元论仑怎 河北师范大学重点建设课程
第零章第二节 河北师范大学重点建设课程 矢量场论复习
§2矢量场论复习 、场的概念 描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或 说:若在一定空间中的每一点,都对应着某个物理 量的确定值,就说在这空间中确定了该物理的场。 如:强度场、速度场、引力场、电磁场。 场用一个空间和时间标量场(x,y=,)=0(x,) 坐标的函数来描述:矢量场A(xy=,1)=A(x,) ■稳恒场(稳定场、静场):场与时间无关 ■变化场(时变场):场函数与时间有关
一、场的概念 §2 矢量场论复习 ( , , , ) ( , ) ( , , , ) ( , ) x y z t x t A x y z t A x t = = 标量场 矢量场 描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或 说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理 量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。 如：强度场、速度场、引力场、电磁场。 场用一个空间和时间 坐标的函数来描述： 稳恒场（稳定场、静场）：场与时间无关 变化场（时变场）：场函数与时间有关
■已知场函数的梯度、散度、旋度可以确定场函数, 这是电动力学求解电磁场的主要方法。 ■已知场函数可以了解场的各种性质:随时空的变 化关系(梯、散、旋度)。 、标量场的梯度 在空间任意靠近两点函数的全微分在空间某点的任意 00d 方向上,导数有无 do ox dy oq d= 穷多个,其中有 个值最大,这个方 VdC向导数的最大值定 Ox a az 义为梯度: dl=dxe +dye, +dze do 4 p.e=Vplcos e grado=Vo
已知场函数可以了解场的各种性质：随时空的变 化关系（梯、散、旋度）。 已知场函数的梯度、散度、旋度可以确定场函数， 这是电动力学求解电磁场的主要方法。 二、标量场的梯度 d dx dy dz x y z = + + x y z d dxe dye dze = + + x y z d e e e d d x y z = + + = 在空间任意靠近两点函数 的全微分 l d e d = = cos 在空间某点的任意 方向上，导数有无 穷多个，其中有一 个值最大，这个方 向导数的最大值定 义为梯度： grad =
梯度的意义:空间某点标量场函数的最大变化率 ,刻画了标量场的空间分布特征 已知梯度即可求出沿任一方向的方向导数。 等值面:q(x)=常数的曲面称为等值面。 梯度与等值面的关系:梯度与等值面垂直。 三、矢量微分算子 既具有矢量性质, 又具有微分性质 ax az 9=e az 注意:Vq≠qV 它可以作用在矢量上,可以作点乘、叉乘
梯度的意义：空间某点标量场函数的最大变化率 ，刻画了标量场的空间分布特征 等值面： ( ) x = 常数的曲面称为等值面。 梯度与等值面的关系：梯度与等值面垂直。 已知梯度即可求出沿任一方向的方向导数。 三、矢量微分算子 既具有矢量性质， e e e x y z 又具有微分性质 x y z = + + x y z e e e x y z = + + 注意： 它可以作用在矢量上，可以作点乘、叉乘
OA 0A 0A V·A +e.-+e a te a te A Ox ' az VXA=0/aA 0A ∝(n aA. a az ax 例1:Vr=?r==(x-x)+(y-y)+(=-3 解: ar 1 1 x-x ar ar 2(x-x’) Ox 2 y z X-X V e
( ) y x z x y z x x y y z z A A A A e e e e A e A e A x y z x y z = + + + + = + + y y z z x x x y z A A A A A A A e e e y z z x x y = − + − + − x y z x y z e e e x y z A A A = 1 1 2( ) 2 r x x x x x r r − = − = 解： , r y y r z z y r z r − − = = x y z x x y y z z r r e e e r r r r − − − = + + = ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 r r x x y y z z = = − + − + − 例1 ： r = ？ rr r =