必须注意的是:当T为L的子格时,T一定 是格;但当TL,T关于L中的偏序关系≤为 格时,T不一定是L的子格。 冷例:S={1,2,3}S3={e,σ1σ2,可3,σ4,05} 为三次对称群,则(P(S3)c)是格,并且 是完全格。取T={e},H1H2H3H4,S3}其 中H={e,σ1};H2={e,c2};H3={e,o3} H4={e,o4,o5}都是S的子群,则T;g是 格但它不是P(S))的子格
❖ 必须注意的是：当T为L的子格时,T一定 是格; 但当TL,T关于L中的偏序关系≤为 格时,T不一定是L的子格。 ❖ 例：S={1,2,3},S3={e,1 , 2 , 3 , 4 , 5 } 为三次对称群，则(P(S3 );)是格，并且 是完全格。取T={{e}, H1 ,H2 ,H3 ,H4 ,S3 },其 中H1={e, 1 }; H2={e, 2 }; H3={e, 3 }; H4={e, 4 , 5 }都是S3的子群，则(T; )是 格,但它不是(P(S3 );)的子格
、格的同态与同构 定义166:设[L;V~与[s;+,]为两个格,如 果存在映射φ:LS使对任a,b∈L有: q(avb)=q(a)+o(b),o(a∧b=p(a)p(b,则 称q为L到S的同态欧射当p(L=S即q为 满射时又说与整S同态当q是一一对 应时说L与S同构若S=L时又分别称它 是自同态与自同构
三、格的同态与同构 ❖ 定义16.6:设[L;,]与[S;+,·]为两个格,如 果存在映射:L→S使对任a, bL有: (ab)=(a)+(b), (ab)=(a)·(b),则 称为L到S的同态映射,当(L)=S即为 满射时又说格L与格S同态;当是一一对 应时说格L与S同构;若S=L时又分别称它 是自同态与自同构
定理16.5:格[L;v,与格S;v,A同态,为 其同态映射,则q是保序映射,即对任a, b∈L当a≤b时,p(a)≤o(b) 保序映射不一定是同态映射
❖ 定理16.5:格[L;,]与格[S;,]同态,为 其同态映射,则是保序映射, 即对任a, bL,当a≤b时,(a)≤(b)。 ❖ 保序映射不一定是同态映射
冷定理166:q是格L到格S的一一对应,则p 是同构映射,当且仅当:对任何a,b∈L,a≤b 当且仅当q(a)≤p(b) 冷证明:(1)p是格L到格S的同构映射则由定 理16.5知q是保序映射因此对任何ab∈L, 当a≤b必有q(a)≤o(b) 冷若对任何a,b∈L,有q(a)≤o(b,则由≤定义 知qayp(b)=o(b 冷因为同构故有q(avb)=o(b) 且avb=b 因此由≤定义得asb
❖ 定理16.6:是格L到格S的一一对应, 则 是同构映射,当且仅当:对任何a,bL,a≤b 当且仅当(a)≤(b)。 ❖ 证明:(1)是格L到格S的同构映射,则由定 理16.5知是保序映射,因此对任何a,bL, 当a≤b,必有(a)≤(b). ❖ 若对任何a,bL,有(a)≤(b),则由≤定义 知(a)(b)=(b), ❖ 因为同构,故有(ab)=(b) ❖ 且ab=b, ❖ 因此由≤定义得a≤b