从导数说起曹广福（广州大学数学与信息科学学院，）81引言“导数”是微积分教程中最基本的概念之一，也是应用十分广泛的理论之一。但是，微积分中的导数对函数的要求很高，熟悉微积分的人都知道，一个函数若在一点可导，则必在该点连续。因此，经典意义下的导数定义严重束缚了它的使用范围，事实上，无论是近代数学的发展，还是实际问题中经常出现的现象，都使得人们不得不面对和处理更一般的函数。例如，电路方程中需要人们对如下的函数（通常称为Heaviside函数）1,T≥0Y(r) =<00.求导数。然而，我们知道Y(a）在=0点不连续，更谈不上求导数了。就数学本身而言，也要求人们放宽对函数的限制。最典型的例子莫过于微分方程理论中对方程解的存在性与唯一性的讨论，前苏联数学大师索伯列夫为了确定偏微分方程解的存在性与唯一性，建立了广义函数与广义导数的概念，这一概念的引入不仅赋予微分方程的解以新的含义，更重要的是，它使得泛函分析等现代数学工具得以应用到微分方程理论中，从而开辟了微分方程理论的新天地。导数的思想甚至可以应用到一般的代数中，通过引入所谓的导子概念来研究代数的结构。从导数的几何意义出发，我们又可以将切线、切平面概念推广到微分流形乃至一般的拓扑空间上，引入所谓的切丛、向量丛的概念，从而将流形或拓1
"^`S (Æ ) §1 zw [L;qTvxS _jm1 /;=A1 -~_2Mm1Y; qTx_[Ls5L_.? GqT_ml℄ 15L U1e [ Y!U e:!;M f79_[Lj9'{K?Z_5A }r :4" {M;VL$_w^ K;4ay`x ; G _ m5^U-^-Ys<K2 1_5L 6 gJx .Us_5Le;=t Heaviside 5L Y (x) = 1, x ≥ 0, 0, x < 0 [Lu zUl℄ Y (x) U x = 0 e-:! [-" [L? ÆL$ *u) /.U's5L_ vf _6 ℄1Gq2Mxs~_RUIs1_ \M Q9L$T0X+t?jrq~_R UIs1 o7?-95LI-9[L_j d1j _<- Hq_~5_39 {._; Z 5^~5~` VL$ ^5=A\q2Mx Ou"?q2M_ [L_OÆ-s 5=A\1_VLx e1<Yx _[ j-( VL_}$O[L_[=79Gw z UF 5p sYji-\qGbs1_j v%i" <Yx_P>P_j OupGRj 1
扑空间中的问题转换为相应的线性空间中的问题。可见导数概念的推广既是实际问题的需要，也是数学发展的必然，82导数概念的一种最直接和自然的推广首先让我们回忆一下微积分中导数的定义：定义1设y=f(）在直线上的点o附近有定义，如果下面的极限f(α) - f(ro)limr-ro-ro存在且有限（有些教材中指极限值有限时才称为极限存在），则称y=f(r)在ro点可导，记作f()-f(ro)f'(ro)=limaroT- TO推广上述定义的一个最直接的方法是放宽对极限的要求，我们可以只要求极限存在，而不必要求极限有限，这样的定义或许适合更一般的函数，具体地说就是引入如下的定义定义2设y=f()在直线上的点o附近有定义，如果下面的极限f(α) -f(ro)limr-roa-rO存在（不必有限），则称9=f(a)在o点有导数，记作f(r) - f(ro)f'(ro)=limr-ror-ro应该注意定义1与定义2的一点小小的差别，在定义1中，我们称函数在一点可导，在定义2中我们称函数在一点有导数，而不称其可导，目的在于区分这两者。现在让我们来看一看，定义2是否的确扩大了有导数的函数的范围。例1设a>0,f(r) =0T = 0,<0.-1.2
v%ix_y`Lt =_ %ix_y` l[L j_i-`;4ay`_ . /;L$w^_! §2 !℄-O#x :2 V#e0 CzUM81qTx[L_j9 'y 1 ) y = f(x) Un "_e x0 Cj9 0Y _U limx→x0 f(x) − f(x0) x − x0 RUC (Cv1xpU oC 22=tU RU) Y= y = f(x) U x0 e [ _ f ′ (x0) = limx→x0 f(x) − f(x0) x − x0 i-"Jj9_1ny_x;'sU _. z U 5q.U RU u-!.U C d-_j9 R <> 1_5L a NÆ;<_j9 'y 2 ) y = f(x) Un "_e x0 Cj9 0Y _U limx→x0 f(x) − f(x0) x − x0 RU-!C Y= y = f(x) U x0 eC[L _ f ′ (x0) = limx→x0 f(x) − f(x0) x − x0 =7j9 1 Ij9 2 _1e_9) Uj9 1 x z U=5LU1e [ Uj9 2 xzU=5LU1eC[L u-=y [ _UGd= UzU- 1 j9 2 ;_+T?C[L_5 L_}r E 1 ) f(x) = 1, x > 0, 0, x = 0, −1, x < 0 2
则f(c）在=0点有导数。事实上,若>0,则f()-f(0)=1,若<0,则f()-f(0)=-1,可见limz-0()=f()=+oo。这就是说，函数f(α)在=0点确有导数（尽管它在该点不连续）。我们还可以进一步降低定义2中对极限的要求，可以只要求其左极限和右极限均存在，但两者可以不等，这样便得到了左导数与右导数的概念。我们甚至可以不假定左右极限是存在的利用左上极限、左下极限、右上极限以及右下极限来定义左上导数、左下导数、右上导数及右下导数。问题在于，这种推广是数学或实际问题的必需呢？还是仅仅是一种形式上的推广？这是应该首先弄清楚的问题。众所周知，微积分中的某些问题仅仅依靠经典的微积分理论是无法解决的，例如，一个函数Riemann可积的充要条件是什么？Newton-Lebnitz公式成立的充要条件是什么？等等。这些问题之所以在微积分中得不到解决，根本原因在于经典的微积分理论只能处理连续或至多有有限个间断点的函数。而一个Riemann可积的函数可以有无穷多的间断点，因而经典的微积分就显得有点无能为力了。学习过Lebesgue积分理论的人都了解，利用Lebesgue积分理论可以将这些问题完全阐述清楚。为了弄清楚这些问题，我们需要将函数的导数概念加以推广，使之适用于更一般的函数。由此可见，上述定义的引入可以给我们提供技术上的方便。那么，这一概念对于我们研究一般的函数能带来什么好处呢？事实上，我们可以利用上述概念证明：区间[a,b]上的任何单调增加的有限函数几乎处处有有限的导数，且其导函数是一个Lebesgue可积函数，由此可以进一步证明，一个函数是其导函数的原函数（即Newton-Lebnitz公式成立）的充要条件是该函数为绝对连续函数83广义函数与广义导数如果说上一节中导数概念的推广在一定程度上缘于技术上的需要，那么本节引入的另一种导数概念的推广则有其深刻的背景，它标志着现代微分方程理论的开始。这就是广义函数及其导数。现在让我们先直观地感觉一下这一理论的基本3
Y f(x) U x = 0 eC[L :4" x > 0 Y f(x)−f(0) = 1, x < 0, Y f(x)−f(0) = −1, l limx→0 f(x)−f(0) x−0 = +∞ dÆ;N 5L f(x) U x = 0 e C[L+ZUe-:! zUK 51.saj9 2 xsU _. 5q. yU <DU RU Y= 5-` d-%^\ ?[LID[L_jzU-s 5-fjDU ; RU_ 5A"U U D"U 5WDU - j9"[L[LD"[LWD[Ly`UG dzi-;L$R4ay`_! d K;;1z7 "_i- d;=CkI_y`|Y}l qT x_^y`2 f_qT2M;{x~_ 6 15L Riemann T_C.dn;3Q Newton-Lebnitz !7>7_C.dn;3Q ``dy`mY5UqT x^-\~ N;UG f_qT2MqfK2 :!RstCC ire_5Lu1 Riemann T_5 L 5C{t_ire ;u f_qTÆ^Ce{ ft8?$1 Lebesgue T2M_m?~ 5A Lebesgue T2M 5pdy`m :JIt?kIdy ` zU .p5L_[Lje5i- 5m<AG 1 _5LBM l "Jj9_< 5 zU_ ℄I "_%`Q d1jsGzU( 1_5LfU- 3Q9Kd :4" zU 55A"Jjj[ i [a,b] "_=Xh[e_C 5L[CKKCC _[L y [5L;1 Lebesgue T5L BM 51.j[ 1 5L;y[5L_N5LY Newton-Lebnitz !7>7_C .dn;5Lts:!5L §3 0y1℄0y!℄ 0N"1|x[Lj_i-U1jo"PG℄I "_ . `Q |<_E1z[Lj_i-YCy+ "_ Z'r Vq2M_6dÆ;-95 LWy[L UzUn* 1d12M_S 3
思就。引言中的使数Y（c）在些们=0加广闻续，即它们任何有景显推上都因可积的，因此，如果用一如有紧弄集的可几使数与之究乘，则其乘积使数因直线上的可积使数。广妨设f因呢来的使数，所f因实数域上的可几使数，且或们有景显推[a,b],以得suppf=[r|f(a)≠o]c[a,b]。于因fY因实数域Rl上的可积使数。假如种带已，若Y赋予了几数定义，且满足通常的先几法则，（事实上，要先新的儿数满足通常的先几法则题因自些的也因公要的），则由分部积分公式(fY)'=f'Y+fY得 fY'da = / (FY)da - J f'Yda,如果fY因（fY）的原使数，则有(FY)'da = limM-(fY) [M= 0于因，fY'dr = -f'Ydr尽深上述等式的左边按通常的几数定义因存有立义的，即右边按，假只积分定义因有立义的。呢就若种带提供了一种定义Y()的几数的方法，呢就因更节要、绍的甚义使数理此。呢一理此广仅因经代断只分方程的基础，同依也般有经实的周理个：。例如电子工程中常涉及的脉冲使数8()满足呢来的这件：(1)8()=0，如果≠0;(2) [-8 8(r)dr = 1。其周理解应因它们极将的依推点应且出一如单位典成的觉事。按照通常的Riemann积分或Lebesgue积分，上述积分式（2）实际因存有立义的，特别因常常还要先种带典降（）多次先几数，等简直因广可思连了。因此如何降呢来的经象作出合引的数学描述便成为一件自些的事情了。为了降一该的使数若出几数样至高我几数定义，种带需要引进引当的使数便推呢就因基更使数便推，它因甚义使数理此的基础。4
OÆ<)x_5L Y (x) UU x = 0 e-:! YZU= C i"m; T_ ;M 0A1CkV_ [ 5LIm ? Yy?T5L;n "_ T5L-) f ;d-_5L Y f ;4LK"_ [5L RUC i [a,b], 5^ suppf = {x | f(x) 6= 0} ⊂ [a,b] G; fY ;4LK R1 " _ T5LfzU4 Y H?[Lj9 P e ;_[xY :4" ._[LP e;_[xY `; _/;!._ YB/T!7 (fY ) ′ = f ′Y + fY ′ ^ Z +∞ −∞ fY ′ dx = Z +∞ −∞ (fY ) ′ dx − Z +∞ −∞ f ′Y dx, 0 fY ; (fY ) ′ _N5L YC Z +∞ −∞ (fY ) ′ dx = limM→∞(fY ) | M −M= 0, G; Z +∞ −∞ fY ′ dx = − Z +∞ −∞ f ′Y dx, +"J`7_$Æe;_[Lj9;RC79_ YD $Æ fqTj9;C79_dÆ zU_ ?1zj 9 Y (x) _[L_x dÆ; |.%_-95L2M d12M-; Vrq_SJ f2/C 4_ }2 6g x;'W_OD5L δ(x) P d- _dn (1)δ(x) = 0, 0x 6= 0; (2) R +∞ −∞ δ(x)dx = 1 y}2~=;ZUUp_2ie=G1Xwf>_: Æbe;_ Riemann TR Lebesgue T "JT7 2 4 a;RC79_ ^);;;K.zUfs δ(x) tN[ L `jn;- O:?;M=sd-_ G>< _L$ZJ%>t1n _:?t?s1_5L G[L-sz[Lj9 zU .<<Z_5L%i dÆ;S 5L%i Z;-95L2M_SJ 4
定义3（基本函数空间）记D是实数域RI上无穷次可微且具有紧支集（即在某个有限区间之外为零）的函数全体（想一想，为什么要求无穷次可微而不是有限次可微），按照通常的加法和数乘运算，D成为线性空间。设(n)CD，$ED，如果（n）满足：（1）存在有限区间[a,]，使得supp(n）C[a,b],n=1,2,..";（2）对任意正整数k，n在Rl上一致收敛到(）。则称（m）在D中收敛到，记作n一。定义4（广义函数）设D如定义3，T是D到复平面C的映射，满足：(1)（线性）对任意α,βEC,,ED，有T(a +β) =aT+βTb,(2)（连续性）对D中任意序列(on)，若m→Φ，则Ton→To.则称T为D上的广义函数，记作TED(R）（或TED）。用泛函分析的语言来描述，所谓广义函数实际上是指D上的连续线性泛函。广义函数包含了什么样的函数呢？我们来看两个例子。例1在RI中任何有限区间上可积的函数（通常称为局部可积函数）是D上的广义函数。事实上，对任意局部可积函数于，可以定义D上的泛函T为：Tr() = /f(r)p(r)dr, Vp ED不难验证Tf是线性的。如果[on)CD，ED使n→，则存在有限区间[a,]，使得supp(on) C D,n = 1,2, .*, supp() C D,且当n→8时，有mara<r<b / Pn(r) -p(a) -0,。5
'y 3 61℄A8_ D ;4LK R1 "{N q CkVYU^C imltB_5L aÆ 1Æ t3Q.{N qu-;C N q Æbe; _ex<L?RT D >t %i) {ϕn} ⊂ D ϕ ∈ D 0 {ϕn} P 1 RUC i [a,b] 5^ supp(ϕn) ⊂ [a,b], n = 1, 2, · · ·; 2 s7ihL k {ϕ (k) n } U R1 "1tA;\ ϕ (k) Y= {ϕn} U D xA;\ ϕ _ ϕn → ϕ 'y 4 0y1℄) D j9 3 T ; D \ sY C _ ?& P (1) s7 α,β ∈ C, ϕ,ψ ∈ D C T(αϕ + βψ) = αTϕ + βTψ, (2):!s D x7 {ϕn} ϕn → ϕ Y Tϕn → Tϕ Y= T t D "_ 0y1℄ _ T ∈ D′ (R1 )R T ∈ D′ A~5~_J)-ZJ Yx-95L4a";p D " _ Ftns*1-95L3?3Q-_5Ld zU- =6 E 1 U R1 x=C i" T_5Le;=t/ T5L; D "_-95L :4" s7/ T5L f 5j9 D "_~5 Tf t Tf (ϕ) = Z +∞ −∞ f(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ D - ,j Tf ; _0 {ϕn} ⊂ D ϕ ∈ D 5 ϕn → ϕ Y RUC i [a,b] 5^ supp(ϕn) ⊂ D,n = 1, 2, · · · , supp(ϕ) ⊂ D, Z n → ∞ 2 C maxa≤x≤b | ϕn(x) − ϕ(x) |→ 0, 5