各阶差商就可得到了。 例:已知函数f(x)的函数表如下 0.4 0.550.65 800.90 f(x)0.410750.57815069675088811102652 求四次 Newton插值多项式,并由此求f(0.596的近 似值。 解:计算函数f(x)的差商表如下 x|f(x,)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商 0400.41075 0.550.57815.1100 0.650.696751.14400.2800 0800888111.193400.309600.19733 0901.02652|1231540.3301102004003110 故∫(x)的四次 Newton插值多项式为: P4(x) 0.41075+1.11600x-0.4)+0.280000x-0.4)(x-0.55) +0.19733(x-0.4)(x-0.550x-065) +0.031(x-0.4)(x-0.55)x-065)(x-0.80) 则:f(0.596)≈P4(0.596)=0.63195。 例:给定数据表:
13 各阶差商就可得到了。 例：已知函数 f (x) 的函数表如下： i x 0.4 0.55 0.65 0.80 0.90 ( ) xi f 0.41075 0.57815 0.69675 0.88811 1.02652 求四次 Newton 插值多项式，并由此求 f (0.596) 的近 似值。 解：计算函数 f (x) 的差商表如下： 0.90 0.80 0.65 0.55 0.40 i x 1.02652 0.88811 0.69675 0.57815 0.41075 ( ) i f x 1.11600 1.14400 1.19340 1.23154 一阶差商 0.28000 0.30960 0.33011 二阶差商 0.19733 0.20044 三阶差商 0.03110 四阶差商 故 f (x) 的四次 Newton 插值多项式为： ( ) P4 x = + − + − − 0.41075 1.11600( 0.4) 0.28000( 0.4)( 0.55) x x x + − − − 0.19733( 0.4)( 0.55)( 0.65) x x x + − − − − 0.0311( 0.4)( 0.55)( 0.65)( 0.80) x x x x 则： 4 f P (0.596) (0.596) 0.63195 = 。 例：给定数据表：
2 6 7 f(x,)4 求4次牛顿插值多项式,并写出插值余项。 解: f(x)一阶二阶三阶四阶 差商差商差商差商 01234 12467 41011 /35/6 3/53/5|-760 1/212-191/180 由差商表可得4次牛顿插值多项式为: 5 P24(x)=4-3(x-1)+(x-1)(x-2)-(x-1) 60 (x-2)x-4)+(x-1)(x-2)x-4)(x-6) 180 插值余项为: f(x)-P4(x)= f6)(2) 5(x-1(x-2)(x-4x-6) )(x-7) 5∈(min(x,1),max(x,7 、差分、等距节点下的 Newton插值多项式:
14 i x 1 2 4 6 7 ( )i f x 4 1 0 1 1 求 4 次牛顿插值多项式，并写出插值余项。 解： i i x ( )i f x 一阶 差商 二阶 差商 三阶 差商 四阶 差商 0 1 2 3 4 1 2 4 6 7 4 1 0 1 1 -3 −4 3 −3 5 −1 2 5 6 3 5 1 2 −7 60 −1 9 1 180 由差商表可得 4 次牛顿插值多项式为： 4 5 7 ( ) 4 3( 1) ( 1)( 2) ( 1) 6 60 1 ( 2)( 4) ( 1)( 2)( 4)( 6) 180 P x x x x x x x x x x x = − − + − − − − − − + − − − − 插值余项为： (5) 4 ( ) ( ) ( ) ( 1)( 2)( 4)( 6)( 7) 5! f f x P x x x x x x − = − − − − − (min( ,1),max( ,7)) x x 三、差分、等距节点下的 Newton 插值多项式：