基于控制变量方法的蒙特卡洛方法探究及其在期权定价中的应用 王思远5122409025 ()就称为控制变量估计量，误差-u作为估计E(Y)过程中的控制部分。因 为 E[T(a)]=E[-a(-]=E[]=E[Y] (1.23) 可见控制变量估计量是无偏的，再来分析它的方差 Var[Y(a)]=VarY-a(X-u) (1.24) =o;-2aGxOyPxy+a'ox 其中o=Var[X],o=Var[Y],当a2o<2 QGxGyPxy时，控制变量估计量的 方差将比原随机变量Y的方差要小。并且在取 d-gpg=Varx刈 o_Cov[X.Y] (1.25) Oy 时，控制变量估计量()的方差取到最小值 VarF(a")=(1-piy)Var[Y] (1.26) 上式表明在最优系数α·下，使用控制变量技术缩小方差的效果取决于控制变量 和原变量的相关性，相关性越大效果越明显。在式(1.23)中，因为E(Y)是未知 的导致Cov[X,Y]和Var[X,Y]也是未知的，因此一般通过样本点(X,Y)估计得到 近似值 a=(&-y-yw-) ∑(x,-X1(N-) (1.27) ∑(x,-g-）) ∑(x,- 实际应用中，通常可以选取标的资产、债券价格或者一些具有封闭解得期权 等作为控制变量，下面简单介绍两种控制变量。 (1)利用标的资产作为控制变量在无套利原则下，任何风险资产的价值都是鞅， 也就是说它在未来任意时刻价值的贴现值的期望值都等于初始时刻的价值。假设 S(t)表示资产在t时刻的价值，则它在风险中性测度下满足 E[e-S(T)=S(0) (1.28) 其中r是无风险利率为常数，可见标的资产的这个特性恰好符合控制变量的要求。 令Y=er(S(T)-K)为欧式看涨期权到期收益的贴现，那么基于标的资产S(T) 6
基于控制变量方法的蒙特卡洛方法探究及其在期权定价中的应用 王思远 5122409025 6 Y (α ) 就称为控制变量估计量，误差 X − µ 作为估计 E(Y )过程中的控制部分。因 为 E ⎡Y (α ) ⎣ ⎤⎦ = E ⎡Y −α (X − µ) ⎣ ⎤ ⎦ = E ⎡Y⎣ ⎤⎦ = E[Y ] (1.23) 可见控制变量估计量是无偏的，再来分析它的方差 Var⎡Y (α ) ⎣ ⎤⎦ = Var⎡Y −α (X − µ) ⎣ ⎤ ⎦ = σ Y 2 − 2ασ Xσ Y ρ XY +α2 σ X 2 (1.24) 其中σ X 2 = Var[X] ，σ Y 2 = Var[Y ] ，当α2 σ X 2 < 2ασ Xσ Y ρ XY 时，控制变量估计量的 方差将比原随机变量 Y 的方差要小。并且在α 取 α∗ = σ Y σ X ρ XY = Cov[X,Y ] Var[X] (1.25) 时,控制变量估计量Y (α ) 的方差取到最小值 Var Y α∗ ( ) ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ = 1− ρ XY 2 ( )Var[Y ] (1.26) 上式表明在最优系数α∗ 下，使用控制变量技术缩小方差的效果取决于控制变量 和原变量的相关性，相关性越大效果越明显。在式(1.23)中，因为E(Y )是未知 的导致Cov[X,Y ] 和Var[X,Y ]也是未知的，因此一般通过样本点 Xi ( ,Yi)估计得到 近似值 αˆ N = (Xi − X)(Yi −Y )/(N −1) i=1 N ∑ (Xi − X) 2 /(N −1) i=1 N ∑ = (Xi − X)(Yi −Y ) i=1 N ∑ (Xi − X) 2 i=1 N ∑ (1.27) 实际应用中，通常可以选取标的资产、债券价格或者一些具有封闭解得期权 等作为控制变量，下面简单介绍两种控制变量。 (1)利用标的资产作为控制变量在无套利原则下，任何风险资产的价值都是鞅， 也就是说它在未来任意时刻价值的贴现值的期望值都等于初始时刻的价值。假设 S(t)表示资产在 t 时刻的价值，则它在风险中性测度下满足 E e−rT ⎡ S(T ) ⎣ ⎤ ⎦ = S(0) (1.28) 其中 r 是无风险利率为常数，可见标的资产的这个特性恰好符合控制变量的要求。 令Y = e−rT (S(T ) − K) + 为欧式看涨期权到期收益的贴现，那么基于标的资产 S(T)
基于控制变量方法的蒙特卡洛方法探究及其在期权定价中的应用 王思远5122409025 作为控制变量的Monte Carlo估计为 (a)= 2e-s)-k-as-so叭 (1.29) 当选取标的资产作为控制变量为欧式看涨期权定价时，它与Y的相关性还依 赖于K的取值。K越小，相关性越高，方差减小效果越好，特别地，当K=0时相 关性最高。 (2)利用封闭解已知的期权作为控制变量 一些期权在复杂的模型下没有封闭解，但对模型作适当的改变后就能够求得 封闭解，这样后者就提供了一个很好的控制变量，最经典的例子就是亚式期权 的定价，算术平均亚式期权是不能求得封闭解的，但是几何平均亚式期权却有封 闭解。假设在第1次模拟中，得到资产价值的样本 S,(t),S,t2),S,(tw),i=1,2,m,则这条路径上的算术平均和几何平均分别为 =N2) (1.30) c-fst)" (1.31) 那么，以几何平均亚式期权作为控制变量为算术平均亚式期权进行定价的估计量 为 c=n2[u,-Ki-a-K-c】 (1.32) 其中G为几何平均亚式期权的封闭解，由于几何平均和算术平均相关性较高，所 以它比使用标的资产作为控制变量或其它控制变量方差减小的效果要更好。 以上分析的均是单一的控制变量，实际应用中还能够采用复合的控制变量，也就 是说将两个或以上的单一控制变量构成一个复合控制变量来缩小方差。假设在模 拟Y的同时能得到d维向量X,=（X,X2,X)的样本，且E[X]为己知， (X,Y)独立同分布。记(X,Y)的协方差矩阵为 其中∑x为非奇异的d×d矩阵，∑w是d×1矩阵。则对于实列向量α有 y(a)=y,-a(,-Ex),其估计值为(a)=∑[y-a(x-Ex】]。称
基于控制变量方法的蒙特卡洛方法探究及其在期权定价中的应用 王思远 5122409025 7 作为控制变量的 Monte Carlo 估计为 Y (α ) = 1 N e−rT (Si(T ) − K) + −α Si(T ) − erT ( ( S(0))) i=1 N ∑ (1.29) 当选取标的资产作为控制变量为欧式看涨期权定价时，它与 Y 的相关性还依 赖于 K 的取值。K 越小，相关性越高，方差减小效果越好，特别地，当 K=0 时相 关性最高。 (2)利用封闭解已知的期权作为控制变量 一些期权在复杂的模型下没有封闭解，但对模型作适当的改变后就能够求得 封闭 解，这样后者就提供了一个很好的控制变量，最经典的例子就是亚式期权 的定价，算术平均亚式期权是不能求得封闭解的，但是几何平均亚式期权却有封 闭解。假设在第 i 次模拟中 ， 得到资产价值的样本 Si t( 1 ),Si t( 2 ),…,Si t( N ),i = 1,2,…,m ,则这条路径上的算 术平均和几何平均分别为 Ji = 1 N Si t( j) j=1 N ∑ (1.30) Gi = Si t( j) j=1 N ∏ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 1/N (1.31) 那么，以几何平均亚式期权作为控制变量为算术平均亚式期权进行定价的估计量 为 C! = 1 m J( i − K) + −α (Gi − K) + ( − C0 ) ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ i=1 m ∑ (1.32) 其中 G 为几何平均亚式期权的封闭解，由于几何平均和算术平均相关性较高，所 以它比使用标的资产作为控制变量或其它控制变量方差减小的效果要更好。 以上分析的均是单一的控制变量，实际应用中还能够采用复合的控制变量，也就 是说将两个或以上的单一控制变量构成一个复合控制变量来缩小方差。假设在模 拟Yi 的同时能得到 d 维向量 Xi = Xi (1) , Xi (2) ,…, Xi (d ) ( ) T 的样本，且 E[X]为己知， Xi ( ,Yi)独立同分布。记(X,Y ) 的协方差矩阵为 ∑X ∑XY XY T ∑ σ Y 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ 其中∑X 为非奇异的 d×d 矩阵，∑XY 是 d×1 矩阵。则对于实列向量α 有 Yi(α ) = Yi −αT (Xi − E[X]) ，其估计值为 Yi(α ) = 1 n Yi −αT ⎡ (Xi − E[X]) ⎣ ⎤ ∑ ⎦ 。称