1-Ea（收益对价格的弹性).Ep(19)(本题满分9分)设级数+8x4x6(-00< x<+00)...2.4+2.4.62.4.6.8+的和函数为 S(x)。求：()S(x)所满足的一阶微分方程；(II) S(x)的表达式【分析】对S(x)进行求导，可得到S(x)所满足的一阶微分方程，解方程可得S(x)的表达式x6x814【详解】()S(x)=2.42.4.62-4.6.8易见S(0) =0,4sx3x7S'(x) =++22.42.4-6x4x6+...)=x22.42.4.62=x-+ S(x)].2因此 S(x)是初值问题x3y'= xy +,(0)=0 的解.x3()方程y=xy+的通解为2[xdxdx+C2x22y-1+Ce22
故当 10 < P < 20 时，降低价格反而使收益增加. 【评注】当 > 0 时，需求量对价格的弹性公式为 . 利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式： ， ， ， (收益对价格的弹性). (19) (本题满分 9 分) 设级数 的和函数为 S(x). 求： (I) S(x)所满足的一阶微分方程； (II) S(x)的表达式. 【分析】对 S(x)进行求导，可得到 S(x)所满足的一阶微分方程，解方程可得 S(x)的表达式. 【详解】(I) ， 易见 S(0) = 0， . 因此 S(x)是初值问题 的解. (II) 方程 的通解为 ， Ed dP dQ Q P dP dQ Q P Ed = = − dR = (1− Ed )Qdp E Q dp dR d = (1− ) p dQ E dR d ) 1 = (1− Ed Ep ER =1− ( ) 2 4 2 4 6 2 4 6 8 4 6 8 + − + + + x x x x + + + = 2 4 2 4 6 2 4 6 8 ( ) 4 6 8 x x x S x + + = + 2 2 4 2 4 6 ( ) 3 5 7 x x x S x ) 2 2 4 2 4 6 ( 2 4 6 + + = + x x x x ( )] 2 [ 2 S x x = x + , (0) 0 2 3 = + y = x y xy 2 3 x y = xy + ] 2 [ 3 e dx C x y e xdx xdx + = − 2 2 2 1 2 x Ce x = − − +
由初始条件y(0)=0，得C=1.x22故V=+e2-1，因此和函数S(x)=-1te22【评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题，2002年考过类似的题(20)(本题满分13分)设α, =(1,2,0),αz =(1,α+2,-3α), αs =(-1,-b-2,α+2b),β=(1,3,-3),试讨论当a,b为何值时，（I）β不能由αi,αz,α,线性表示;(1I）β可由αi,α2,α,唯一地线性表示，并求出表示式;(I)β可由αi,α2,α,线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式【分析】将β可否由α,αz,α,线性表示的问题转化为线性方程组k,α,+k,α,+kα=β是否有解的问题即易求解【详解】设有数kj,kz,ks，使得ka, +k,α, +k,a,=β(*)记A=(α,αz,α）.对矩阵(A,β)施以初等行变换，有[11-1111-1130-b2-b-2a1a+2(A,β)=0-3]0-3aa+ 2b0a-b0(I）当a=0时，有[11-117I-b00(A,β) →000-1可知r(A)±r(A,β)故方程组(*)无解，β不能由α,,αzα,线性表示.(II）当a±0，且ab时，有100[1 1-11a10-b1(A, β)→a00ao0[o 0a-b0r(A)=r(A,β)=3，方程组(*)有唯一解：11kz =k, =1-k, =0.aa
由初始条件 y(0) = 0，得 C = 1. 故 ，因此和函数 . 【评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题，2002 年考过类似的题. (20)(本题满分 13 分) 设 , , , , 试讨论当 为何值时, (Ⅰ) 不能由 线性表示; (Ⅱ) 可由 唯一地线性表示, 并求出表示式; (Ⅲ) 可由 线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. 【分析】将 可否由 线性表示的问题转化为线性方程组 是否有解的问题即易求解. 【详解】 设有数 使得 . (*) 记 . 对矩阵 施以初等行变换, 有 . (Ⅰ) 当 时, 有 . 可知 . 故方程组(*)无解, 不能由 线性表示. (Ⅱ) 当 , 且 时, 有 , 方程组(*)有唯一解： , , ． 1 2 2 2 2 = − + − x e x y 1 2 ( ) 2 2 2 = − + − x e x S x T α (1,2,0) 1 = T α (1,α 2, 3α) 2 = + − T α ( 1, b 2,α 2b) 3 = − − − + T β = (1,3,−3) a,b β 1 2 3 α ,α ,α β 1 2 3 α ,α ,α β 1 2 3 α ,α ,α β 1 2 3 α ,α ,α k1α1 + k2α2 + k3α3 = β , , , 1 2 3 k k k k1α1 + k2α2 + k3α3 = β ( , , ) A = α1 α2 α3 (A, β) − + − + − − − = 0 3 2 3 2 2 2 3 1 1 1 1 ( , ) a a b A β a b − − − → 0 0 0 0 1 1 1 1 1 a b a b a = 0 − − − → 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 (A, β) b r(A) r(A, β) β 1 2 3 α ,α ,α a 0 a b − − − → 0 0 0 0 1 1 1 1 1 ( , ) a b A β a b − → 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 a a r(A) = r(A, β) = 3 a k 1 1 = 1− a k 1 2 = k3 = 0
此时β可由αα2,α,唯一地线性表示，其表示式为11β=(1--)α, +=a2aa(IⅢ)当a=b±0时，对矩阵(A,β)施以初等行变换，有1100[1 117-1a10-b1a(A, β)→01ao000a-b000方程组(*)有无穷多解，其全部解为r(A)=r(A.β)=2,1/k, =1-k, =k,=c,其中c为任意常数，=+c,aaβ可由α,αz,α,线性表示，但表示式不唯一，其表示式为1.β=(1-+c)a+caa+aa【评注】本题属于常规题型，曾考过两次(1991,2000)(21)(本题满分13分)设n阶矩阵(1 b .. b)b1..bA=:(bb..l（I）求A的特征值和特征向量；(II）求可逆矩阵P，使得P-IAP为对角矩阵【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题，通常可由求解特征方程12E-A=0和齐次线性方程组（2E-A)x=0来解决【详解】（I）1°当b±0时，[α-1 -b ..-b-1...-b-bIE-A=:：：-b-b ..1-1=[ -1-(n - 1)b][ -(1 - b)]"-1得A的特征值为入,=1+(n-1)b，==入，=1-b对,=1+(n-1)b
此时 可由 唯一地线性表示, 其表示式为 ． (Ⅲ) 当 时, 对矩阵 施以初等行变换, 有 ， , 方程组(*)有无穷多解， 其全部解为 , , ， 其中 为任意常数． 可由 线性表示, 但表示式不唯一, 其表示式为 ． 【评注】本题属于常规题型, 曾考过两次(1991, 2000). (21) (本题满分 13 分) 设 阶矩阵 . (Ⅰ) 求 的特征值和特征向量; (Ⅱ) 求可逆矩阵 , 使得 为对角矩阵. 【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题, 通常可由求解特征方程 和齐次线性方程组 来解决. 【详解】 (Ⅰ) 当 时， ＝ , 得 的特征值为 ， ． 对 ， β 1 2 3 α ,α ,α 1 2 1 ) 1 (1 α a α a β = − + a = b 0 (A, β) − − − → 0 0 0 0 1 1 1 1 1 ( , ) a b A β a b − − → 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 a a r(A) = r(A, β) = 2 a k 1 1 = 1− c a k = + 1 2 k = c 3 c β 1 2 3 α ,α ,α 1 2 3 ) 1 ) ( 1 (1 c α cα a α a β = − + + + n = 1 1 1 b b b b b b A A P P AP −1 | λE − A |= 0 (λE − A)x = 0 1 b 0 1 1 1 | | − − − − − − − − − − = b b λ b λ b λ b b λE A 1 [ 1 ( 1) ][ (1 )] − − − − − − n λ n b λ b A λ 1 (n 1)b 1 = + − λ2 == λn =1− b λ 1 (n 1)b 1 = + −