静电场边值问题的 Q+q 唯一性定理 9 静电场小结 ■典型的静电问题 给定导体系中各导体的电量或电势以及各导体 的形状、相对位置(统称边界条件),求空间 电场分布,即在一定边界条件下求解 泛定方程 VU P→泊松方程 静电场 +边界条件的边值 OV2U=0→>拉普拉斯方程 问题 2004.2 北京大学物理学院王稼军编写
2004.2 北京大学物理学院王稼军编写 静电场边值问题的 唯一性定理 ◼ 静电场小结 ◼ 典型的静电问题 ◼ 给定导体系中各导体的电量或电势以及各导体 的形状、相对位置（统称边界条件），求空间 电场分布，即在一定边界条件下求解 拉普拉斯方程 泊松方程, → = − → 0 2 0 2 or U＝ U 静电场 的边值 问题 泛 定 方 程 ＋边界条件
唯一性定理 ■对于静电场,给定一组边界条件,空间能否 存在不同的恒定电场分布?—回答:否! 边界条件可将空间里电场的分布唯一地确定 下来 该定理对包括静电屏蔽在内的许多静电问题 的正确解释至关重要 理论证明在电动力学中给出,p59给出普物 方式的论证 ■论证分三步:引理—叠加原理—证明 2004.2 北京大学物理学院王稼军编写
2004.2 北京大学物理学院王稼军编写 唯一性定理 ◼ 对于静电场，给定一组边界条件，空间能否 存在不同的恒定电场分布？——回答：否！ ◼ 边界条件可将空间里电场的分布唯一地确定 下来 ◼ 该定理对包括静电屏蔽在内的许多静电问题 的正确解释至关重要 ◼ 理论证明在电动力学中给出，p59 给出普物 方式的论证 ◼ 论证分三步：引理——叠加原理——证明
极大」 P 几个引理 极小 引理一:在无电荷的空间里电势不可能 有极大值和极小值 证明(反证)若有极大,则 E2>0恒甲螺斗 △翡回brE=△n晶b 若有极小,同样证明 2004.2 北京大学物理学院王稼军编写
2004.2 北京大学物理学院王稼军编写 几个引理 ◼ 引理一：在无电荷的空间里电势不可能 有极大值和极小值 ◼ 证明（反证）若有极大，则 极大 但面内无电荷 矛 盾 指 向 点 , 背 离 点 = 0, ， = − S E Φ d U P U P E S E 极小 ◼若有极小，同样证明
■引理二:若所有导体的电势即意味着空间 为0,则导体以外空间的电 电势有极大值, 违背引理 势处处为0 证明(反证 荐>0 在无电荷空间里电势分布连续 变化,若空间有电势大于0 (或小于0)的点,而边界上 电势又处处等于零—必出现 极大值或极小值—矛盾 2 推广:若完全由导体所包围的空间里各导体 的电势都相等(设为U),则空间电势等于 常量U 2004.2 北京大学物理学院王稼军编写
2004.2 北京大学物理学院王稼军编写 ◼ 引理二：若所有导体的电势 为0，则导体以外空间的电 势处处为0 即意味着空间 电势有极大值， 违背引理一 ◼证明（反证） 在无电荷空间里电势分布连续 变化，若空间有电势大于0 （或小于0）的点，而边界上 电势又处处等于零——必出现 极大值或极小值——矛盾 ◼推广：若完全由导体所包围的空间里各导体 的电势都相等（设为U0），则空间电势等于 常量U0
引理三:若所有导体都不带电, 则各导体的电势都相等 证明(反证) 若不相等,必有一个最高, 如图设U1>U2、U3,—导 体1是电场线的起点—其 表面只有正电荷—导体1 上的总电量不为0与前 提矛盾 ■引理二(+)引理三可推论:所有导体都不带电的 情况下空间各处的电势也和导体一样,等于同一常 量 2004.2 北京大学物理学院王稼军编写
2004.2 北京大学物理学院王稼军编写 引理三：若所有导体都不带电， 则各导体的电势都相等 ◼ 证明（反证） ◼ 若不相等，必有一个最高， 如图设U1>U2、U3，——导 体1是电场线的起点——其 表面只有正电荷——导体1 上的总电量不为0——与前 提矛盾 ◼引理二 ( ＋)引理三可推论：所有导体都不带电的 情况下空间各处的电势也和导体一样，等于同一常 量