4.3线性空间的定义及简单性质 2021/2/20
2021/2/20 6 4.3 线性空间的定义及简单性质
定义数域F上的线性空间V是一个非空集合, 其上定义有加法a+6和数乘c的运算,其中 a,/B∈V,λ∈F,V对两种运算封闭且满足性质 Va,B,∈V,Vk,l∈F (1)a+B-=+a (2)(aB)+=ax+(6+) (3)3∈V,a+e=a,称为的零元素 (4)彐—a∈V,a+(-a)=O,-a称为a的负元素 (5)1aa (6)k(la)=(k)a ((k+lakota (8)k(atB=katkB 7 2021/2/20
2021/2/20 7 定义 数域F上的线性空间V是一个非空集合, 其上定义有加法a+b和数乘la的运算, 其中 a,bV, lF, V对两种运算封闭且满足性质: a,b,gV, k,lF (1) a+b=b+a (2) (a+b)+g=a+(b+g) (3) qV, a+q=a, q称为V的零元素 (4) -aV, a+(-a)=q, -a称为a的负元素 (5) 1a=a (6) k(la)=(kl)a (7) (k+l)a=ka+la (8) k(a+b)=ka+kb
F为实(复)数域时,称为实(复)线性空间,简称 实(复)空间 线性空间中元素也常称为向量,线性空间中 的加法和数乘运算称为线性运算 然,三维几何向量空间和R都是线性空间的 具体模型 8 2021/2/20
2021/2/20 8 F为实(复)数域时, 称为实(复)线性空间, 简称 实(复)空间. 线性空间V中元素也常称为向量, 线性空间中 的加法和数乘运算称为线性运算. 显然, 三维几何向量空间和Rn都是线性空间的 具体模型
例1数域F上的全体多项式x],对通常的多项 式加法和数乘多项式的运算构成数域F上的 线性空间.所有次数小于n的多项式,也构成数 域F上的线性空间,记作Fx 例3区间[a,b上的全体实连续函数,对通常的 函数加法和数与函数的乘法运算构成实数域 上的线性空间,记作C[a,b]在(a,b)上全体阶 导数连续的实函数Cka,b)对同样的加法和数 乘运算也构成实线性空间 9 2021/2/20
2021/2/20 9 例1 数域F上的全体多项式F[x], 对通常的多项 式加法和数乘多项式的运算构成数域F上的 线性空间. 所有次数小于n的多项式, 也构成数 域F上的线性空间, 记作F[x]n 例3 区间[a,b]上的全体实连续函数, 对通常的 函数加法和数与函数的乘法运算构成实数域 上的线性空间, 记作C[a,b]. 在(a,b)上全体k阶 导数连续的实函数Ck (a,b)对同样的加法和数 乘运算也构成实线性空间
由线性空间的定义可证下列性质: ()线性空间的零元素是唯一的 i)线性空间中任一元素a的负元素是唯一的 (i)若a,B∈V,k∈F,则有 k(a-B)=ka-kB (h-Dakala (ⅳV)k=,k(B)=(kB,0a=,(-1)a=(-(a),特 别,(-1)a=-a,以后,(la)简记作la (V)设c∈V,k∈F,若ka=B,则k=0或a= 2021/2/20
2021/2/20 10 由线性空间的定义可证下列性质: (i) 线性空间的零元素是唯一的. (ii) 线性空间中任一元素a的负元素是唯一的. (iii) 若a,bV, kF, 则有 k(a-b)=ka-kb (k-l)a=ka-la (iv) kq=q, k(-b)=-(kb), 0a=q, (-l)a=(-(la), 特 别, (-1)a=-a, 以后, -(la)简记作-la. (v) 设aV, kF, 若ka=q, 则k=0或a=q