崔宏滨光学第六章傅里叶变换光学 第六章傅里叶变换光学 处理光的衍射和干涉问题,最基本的方法是从光的波动性出发,应用波的叠加原理或是 菲涅耳一基尔霍夫衍射积分公式。即都是研究光的相干叠加。这是传统光学的一般方法。 但是,我们可以从另外一个角度分析这类问题。电磁学中场的概念给予我们有益的启示 入射的电磁波,即入射波场,遇到障碍物之后,发生衍射。衍射波场中,各种物理量重新分 布,与简单的入射波场有极大的差别。这种差别,是由于障碍物造成的,或者说,衍射障碍 物将简单的入射场变换成了复杂的衍射场。所以可以从障碍物对波场的变换作用,来分析衍 衍射障碍物就是衍射屏,具有一定的空间结构、或者光学结构,这种空间的光学结构 可以用某种形式的函数来表示,这样一来,衍射障碍物对入射波场的变换作用,就可以表示 为入射波的复振幅与该函数的乘积 从更广义的角度,不仅仅是相干波场的障碍物,非相干系统中的一切使波场或者波面产 生改变的因素,例如成像系统中的透镜、反射镜,它们的作用都可以应用变换的方法处理。 二次大战中,由于对雷达波的研究,促进了光学理论的发展,使得变换光学得以建立 s61衍射系统的屏函数 衍射屏函数 衍射发生的条件,要求有障碍物在波场中。波在自由空间中传播是不会出现衍射的。衍 射障碍物的存在,使得波面改变,或者说波的复振幅重新分布。以前的衍射屏的作用就是这 样。所以,把能使波前的复振幅发生改变的物,统称为衍射屏。单缝、圆孔、光栅等等,是 我们熟悉的衍射屏,透镜、棱镜等,也是衍射屏。 衍射屏将波的空间分为前场和后场两部分。前场为照明空间,后场为衍射空间 接收屏 o 衍射空间 波在衍射屏的前后表面处的复振幅分别为U1(x,y)和U2(x,y),接收屏上的复振幅为
崔宏滨 光学 第六章 傅里叶变换光学 第六章 傅里叶变换光学 处理光的衍射和干涉问题，最基本的方法是从光的波动性出发，应用波的叠加原理或是 菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式。即都是研究光的相干叠加。这是传统光学的一般方法。 但是，我们可以从另外一个角度分析这类问题。电磁学中场的概念给予我们有益的启示。 入射的电磁波，即入射波场，遇到障碍物之后，发生衍射。衍射波场中，各种物理量重新分 布，与简单的入射波场有极大的差别。这种差别，是由于障碍物造成的，或者说，衍射障碍 物将简单的入射场变换成了复杂的衍射场。所以可以从障碍物对波场的变换作用，来分析衍 射。 衍射障碍物就是衍射屏，具有一定的空间结构、或者光学结构，这种空间的光学结构， 可以用某种形式的函数来表示，这样一来，衍射障碍物对入射波场的变换作用，就可以表示 为入射波的复振幅与该函数的乘积。 从更广义的角度，不仅仅是相干波场的障碍物，非相干系统中的一切使波场或者波面产 生改变的因素，例如成像系统中的透镜、反射镜，它们的作用都可以应用变换的方法处理。 二次大战中，由于对雷达波的研究，促进了光学理论的发展，使得变换光学得以建立。 § 6.1 衍射系统的屏函数 一．衍射屏函数 衍射发生的条件，要求有障碍物在波场中。波在自由空间中传播是不会出现衍射的。衍 射障碍物的存在，使得波面改变，或者说波的复振幅重新分布。以前的衍射屏的作用就是这 样。所以，把能使波前的复振幅发生改变的物，统称为衍射屏。单缝、圆孔、光栅等等，是 我们熟悉的衍射屏，透镜、棱镜等，也是衍射屏。 衍射屏将波的空间分为前场和后场两部分。前场为照明空间，后场为衍射空间。 波在衍射屏的前后表面处的复振幅分别为 ( , ) ~ 1 U x y 和 ( , ) ~ 2 U x y ，接收屏上的复振幅为 1
崔宏滨光学第六章傅里叶变换光学 U(x’y'),分别称之为入射场、透射场(或反射场)和接收场。衍射屏的作用使得U1(x,y) 转换为U2(xy)。用函数表示,(xys0(xy),7(xy为透过率或反射率函数,统 U,(x,y) 称屏函数。 屏函数为复数,(x,y)=(x,y)exp[iq(x,y)。模I(x,y)为常数的衍射屏称为位相型 的,幅角(x,y)为常数的衍射屏称为振幅型的。 二.相因子判断法 知道了衍射屏的屏函数,就可以确定已知入射场经过衍射屏之后的衍射场的复振幅变换 情况,进而完全确定接收场。但由于衍射屏的复杂性以及衍射积分求解的困难,完全确定屏 函数通常较困难,或者说几乎是不可能的。所以只能采取一定的近似方法获取衍射场的主要 特征。如果能够确定屏函数的位相,则可以通过硏究波的位相改变来确定波场的变化。这种 方法称为相因子判断法 傍轴近似下,各种类型的波的相因子罗列如下。 1、波矢沿(61,2)(与平面夹角)方向的平面波 explik(sin ex+sin B,y) x-y x-y y 2、轴上发散的球面波 exp ik 3、轴上汇聚的球面波
崔宏滨 光学 第六章 傅里叶变换光学 ( , ) ~ U x′ y′ ，分别称之为入射场、透射场（或反射场）和接收场。衍射屏的作用使得 转换为 。用函数表示， ( , ) ~ 1 U x y ( , ) ~ 2 U x y ( , ) ~ ( , ) ~ ( , ) ~ 1 2 U x y U x y t x y = ， ( , ) ~ t x y 为透过率或反射率函数，统 称屏函数。 屏函数为复数， ( , ) ( , ) exp[ ( , )] ~ t x y t x y i x y = ϕ t 。模 为常数的衍射屏称为位相型 的，幅角 t(x, y) (x, y) ϕ t 为常数的衍射屏称为振幅型的。 二．相因子判断法 知道了衍射屏的屏函数，就可以确定已知入射场经过衍射屏之后的衍射场的复振幅变换 情况，进而完全确定接收场。但由于衍射屏的复杂性以及衍射积分求解的困难，完全确定屏 函数通常较困难，或者说几乎是不可能的。所以只能采取一定的近似方法获取衍射场的主要 特征。如果能够确定屏函数的位相，则可以通过研究波的位相改变来确定波场的变化。这种 方法称为相因子判断法。 傍轴近似下，各种类型的波的相因子罗列如下。 1、波矢沿( , ) θ1 θ2 （与平面夹角）方向的平面波 exp[ (sin sin )] 1 2 ik θ x + θ y 2、轴上发散的球面波 ] 2 exp[ 2 2 z x y ik + 3、轴上汇聚的球面波 ] 2 exp[ 2 2 z x y ik + − 2
崔宏滨光学第六章傅里叶变换光学 (x0,y 4、轴外发散球面波 exp(lik(+ 2 5、轴外汇聚球面波 exp[-ik( ty_xo+yyo x-y (xo, yo, z) 三.波前的相因子 典型的平面波和球面波在波前上的相因子已在前面求得 1.透镜的位相变换函数(透过率函数) 薄透镜,中心厚度为d,透镜的有效口径为D。即光束被限制在直径为D的范围内
崔宏滨 光学 第六章 傅里叶变换光学 4、轴外发散球面波 ] 2 exp[ ( 0 0 2 2 z xx yy z x y ik + − + 5、轴外汇聚球面波 ] 2 exp[ ( 0 0 2 2 z xx yy z x y ik + − + − 三．波前的相因子 典型的平面波和球面波在波前上的相因子已在前面求得。 1． 透镜的位相变换函数（透过率函数） 薄透镜，中心厚度为d0，透镜的有效口径为D。即光束被限制在直径为D的范围内。 3
崔宏滨光学第六章傅里叶变换光学 在透镜前后各取一个平面,入射波和透射波的复振幅分别为 U1(x,y)=A1exp[iq?(x,y),U2(x,y)=A2expI2(x,y)。透镜的透过率函数为 a(x, y) 0 忽略透镜的吸收,即a(x,y)=A2/A1=1,有 1(x,y)=exp{iq2(x,y)=expl(q2(x,y)-q1(x,y),为透镜的位相变换函数 对于薄透镜,采取傍轴近似,认为镜中的光线平行于光轴。从图上可以求得经透镜后的 位相差为 (x,y)=-[△1+△2+nd(x,y) △2+n(d-△1-△2)=o--(n-1)(△1+△2) 2 近轴条件下,△(x,y)=r-√ +y2)=(1-,1 △2(x,y)=--√2-(x2+y2)≈-x+y 2 P (x,y )x2+y2)= // 2F,其中F F 可得透镜的位相变换函数为 (x)=e8-kx+y,其相因子为 可以用上述函数得到几何光学的物像公式。 例如,平行光正入射,入射波在透镜平面处的复振幅为U1=A4,透射波为
崔宏滨 光学 第六章 傅里叶变换光学 在透镜前后各取一个平面，入射波和透射波的复振幅分别为 ( , ) exp[ ( , )] ~ 1 1 1 U x y = A iϕ x y ， ( , ) exp[ ( , )]。透镜的透过率函数为 ~ 2 2 2 U x y = A iϕ x y ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > < = − = 2 0, 2 ( , ) , exp[ ( )] ~ ( , ) 2 1 1 2 D r D a x y e r i A A t i x y L ϕ L ϕ ϕ ， 2 2 r = x + y 忽略透镜的吸收，即 ( , ) / 1 a x y = A2 A1 = ，有 ( , ) exp[ ( , )] exp[ ( ( , ) ( , ))] ~ 2 1 t x y i x y i x y x y L = ϕ L = ϕ −ϕ ，为透镜的位相变换函数。 对于薄透镜，采取傍轴近似，认为镜中的光线平行于光轴。从图上可以求得经透镜后的 位相差为 [ ( , )] 2 ( , ) 1 2 x y nd x y L = ∆ + ∆ + λ π ϕ ( 1)( ) 2 [ ( )] 2 = ∆1 + ∆2 + n d0 − ∆1 − ∆2 = 0 − n − ∆1 + ∆2 λ π ϕ λ π 0 0 2 nd λ π ϕ = 近轴条件下， 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 ( , ) ( ) (1 1 ) r x y r x y x y r r x y r + ≈ + ∆ = − − + = − − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) ( ) r x y x y r r x y + ∆ = − − − + ≈ − F x y x y k r r n x y L 2 )( ) 1 1 ( 2 2 1 ( , ) 2 2 2 2 1 2 + − + = − − = − λ π ϕ ，其中 ) 1 1 ( 1)( 1 1 2 r r n F − − = 。 可得透镜的位相变换函数为 ] 2 ( , ) exp[ ~ 2 2 F x y t x y ik L + = − ，其相因子为 F x y ik 2 2 2 + − 可以用上述函数得到几何光学的物像公式。 例如，平行光正入射，入射波在透镜平面处的复振幅为 1 1 ，透射波为 ~ U = A 4
崔宏滨光学第六章傅里叶变换光学 02(x,y)=0(x,y)i(xy)=A1exp-ixy]为汇聚到透镜后F处的球面波。透 镜焦距为F 如果如射波是透镜前s处的球面波,则01(x,y)=AeMh+2+y2 衍射波U2(x,y)=Aexp[ik 2s-Jexpl-ik+ 2F]=A x+y xp s 为汇聚到 处的球面波。s=1/ S= SF F s S-F F 即物像公式为 2.棱镜的位相变换函数(透过率函数) 在棱镜前后各取一相互平行的平面,入射波和透射波在两平面上的复d 振幅各为U1(x,y)=A1exp[i1(x,y),U2(x,y)=A2exp[iq2(x,y 薄的楔形棱镜,可以得到 qp(x,y)==,(△+nd)=-(△+nd0-n△)=9o--(n-1)△。 d, q=-ndo,为常数,相当于从棱镜中部(即光轴处)通过的光的位相 滞后。如果棱镜前后两面的交棱,即楔角处的棱与y轴平行,楔角为a 则Δ=xa。d为棱镜中心处的厚度 Pp(x, y)=-k(n-l)ax 如果棱镜的前表面保持在xy平面内,而前后两面的交棱在xy平面内沿任意方向,即相 当于棱镜绕光轴转过一个角度。可以用斜面法线的方向余弦角∝1,a,表征,则有 p(x, y)=exp[-ik(n-D(ax+a,y) 例如,轴上一物点到棱镜的距离为s,则其发出的球面波经过棱镜后出射的波前可以按 以下方法求得 (x)=0;(x,y)2(x,y)=4eDh lexpl-ik(n-l(a,x+a,y) 2
崔宏滨 光学 第六章 傅里叶变换光学 ] 2 ( , ) exp[ ~ ( , ) ~ ( , ) ~ 2 2 2 1 1 F x y U x y U x y t x y A ik L + = = − 为汇聚到透镜后 F 处的球面波。透 镜焦距为 F。 如果如射波是透镜前 s 处的球面波，则 ] 2 ( , ) exp[ ~ 2 2 1 1 s x y U x y A ik + = 衍射波 )] 1 1 ( 2 ] exp[ 2 ]exp[ 2 ( , ) exp[ ~ 2 2 1 2 2 2 2 2 1 F s x y A ik F x y ik s x y U x y A ik − + = − + − + = 为汇聚到 F s 1 1 1 − 处的球面波。 s F sF F s s − ′ = − ) = 1 1 1/( 。 即物像公式为 s s F 1 1 1 = ′ + 。 2．棱镜的位相变换函数（透过率函数） 在棱镜前后各取一相互平行的平面，入射波和透射波在两平面上的复 振幅各为 ( , ) exp[ ( , )]， ~ 1 1 1 U x y = A iϕ x y ( , ) exp[ ( , )] ~ 2 2 2 U x y = A iϕ x y 薄的楔形棱镜，可以得到 = ∆ + = ∆ + − ∆ = − ( −1)∆ 2 ( ) 2 ( ) 2 ( , ) P x y nd nd0 n 0 n λ π ϕ λ π λ π ϕ 。 0 0 2 nd π ϕ λ = ，为常数，相当于从棱镜中部（即光轴处）通过的光的位相 滞后。如果棱镜前后两面的交棱，即楔角处的棱与 y 轴平行，楔角为α ， 则 ∆ = xα 。 d0 为棱镜中心处的厚度。 x y k n x ϕ P ( , ) = − ( − 1)α 如果棱镜的前表面保持在 xy 平面内，而前后两面的交棱在 xy 平面内沿任意方向，即相 当于棱镜绕光轴转过一个角度。可以用斜面法线的方向余弦角α1，α 2表征，则有 ( , ) exp[ ( 1)( )] ~ 1 2 t x y ik n x y P = − − α +α 例如，轴上一物点到棱镜的距离为 ，则其发出的球面波经过棱镜后出射的波前可以按 以下方法求得 s ]exp[ ( 1)( )] 2 ( , ) exp[ ~ ( , ) ~ ( , ) ~ 1 2 2 2 2 1 1 ik n x y s x y U x y U x y t x y A ik P − − α +α + = = 5