2.柱坐标Vq a 89 0 r arar ra8- az 讨论q=0(r,6),令q(,)=f(r)g(O d 8(6 g(6)=0 g(0)=a, sin ve+a, cos ve f()=0一f()有两个线性无关解F、F r ar 单值性要求(0)=(2x),v只能取整数,令v=n p(r,0)=2["(4, sin ne+B, cos m0)+r"(C, sin ne+ D, cos ne)] n= 若=() (r-)=0 Or ar =C→0=A+Bhnr ar
0 1 ( ) 1 2 2 2 2 2 2 = + + = r r z r r r 2. 柱坐标 讨论 = (r, ) ，令 (r, ) = f (r)g( ) − = + = ( ) ( ) 0 1 ( ) 0 ( ) 2 2 2 2 2 f r dr r df r dr d r g d d g 1 2 g a a ( ) sin cos = + f (r) r − 有两个线性无关解 、 r 单值性要求 (0) = (2 ) ， 只能取整数，令 = n 1 ( , ) ( sin cos ) ( sin cos ) n n n n n n n r r A n B n r C n D n − = = + + + C A B r r r = = + ln ( ) 0 1 = r r r r 若 = (r) ， 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3.球坐标 P(R, 0,D)=>(ammR'+ Dmmr)Pm (cos 0 )cos md +>(cmm R"+ Dm )Pm(cos O)sin mg Pm(cosO)—缔合勒让德函数(连带勒让德函数) 若q不依赖于女,即q具有轴对称性,通解为 p(R,0)=2(a,R"+Dm1)P,(cos O) 1 P(cos 0)=cos 1, P(cos0) 为勒让德函数 P,(cos 6)=-(3c0s26-1) n ●若卯与日,φ均无关, b 9具有球对称性,适解:(P a R
1 ( , , ) ( ) (cos )cos n m nm nm n n nm b R a R P m R + = + 1 ( ) (cos )sin n m nm nm n n nm d c R P m R + + + 3．球坐标 (cos ) m Pn ——缔合勒让德函数（连带勒让德函数） + = + n n n n n n P R b (R, ) (a R ) (cos ) 1 ⚫ 若 不依赖于 ，即 具有轴对称性，通解为 (3cos 1) 2 1 (cos ) 2 P2 = − P0 =1 P1 (cos) = cos (cos ) Pn -----为勒让德函数 R b (R) = a + , ⚫ 若 与 均无关， 具有球对称性，通解： 机动 目录 上页 下页 返回 结束
三.解题步骤 1.选择坐标系和电势参考点 坐标系选择主要根据区域中分界面形状,参 考点主要根据电荷分布是有限还是无限; 2.分析对称性、分区写出拉普拉斯方程在所选 坐标系中的通解; 3.根据具体条件确定常数 (1)外边界条件:电荷分布有限=0 机动目录上页下页返回
三．解题步骤 3. 根据具体条件确定常数 1.选择坐标系和电势参考点 坐标系选择主要根据区域中分界面形状，参 考点主要根据电荷分布是有限还是无限； 2.分析对称性、分区写出拉普拉斯方程在所选 坐标系中的通解； （1）外边界条件： 电荷分布有限 = 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束
注意:边界条件和边值关系是相对的。导体边界 可视为外边界,给定卯(接地=0),或给 定总电荷Q,或给定O。 电荷分布无限,电势参考点一般选在有限区。如 均匀场中,E=E:→>-ErCs=-E2 (直角坐标或柱坐标),电势可选在坐标原点 (2)内部边值关系:介质分界面上 C 般讨论分 01=0 S 2|s 01=60n\s 界面无自由 电荷的情况
注意：边界条件和边值关系是相对的。导体边界 可视为外边界，给定 （接地 ），或给 定总电荷 Q，或给定 。 S = 0 S z E E e = 0 E r E z 0 0 → − cos = − 电荷分布无限，电势参考点一般选在有限区。如 （直角坐标或柱坐标），电势可选在坐标原点。 均匀场中， （2）内部边值关系：介质分界面上 S S S S n n = = 2 2 1 1 2 1 一般讨论分 界面无自由 电荷的情况 机动 目录 上页 下页 返回 结束
四.应用举例 1、两无限大平行导体板,相距为l,两板间电势 差为V(与x,y,z无关),一板接地,求两板间的 电势q和E。 解:(1)边界为平面,故 应选直角坐标系 下板=0,设为参考点 (2)定性分析:因在z=11 q=V(常数),可考虑 q与x,y无关
四．应用举例 1、两无限大平行导体板，相距为 ，两板间电势 差为V (与 无关)，一板接地，求两板间的 电势 和 。 l x, y,z E x y O V Z l 解：（1）边界为平面，故 应选直角坐标系 下板 0 1 = S ，设为参考点 z = l = V x, y （2）定性分析：因在 （常数），可考虑 与 无关。 机动 目录 上页 下页 返回 结束