AVVBC=lim=limmoratA-0AtAsvrAs_Ylit2=wrax=li0rAtr-oAtr方向：指向圆心，叫法向加速度。即中学时的向心加速度。产=Rcosati+Rsinat（R、α为常量），求质点例题1、已知运动函数为的速度、加速度、切向加速度和法向加速度。解：速度：由速度的定义式有a -d+dj --Rasinati+Racosaf加速度：由加速度的定义式有d'r_axi+dyi=--Ra?cosati-Ra?sinatiddtdt切向加速度：等于速率对时间的变化率，先求速率a+(y12dtdt=Rodv=0a,dt，说明质点的速率不变，即质点作匀速率运动。v2=ORa=R法向加速度：，质点的法向加速度为常量，质点作匀速率圆周运动，法向加速度的方向指向圆心，例2：一小球沿斜面向上运动，其运动方程为S=5+4t-t2（SI)，则小球运动到最高点的时刻应是？ds=4-2t2=解：小球运动速度大小“-dto当小球运动到最高点时v=0，即4-2t=0，t=2（s）。例题3、灯距地面高度为hl，一个人身高为h2，在灯下以匀速率v沿水平直线行走，如图所示，则他的头顶在地上的影子M点沿地面移动的速度为多少？解：建立直角坐标系Oxy，如图
方向：指向圆心，叫法向加速度。即中学时的向心加速度。 例题 1、已知运动函数为 （ 、 为常量），求质点 的速度、加速度、切向加速度和法向加速度。 解：速度：由速度的定义式有 加速度：由加速度的定义式有 切向加速度：等于速率对时间的变化率，先求速率 ，说明质点的速率不变，即质点作匀速率运动。 法向加速度： ，质点的法向加速度为常量，质点作匀速率圆 周运动，法向加速度的方向指向圆心。 例 2：一小球沿斜面向上运动，其运动方程为 （SI），则小球运 动到最高点的时刻应是？ 解：小球运动速度大小 。 当小球运动到最高点时 v=0，即 ，t=2（s）。 例题 3、灯距地面高度为 h1，一个人身高为 h2，在灯下以匀速率 v 沿水平直 线行走，如图所示，则他的头顶在地上的影子 M 点沿地面移动的速度为多少? 解：建立直角坐标系 Oxy，如图
hih2M7770777XXM由题意知，任意时刻t，头顶在地上的影子M点的位置坐标为*M，人的脚的位置坐标为*A，因*M和*同在x轴上，所以可用正负号表示他们的方向。AXMXAhi-h2根据三角形相似原理：hidxAhdxm2VMhi-hahi-ha dtdt由速度定义hi-vi4Mh-haV,=V)O当人沿X轴正方向行走时，:h-viVMhi-ha当人沿X轴负方向行走时，=-O0说明：本题用微分方法求质点的速度和加速度。先由几何关系写出直线运动质点的位置坐标的表达式，再根据速度与位置坐标的微分关系求速度，同样方法也可求加速度、这是求解质点的速度和加速度的方法之练习：距河岸（看成直线）500m处有一艘静止的船，船上的探照灯以转速为n=1r/min转动，当光束与岸边成60°角时，光束沿岸边移动的速率V=x船解：以河岸为x轴，船离原点距离1=500m，则探照灯光束照在岸上的坐标为x=}·，其中角为光束和船与原点连线之间的夹角。于是光束沿岸边移动的速度大小为：
由题意知，任意时刻 t，头顶在地上的影子 M 点的位置坐标为 ，人的脚 的位置坐标为 ，因 和 同在 x 轴上，所以可用正负号表示他们的方向。 根据三角形相似原理: 。 由速度定义 当人沿 X 轴正方向行走时， ， ； 当人沿 X 轴负方向行走时， ， 。 说明：本题用微分方法求质点的速度和加速度。先由几何关系写出直线运动质点 的位置坐标的表达式，再根据速度与位置坐标的微分关系求速度，同样方法也可 求加速度、这是求解质点的速度和加速度的方法之一。 练习：距河岸（看成直线）500m 处有一艘静止的船，船上的探照灯以转速为 转动，当光束与岸边成 60°角时，光束沿岸边移动的速率 。 解：以河岸为 x 轴，船离原点距离 l=500m，则探照灯光束照在岸上 的坐标为 ，其中 角为光束和船与原点连线之间的夹角。 于是光束沿岸边移动的速度大小为：
1dedx0cos"g.dtcose dt当光束与岸边成60°角时，8=30°12元×1=69.8 (m·s-l)V=500x60Cos230°例2.3.3-1如例2.3.3-1图所示，长为1，质量为m的绳以一端为轴匀角速の旋转，求绳中张力。解：绳中取一小质元（微元法），Am==Ar1以小质元为研究对象得：Fi(r)-F(r+Ar)=Ama'r="Ara"r当Ar→0时，=drFi(r+r)-F(n)=dFma'rdr-dFI=整理得：AmOERo-r+c积分解得：21F()F(r+An)自由端条件，r=1时，F(r)=0mo(2-r2)Fr(r)=整理得：21
， 当光束与岸边成 60°角时
例2.3.3-2如例2.3.3-2图所示，首尾相接的圆环状绳长为！，质量为m，绳以圆心为中心匀角速转动，求绳中张力。F(0+AO)m.(r.e)解：绳中取一小质元，Am=2元对小质元法线方向应用牛顿第二定律：F(β+0) sin(40) +F(0) sin(40)=NmaFr22当Dq甄O时,sin(g)？dgdF=F(0+△)-F(0)整理得：[2F,(@)+dF-}]d0=m(r-d0).r2元忽略二级量dF·de，整理得F(0)=mo_m.L.0=mlO4元2元2元2元例2.3.3-3 有重物m，用缠绕在水平柱上的绳子将其拉住，柱与绳间的摩擦因数为μ，为使重物不下落，所用最小拉力为多大？解：取一小质元（微元法），对所取微元应用牛顿F+ +F(0+A0) cos(40)-F() cos(,40)= 0切线方向：1()+F(0+) sin(F=F()sin(-40法线方向：最大静摩擦：F,=UFN
sin(40)4,cos(40)1当Dg？o时，F→dFAe→dedF-ude忽略二阶小量，整理得：FIdFr Fi-jude两边定积分：FTnFr =mgeue积分解得：举例计算：如，9=5元（两圈半），mg=2000kgfμ=0.48计算得：F=1kgf即，由于摩擦力的作用，可用1公斤的力拉住2吨的重量（二）、电磁学中的应用dqp=-dv电荷体密度的定义：dq9=ds电荷面密度的定义：a=ddl电荷面密度的定义：面元：dsds的通量：do线元：dl电荷元：dg元功：dw磁通量d=d(B.S)=dB·S+B·ds第三章微分中值定理与导数的应用【教学要求】
（二）、电磁学中的应用 电荷体密度的定义： dV dq 电荷面密度的定义： dS dq 电荷面密度的定义： dl dq 面元：dS dS 的通量：d 线元：dl 电荷元：dq 元功：dW 磁通量 d d B S dB S B dS 第三章 微分中值定理与导数的应用 【教学要求】