e int deA=---[e'sint-]"'e" costdi]=-J' costde-=-[e-" cost" +"e' sin tdi]=e- +1- A1因此A=2a+e"),Ter-(1+e-") =-(l+e")22【评注】本题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积分后，再通过换元与分步积分（均为最基础的要求），即可得出结果，综合考查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基础知识点，六、（本题满分9分）求幂级数1+(-1)"-(x<1)的和函数f(x)及其极值2nn=l【分析】先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当x=0时和为1.求出和函数后，再按通常方法求极值【详解】X1)"x2nf'(x)1+ x2上式两边从0到x积分，得dt = -↓In(1+x*).f(x)- f(0)=-[Jo1+t22由f(0)=1,得f(x)=1-=In(1 + x2),(x<1),2令f(x)=0，求得唯一驻点x=0.由于1- x?f"(x)=(1+x3)2,f"(0)=-1<0,可见f(x)在x=0处取得极大值，且极大值为f(0)=1.【评注】求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形，然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数，七、（本题满分9分）设 F(x)=f(x)g(x), 其中函数 f(x),g(x)在(-00,+c0)内满足以下条件:f'(x)= g(x), g(x)=f(x), 且 f(0)=0, f(x)+g(x)=2e
= = = = 因此 ， 【评注】 本题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积分后，再通过换 元与分步积分（均为最基础的要求），即可得出结果，综合考查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基 础知识点. 六、（本题满分 9 分） 求幂级数 的和函数 f(x)及其极值. 【分析】 先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当 x=0 时和为 1. 求出和函数后，再按 通常方法求极值. 【详解】 上式两边从 0 到 x 积分，得 由 f(0)=1, 得 令 ，求得唯一驻点 x=0. 由于 ， 可见 f(x)在 x=0 处取得极大值，且极大值为 f(0)=1. 【评注】求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形，然后再 通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数. 七、（本题满分 9 分） 设 F(x)=f(x)g(x), 其中函数 f(x),g(x)在 内满足以下条件： ， ，且 f(0)=0, t t A e de − − = − int 0 [ sin cos ] 0 0 − − − − e t e tdt t t − − 0 cos t tde [ cos sin ] 0 0 e t e tdt t t − − − + e +1− A. − (1 ) 2 1 − A = + e (1 ). 2 (1 ) 2 e e e I = + = + − = + − 1 2 ( 1) 2 1 ( 1) n n n x n x . 1 ( ) ( 1) 1 2 2 1 = − + = − = − n n n x x f x x ln(1 ). 2 1 1 ( ) (0) 2 0 2 dt x t t f x f x = − + + − = − ln(1 ),( 1). 2 1 ( ) 1 2 f x = − + x x f (x) = 0 , (1 ) 1 ( ) 2 2 2 x x f x + − = − f (0) = −1 0 (−,+) f (x) = g(x) g (x) = f (x) ( ) ( ) 2 . x f x + g x = e
(3）求F(x)所满足的一阶微分方程；(4)求出F(x)的表达式.【分析】F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对F(x)求导，并将其余部分转化为用F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程。【详解】 (1)由F(x)= f'(x)g(x)+ f(x)g(x)=g(x)+ f2(x)=[f(x)+ g(x)2 -2 f(x)g(x)=(2e*)? -2F(x),可见F(x)所满足的一阶微分方程为F'(x)+ 2F(x) = 4e2x(2) F(x)=e-/2±[4e2 . e]J2a dx+C][4e**dx +C]=e-=e2x +Ce-2x将F(0)=f(0)g(0)=0 代入上式，得C=-1.于是F(x)=e2 -e-2x【评注】本题没有直接告知微分方程，要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的形式，从题型来说比较新颖，但具体到微分方程的求解则并不复杂，仍然是基本要求的范围八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3)上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1.试证必存在(0,3)，使f'()=0.【分析】根据罗尔定理，只需再证明存在一点ce[0,3)，使得f(c)=1=f(3)，然后在[c,3]上应用罗尔定理即可。 条件 ()+(1)+(2)=3 等价于 (0)+()+F(2)=1, 问题转化为 1 介于 ()的最值之间，最3终用介值定理可以达到目的【详解】因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值M和最小值m，于是m≤f(O)≤M,m≤f()≤M,m≤ f(2)≤M .故m≤(0)+ F()+/(2) ≤M.3由介值定理知，至少存在一点cE[0,2]，使(e) - (0)+ +/2) -1.3因为f(c)=1=f(3)，且 f(x)在[c,3]上连续，在(c,3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在(c,3)C(0,3)
(3) 求 F(x)所满足的一阶微分方程； (4) 求出 F(x)的表达式. 【分析】 F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对 F(x)求导，并将其余部分转化为用 F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程. 【详解】 (1) 由 = = =(2 -2F(x), 可见 F(x)所满足的一阶微分方程为 (2) = = 将 F(0)=f(0)g(0)=0 代入上式，得 C=-1. 于是 【评注】本题没有直接告知微分方程，要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的形式，从题型来 说比较新颖，但具体到微分方程的求解则并不复杂，仍然是基本要求的范围. 八、（本题满分 8 分） 设函数 f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在 ，使 【分析】 根据罗尔定理，只需再证明存在一点 c ，使得 ，然后在[c,3]上应用罗 尔定理即可. 条件 f(0)+f(1)+f(2)=3 等价于 ，问题转化为 1 介于 f(x)的最值之间，最 终用介值定理可以达到目的. 【详解】 因为 f(x)在[0，3]上连续，所以 f(x)在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值 M 和最小值 m，于是 ， ， . 故 由介值定理知，至少存在一点 ，使 因为 f(c)=1=f(3), 且 f(x)在[c,3]上连续，在(c,3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在 ， F(x) = f (x)g(x) + f (x)g (x) ( ) ( ) 2 2 g x + f x [ ( ) ( )] 2 ( ) ( ) 2 f x + g x − f x g x 2 ) x e ( ) 2 ( ) 4 . 2x F x + F x = e ( ) [ 4 ] 2 2 2 F x e e e dx C dx x dx + = − [ 4 ] 2 4 e e dx C x x + − . 2x 2x e Ce− + ( ) . 2x 2x F x e e − = − (0,3) f ( ) = 0. [0,3) f (c) = 1 = f (3) 1 3 (0) (1) (2) = f + f + f m f (0) M m f (1) M m f (2) M . 3 (0) (1) (2) M f f f m + + c [0,2] 1. 3 (0) (1) (2) ( ) = + + = f f f f c (c,3) (0,3)
使f"(5)=0.【评注】介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点，且一般是两两结合起来考.本题是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形九、（本题满分13分）已知齐次线性方程组(a,+b)x,+a,x,+ax,+...+a,x,=0,ax+(a,+b)x,+agx,+...+anxn=0,axj+ax+(a+b)x+...+anxn=0,[ax,+a,x,+ax+...+(a,+b)x,=0,其中+0.试讨论ai,a2,a,和b满足何种关系时，i=l(1)）方程组仅有零解；(2)方程组有非零解。在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有列对应元素相加后相等可先将所有列对应元素相加，然后提出公因式，再将第行的（-1）倍加到其余各行，即可计算出行列式的值【详解】方程组的系数行列式[a, +ba2as...ana, +baia3.an[4| =as+ba,az...an:目1::aa, +bazas..=b"-l(b+Sa)il(1）当b±0时且b+a,±0时，秩(A)=n，方程组仅有零解.i=l(2）当b=0时，原方程组的同解方程组为ax,+a,x+..+a,x,=0由a,±0可知，a,(i=1,2,…,n)不全为零.不妨设a,￥0，得原方程组的一个基础解系为falα, -,.,), α, (-,.,),.,α, (-.,.).a,a,a,当b=-厂a,时，有b*0，原方程组的系数矩阵可化为i=l
使 【评注】 介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点，且一般是两两结合起来考. 本题 是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形. 九、（本题满分 13 分） 已知齐次线性方程组 其中 试讨论 和 b 满足何种关系时， (1) 方程组仅有零解； (2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计 算具有明显的特征：所有列对应元素相加后相等. 可先将所有列对应元素相加，然后提出公因式，再将第 一行的（-1）倍加到其余各行，即可计算出行列式的值. 【详解】 方程组的系数行列式 = (1) 当 时且 时，秩(A)=n，方程组仅有零解. (2) 当 b=0 时，原方程组的同解方程组为 由 可知， 不全为零. 不妨设 ，得原方程组的一个基础解系为 ， ， 当 时，有 ，原方程组的系数矩阵可化为 f ( ) = 0. + + + + + = + + + + + = + + + + + = + + + + + = ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0, 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 n n n n n n n n a x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a x 0. 1 = n i ai a a an , , , 1 2 a a a a b a a a b a a a b a a a b a a a A n n n n + + + + = 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( ). 1 1 = − + n i i n b b a b 0 0 1 + = n i b ai 0. a1x1 + a2 x2 ++ an xn = 0 1 = n i ai a (i 1,2, , n) i = 0 a1 T a a ( ,1,0, ,0) 1 2 1 = − T a a ( ,0,1, ,0) 1 3 2 = − , ( ,0,0, ,1) . 1 n T n a a = − = = − n i b ai 1 b 0
nEa,a,-a2a3ani=l1a3a,a,anZa,1=1a,a2anas-:::Za.a,a2a3a.i=l（将第1行的-1倍加到其余各行，再从第2行到第n行同乘以倍）Ma.i=lZa.a2a3a,a.1aI1-100...→0-110.目...::0-101...（将第n行-α，倍到第2行的-α,倍加到第1行，再将第1行移到最后一行）.0[-1101010：::7100.10000由此得原方程组的同解方程组为X=X,X=X,.,X=X原方程组的一个基础解系为α= (1,1, .,1)T.【评注】本题的难点在b=a，时的讨论，事实上也可这样分析：此时系数矩阵的秩为n-1(存在i=ln-1阶子式不为零)，且显然α=(1,1,,1)"为方程组的一个非零解，即可作为基础解系.十、（本题满分13分）设二次型f(x,X2,x3)=XTAX =ax +2x2 -2x +2bxx(b>0),中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12(3）求a,b的值；(4）利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵
（将第 1 行的-1 倍加到其余各行，再从第 2 行到第 n 行同乘以 倍） （ 将第 n 行 倍到第 2 行的 倍加到第 1 行，再将第 1 行移到最后一行） 由此得原方程组的同解方程组为 ， ， . 原方程组的一个基础解系为 【评注】 本题的难点在 时的讨论，事实上也可这样分析：此时系数矩阵的秩为 n-1(存在 n-1 阶子式不为零)，且显然 为方程组的一个非零解，即可作为基础解系. 十、（本题满分 13 分） 设二次型 ， 中二次型的矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为-12. (3) 求 a,b 的值； (4) 利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. − − − − = = = = n i n i n n i i n n i i n n i i a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1 1 2 3 1 1 2 3 3 1 1 2 2 3 1 1 = − n i ai 1 1 → − − − −= 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 2 3 1 1 n n i a ai a a a n − a 2 − a → . 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 − − − 2 1 x = x 3 1 x = x 1 , x x n = (1,1, ,1) . T = = = − n i b ai 1 T = (1,1, ,1) ( , , ) 2 2 2 ( 0) 1 3 2 3 2 2 2 f x1 x2 x3 = X AX = ax1 + x − x + bx x b T
【分析】特征值之和为A的主对角线上元素之和，特征值之积为A的行列式，由此可求出a,b的值；进一步求出A的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化（若有必要），然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵【详解】（1）二次型f的矩阵为[aob020A=[b 0-2]设A的特征值为入,(i=1,2,3)。由题设，有^ + +, =a+2+(-2)=1,Jaob92=00=-4a-2b2=-12b0-2解得 a=1,b=-2.(2）由矩阵A的特征多项式[2-10-20元-2[E-A|=0=(α-2)(元+3),-20元+2得A的特征值==2,=-3对于^=2=2,解齐次线性方程组(2E-A)x=0，得其基础解系5, =(2,0,1), 52 =(0,1,0)对于=-3，解齐次线性方程组(-3E-A)x=0，得基础解系5, = (1,0,-2)T由于152.53已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将31.52.53单位化，由此得(1,02)7nz=(0,1,0), =(n=(+V5V5V5V5令矩阵210万025o11Q=[n n2 n3]=0[V5T5则Q为正交矩阵.在正交变换X=QY下，有
【分析】特征值之和为 A 的主对角线上元素之和，特征值之积为 A 的行列式，由此可求出 a,b 的值； 进一步求出 A 的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化（若有必要），然后将特征向量单 位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵. 【详解】 （1）二次型 f 的矩阵为 设 A 的特征值为 由题设，有 ， 解得 a=1,b= -2. (2) 由矩阵 A 的特征多项式 ， 得 A 的特征值 对于 解齐次线性方程组 ，得其基础解系 ， 对于 ，解齐次线性方程组 ，得基础解系 由于 已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将 单位化，由此得 ， ， 令矩阵 ， 则 Q 为正交矩阵. 在正交变换 X=QY 下，有 . 0 2 0 2 0 0 − = b a b A (i = 1,2,3). i 1 + 2 + 3 = a + 2 + (−2) =1 4 2 12. 0 2 0 2 0 0 2 1 2 3 = − − = − − = a b b a b ( 2) ( 3) 2 0 2 0 2 0 1 0 2 2 = − + − + − − − − = E A 2, 3. 1 = 2 = 3 = − 2, 1 = 2 = (2E − A)x = 0 T (2,0,1) 1 = (0,1,0) . 2 T = 3 = −3 (−3E − A)x = 0 (1,0, 2) . 3 T = − 1 2 3 , , 1 2 3 , , T) 5 1 ,0, 5 2 ( 1 = T (0,1,0) 2 = ) . 5 2 ,0, 5 1 ( 3 T = − − = = 5 2 0 5 1 0 1 0 5 1 0 5 2 Q 1 2 3