理解拉格朗日定理；了解柯西定理；掌握洛必达法则；掌握函数单调性的判定；理解函数极值的概念，并掌握其求法；理解函数最大值、最小值的意义，掌握其求法，并能解决较为简单的最大、最小值应用问题。【重点难点】重点：中值定理；洛必达法则；函数的极值及其求法；函数的最大、最小值的应用问题。难点：函数的最大、最小值及其应用问题。【教学内容】中值定理、洛必达法则、函数单调性的判别法、函数的极值、函数的最大值和最小值、物理案例。微分中值定理将函数与其导数联系起来，是导数应用的理论基础，在微分学的应用中起着十分重要的作用：导数的应用是以导数为主要工具，结合诸如函数、极限、连续等概念，综合地用来对函数进行较全面的研究以及解决一些较简单的实际问题。案例：（一）、求极值一个函数的一阶导数为零，二阶导数小于零，则这个函数有极大值。1.基础知识（热学中的应用）设系统总的分子数为N，速率在v一v+dv区间（如500一510m/s）内的分子dNdN数为dN，N表示速率分布在该区间内的分子数占总分子数的比率。N与v有dNcdv关，在dv很小的情况下认为N，即dNdN=(ndv= (n)=Ndvf()表示分布在速率v附近，单位速率区间内的分子数占总分子数的比率，称()为速率分布函数一—物理意义。按(v)物理意义知：AN速率从V一V2间的分子数占总分子数的比率N为
理解拉格朗日定理；了解柯西定理；掌握洛必达法则；掌握函数单调性的判 定；理解函数极值的概念，并掌握其求法；理解函数最大值、最小值的意义，掌 握其求法，并能解决较为简单的最大、最小值应用问题。 【重点难点】 重点：中值定理；洛必达法则；函数的极值及其求法；函数的最大、最小值 的应用问题。 难点：函数的最大、最小值及其应用问题。 【教学内容】 中值定理、洛必达法则、函数单调性的判别法、函数的极值、函数的最大值 和最小值、物理案例。微分中值定理将函数与其导数联系起来，是导数应用的理 论基础，在微分学的应用中起着十分重要的作用．导数的应用是以导数为主要工 具，结合诸如函数、极限、连续等概念，综合地用来对函数进行较全面的研究以 及解决一些较简单的实际问题。 案例：（一）、求极值 一个函数的一阶导数为零，二阶导数小于零，则这个函数有极大值。 1.基础知识（热学中的应用） 设系统总的分子数为 N ，速率在v—v+dv 区间（如 500—510m/s）内的分子 数为dN ， dN N 表示速率分布在该区间内的分子数占总分子数的比率。 dN N 与v 有 关，在dv 很小的情况下认为 dN d N v ，即 ( ) ( ) dN dN f d f N Nd v v v v f (v)表示分布在速率 v 附近，单位速率区间内的分子数占总分子数的比率， 称 f (v)为速率分布函数——物理意义。 按 f (v)物理意义知： 速率从v1—v2 间的分子数占总分子数的比率 N N 为
AN"f(ndvNAN=If(v)d速率从2间的分子数AN为=。()dv=1 归一化条件表示每个分子速率分布在0一8范围内的概率为1，即在每个分子必然处在这个速率范围内。速率分布函数的几种表现形式的物理意义の=f(ndv：分子速率在v附近v—v+dv范围内的概率。dN=Nf(v)dv：分布在附近v—v+dv范围内的分子数。AN=Nf(v)d：分布在速率v1一v2范围内的分子数。Maxwell、Boltzmann从理论上确定气体分子按速率分布的统计规律：大量气体分子的系统处于平衡态时的速率分布为麦克斯韦速率分布。气体分子按速率分布的统计规律：在平衡态条件下，气体分子间的相互作用可忽略时，分布在任一速率间隔v一v+dv内的分子数占总分子数的比率为3mV2dNm-= 4元(e2kV2dVN2元kT3my2m)e2ky2f(v)=4元(2元kT定义为dNfvdv麦克斯韦速率分布函数。面积Jo)N式中m为分子质量，T是系统温度面积K是玻尔兹曼常数。1f(0)f(v)-v图:VMV2(h2.求极大值在(n)-V图中，曲线下所围成的面积为分子数的比率，当dv很小（满足
2 1 ( ) N f d N v v v v 速率从 v1—v2 间的分子数N 为 2 1 N N f ( )d v v v v 0 f ( )d 1 v v 归一化条件 表示每个分子速率分布在 0—∞范围内的概率为 1，即在每个分子必然处在 这个速率范围内。 速率分布函数的几种表现形式的物理意义： f (v)dv ：分子速率在 v 附近 v—v+dv 范围内的概率。 dN Nf (v)dv ：分布在 v 附近 v—v+dv 范围内的分子数。 2 1 N N f ( )d v v v v ：分布在速率 v1—v2 范围内的分子数。 Maxwell、Boltzmann 从理论上确定气体分子按速率分布的统计规律：大量气 体分子的系统处于平衡态时的速率分布为麦克斯韦速率分布。 气体分子按速率分布的统计规律：在平衡态条件下，气体分子间的相互作用 可忽略时，分布在任一速率间隔v—v+dv 内的分子数占总分子数的比率为 2 3 2 2 2 4 ( ) 2 mV kT dN m e V dV N kT 2 3 2 2 2 ( ) 4 ( ) 2 mV m kT f e V kT v 定义为 麦克斯韦速率分布函数。 式中m 为分子质量，T 是系统温度， K 是玻尔兹曼常数。 f (v) v 图： 2.求极大值 在 f (v) v 图中，曲线下所围成的面积为分子数的比率，当dv 很小（满足
极限条件时），dv与f()曲线围成的面积为元面积，近似等于f(v)dv；总面积Zf(ndv，n→时dv近似于连续取值，求和可等于无限多无面积之和，即为二f。f(v)dv=1以用积分表示，为J。(的极值对应的速率称为最可几速率，用"p表示。p的物理意义是表示速率p附近数值的分子数比率最高；2kTRTdf(v)2RT=0,=1.41=VdvHmAVp的数值：rs'p第四章不定积分【教学要求】理解原函数的定义及其存在定理；理解不定积分的定义及其基本性质；熟练掌握基本积分公式；掌握凑微分法、换元积分法与分部积分法【重点难点】重点：原函数与不定积分的概念；基本积分公式；换元积分法与分部积分法。难点：换元积分法。【教学内容】不定积分的概念、不定积分的基本公式和运算法则、换元积分法、分部积分法、几种初等函数的积分。加法有逆运算一一减法，乘法有逆运算一一除法，求导法也有逆运算，这就是不定积分法。案例：1、分部积分法分部积分求平均值（1）平均速率√（大量分子的速率的算术平均值）（热学中的应用）分布在任一速率区间v一v+dv中的分子数为dN=Nf(v)dv，当dv很小时，dN个分子都以速率v运动，则dN个分子的速率总和为vdN对速率空间全积分。vdN即为所有分子速率的总和
极限条件时），dv 与 f (v) 曲线围成的面积为元面积，近似等于 f (v)dv ；总面积 等于无限多无面积之和，即为 1 ( ) n i f d v v ，n 时dv 近似于连续取值，求和可 以用积分表示，为 0 f ( )d 1 v v 。 f (v)的极值对应的速率称为最可几速率，用 p v 表示。 p v 的物理意义是表 示速率 p v 附近数值的分子数比率最高； p v 的数值： ( ) 2 2 0, 1.41 p p df kT RT RT d m v v v v v 第四章 不定积分 【教学要求】 理解原函数的定义及其存在定理；理解不定积分的定义及其基本性质；熟练 掌握基本积分公式；掌握凑微分法、换元积分法与分部积分法。 【重点难点】 重点：原函数与不定积分的概念；基本积分公式；换元积分法与分部积分法。 难点：换元积分法。 【教学内容】 不定积分的概念、不定积分的基本公式和运算法则、换元积分法、分部积分 法、几种初等函数的积分。加法有逆运算——减法，乘法有逆运算——除法，求 导法也有逆运算，这就是不定积分法。 案例：1、分部积分法 分部积分求平均值 （1）平均速率v （大量分子的速率的算术平均值）（热学中的应用） 分布在任一速率区间v—v+dv中的分子数为 dN Nf (v)dv ，当dv 很小时， dN 个分 子都以速率 v 运动，则 dN 个分子的速率总和为vdN 对速率空间全积分 0 dN v 即为所有分子速率的总和
3m2vNf(v)dyr4r(myf(v)dv=[)2kdv.速率的平均值√为V2元kTN72kTVe2kdve-idy:分部积分又：2lm8kT8RTRT=1.59.=V=元mV元u（2）方均根速率v=V-Jo'dNBmmV4元（f(v)dv=)e2kTdvN2元kTmv?2kT3kT3mm224元（2kTdv=4元（veV元（82元kT2元kTJomm3kTRT3kT3RT:=1.73VmmμLlRTRTRT，且三者都与VT成正比，可见：V, =1.73>V=1.59> V,=1.41.VμVuNu与√m或μ成反比关系。三种速率应用于不同问题的研究中：最概然速率可以粗略判断热平衡态下气体分子速率的分布情况；平均速率用来讨论分子的碰撞，用于研究气体分子平均自由程及迁移现象等：方均根速率用于研究理想气体压强及分子平均平动动能等问题。第五章定积分【教学要求】理解定积分的概念，通过曲边梯形面积这一具体模型了解将实际问题化为定积分的四个步骤；知道函数可积的条件；深刻理解并熟练掌握牛顿一莱布尼兹公式；熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法。【重点难点】重点：定积分的概念；牛顿一莱布尼兹公式；定积分的换元积分法。难点：定积分的换元积分法
∴速率的平均值v 为 2 3 0 3 2 2 0 0 ( ) ( ) 4 ( ) 2 m kT Nf dv m f d e d N kT v v v v v v v v v 又∵ 2 2 3 2 3 0 0 1 2 2 m m kT kT kT e d e d m v v v v v 分部积分 8 8 1.59 kT RT RT m v （2）方均根速率 2 vs v 2 2 3 2 0 2 4 2 2 0 0 d ( ) 4 ( ) 2 v N m kT N m f d e d N kT v v v v v v v 2 3 5 3 2 4 2 2 2 0 3 2 3 4 ( ) ( ) 4 ( ) 2 8 2 m m kT kT m kT e d kT m kT m v v v 2 3 3 3 , 1.73 s kT kT RT RT m m v v 可见： 1.73 1.59 1.41 s p RT RT RT v v v ，且三者都与 T 成正比， 与 m或 成反比关系。三种速率应用于不同问题的研究中：最概然速率可以粗略判断热 平衡态下气体分子速率的分布情况；平均速率用来讨论分子的碰撞，用于研究气体分子平均 自由程及迁移现象等；方均根速率用于研究理想气体压强及分子平均平动动能等问题。 第五章 定积分 【教学要求】 理解定积分的概念，通过曲边梯形面积这一具体模型了解将实际问题化为定 积分的四个步骤；知道函数可积的条件；深刻理解并熟练掌握牛顿－莱布尼兹公 式；熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法。 【重点难点】 重点：定积分的概念；牛顿－莱布尼兹公式；定积分的换元积分法。 难点：定积分的换元积分法
【教学内容】定积分的概念与性质、微积分基本公式、定积分的换元积分法与分部积分法、广义积分、定积分在几何及物理上的应用。与导数概念的产生一样，定积分概念的产生也是由于解决实际问题的需要。定积分是积分学的基本内容，本章内容丰富，概念性强。案例：（一）热学中的应用1、定积分求热力学功热力学中的功（准静态过程的功）：设汽缸活塞无摩擦，过程进行得相当缓慢，即过程进行的每一时刻，系统都有统一的压强P。汽缸的截面积为S，当气体缓慢的压缩一段微小位移dx时，则外界对系统所做的功为：dW=F.dr=Fdx=-Psdx=-Pdv负号表示dV与dw符号相反（负号表示流体的体积减少了sdx），即dV=-sdx。系统被压缩时，外界作正功：系统膨胀时，外界作负功。若系统经历一有限的准静态过程，体积由V变化到V，时，那么外界对系统做的总功为：W-Jdw=--[ pdv讨论：用系统的参数将准静态过程的功定量的表示出来。V②定义外界对系统所做的功为正功，由公式dW=-pdvOVi知：当dV<0时，dW>0，表示外界做正功。当dV>0时，dW<0，表示外界做负功。外界对系统做功等于系统对外界做功取负值，即外界对系统做正功，则系统对外界做负功，反之亦然。V③只要做功是通过体积变化来实现的，则dW=-pdV或W=--」pdV都成立。V2、定积分求等温过程的功系统温度在状态变化过程中始终保持不变的过程叫等温过程。系统温度保持不变，即T=C，dT=0根据理想气体状态方程PV=RT，dT=0=PV=常量，或PV,=PV。如右图等温压缩理想气体时外界对气体所做的正功全部转化为气体对外放出的热量：当理想气
【教学内容】 定积分的概念与性质、微积分基本公式、定积分的换元积分法与分部积分法、 广义积分、定积分在几何及物理上的应用。与导数概念的产生一样，定积分概念 的产生也是由于解决实际问题的需要。定积分是积分学的基本内容，本章内容丰 富，概念性强。 案例： （一）热学中的应用 1、定积分求热力学功 热力学中的功（准静态过程的功）：设汽缸活塞无摩擦，过程进行得相当缓慢，即过程 进行的每一时刻，系统都有统一的压强 P。汽缸的截面积为 S，当气体缓慢的压缩一段微小 位移 dx 时，则外界对系统所做的功为： dW F dr Fdx Psdx PdV 负号表示 dV 与 dW 符号相反（负号表示流体的体积减少了 sdx ），即 dV sdx。系统被压 缩时，外界作正功；系统膨胀时，外界作负功。 若系统经历一有限的准静态过程，体积由V1 变化到V2 时，那么外界对系统做的总功为： 2 1 V V W dW pdV 讨论： ①用系统的参数将准静态过程的功定量的表示出来。 ②定义外界对系统所做的功为正功，由公式 dW pdV 知： 当 dV 0 时， dW 0，表示外界做正功。 当 dV 0 时， dW 0，表示外界做负功。 外界对系统做功等于系统对外界做功取负值，即外界对系统做正功，则系统对外界做负 功，反之亦然。 ③只要做功是通过体积变化来实现的，则 dW pdV 或 2 1 V V W pdV 都成立。 2、定积分求等温过程的功 系统温度在状态变化过程中始终保持不变的过程叫等温过程。 系统温度保持不变，即T C ， dT=0 根据理想气体状态方程 PV RT , dT 0 PV 常量，或 P2V2 P1V1。如右图 等温压缩理想气体时外界对气体所做的正功全部转化为气体对外放出的热量；当理想气