第二章第三节 八 p大学点建设课程
第二章第三节 河北师范大学重点建设课程 分离变量法
§2.3拉普拉斯方程的解 分离变量法 分离变量法的用奈件 二、抚普杬斯亦程的解在坐标系形式 三、解题步聚 四、应用窦例(穹题磲 机动目录上页下页返回
§2. 3 拉普拉斯方程的解 —— 分离变量法 一、分离变量法的适用条件 四、应用实例（习题课） 三、解题步骤 二、拉普拉斯方程的解在坐标系中的形式 机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、拉普拉斯方程的适用条件 1、空间p=0,自由电荷只分布在某些介质(或导 体)表面上,将这些表面视为区域边界,可用 拉普拉斯方程。 2、在所求区域的介质中若有自由电荷分布,则要求 自由电荷分布在真空中产生的势为已知。 般所求区域为分区均匀介质,则不同介质分界 面上有束缚面电荷。区域V中电势可表示为两部分 的和,即=90+q,φo为已知自由电荷产生 的电势,φ不满足V2q=0,φ’为束缚电荷产生 的电势,满足拉普拉斯方程V2o′=0 但注意,边值关系还要用而不能用
1、空间 ，自由电荷只分布在某些介质（或导 体）表面上，将这些表面视为区域边界， 可用 拉普拉斯方程。 = 0 一、拉普拉斯方程的适用条件 2、在所求区域的介质中若有自由电荷分布，则要求 自由电荷分布在真空中产生的势为已知。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一般所求区域为分区均匀介质，则不同介质分界 面上有束缚面电荷。区域V中电势可表示为两部分 的和，即 ， 为已知自由电荷产生 的电势， 不满足 ， 为束缚电荷产生 的电势，满足拉普拉斯方程 0 2 = 0 2 = = + 0 0 但注意，边值关系还要用 S 而不能用 S
二、拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式 1、直角坐标V+,x、2 a0,a20 (1)2 (x, v, z)=X(x)Y()z(z) d-X +X=0 kl, B=-k dx d-y y=k+k2=k2 +BY=0 X(x=ae Kx t Be kx d-Z 公+yz=0 Y()=Ceh2V-k,y Z(z=ESin kz F cos kz a+B+y=0
二、拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式 0 2 2 2 2 2 2 2 = + + = x y z 1、直角坐标 （1）令 (x, y,z) = X(x)Y(y)Z(z) 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) sin cos k x k x X x Ae Be k y k y Y y Ce De Z z E kz F kz − = + − = + = + 0 0 0 2 2 2 2 2 2 + = + = + = Z dz d Z Y dy d Y X dx d X + + = 0 2 2 2 2 1 2 2 2 1 , k k k k k = + = = − = − 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2)若卩=(x,y a42+aX=0a=-k2,B=k2a+B=0 dX Y X(x)=Ae Be +BY=0 Y()=Csin ky+Dcos ky 注意:在(1)、(2)两种情况中若考虑了某些边 界条件,k1,k2,将与某些正整数有关,它们可取1, 2,3,∴,只有对它们取和后才得到通解。 (3)若卯=p(x),与y,z无关 0 a x+B 机动目录上页下页返回
（2）若 = (x, y) ( ) ( ) sin cos kx kx X x Ae Be Y y C ky D ky − = + = + （3）若 = (x) ，与 y,z 无关。 Ax B dx d = = + 0 2 2 0 0 2 2 2 2 + = + = Y dy d Y X dx d X 注意：在（1）、（2）两种情况中若考虑了某些边 界条件， 将与某些正整数有关，它们可取1， 2，3，… ，只有对它们取和后才得到通解。 k ,k ,k 1 2 + = 0 2 2 = −k , = k 机动 目录 上页 下页 返回 结束