宏滨光学第五章衍射光栅 第五章衍射光栅 s51多缝夫琅和费衍射(光栅衍射 衍射光栅:具有周期性空间结构或光学结构的衍射屏。 可以具有反射或透射结构 可以按不同的透射或反射率分为黑白光栅、正弦光栅,等等。 对于光栅的每一个单元,按衍射分析:不同的单元之间,按干涉分析。 衍射强度分布 1、用矢量法分析 每一个衍射单元的复振幅用一个矢量表示 不同单元间具有位相差Δφ 所有单元衍射的矢量和为光栅衍射的复振幅 l L2=L+dsin 8,L,=l+(n-1)dsin 8 相邻衍射单元间的光程差d= d e 相邻衍射单元间的位相差,△q= kd sin 8=-dsin
崔宏滨 光学 第五章 衍射光栅 第五章 衍射光栅 § 5.1 多缝夫琅和费衍射（光栅衍射） 衍射光栅：具有周期性空间结构或光学结构的衍射屏。 可以具有反射或透射结构 可以按不同的透射或反射率分为黑白光栅、正弦光栅，等等。 对于光栅的每一个单元，按衍射分析；不同的单元之间，按干涉分析。 一． 衍射强度分布 1、 用矢量法分析 每一个衍射单元的复振幅用一个矢量表示。 不同单元间具有位相差Δφ。 所有单元衍射的矢量和为光栅衍射的复振幅。 L2 = L1 + d sinθ ， Ln = L1 + (n −1)d sinθ 相邻衍射单元间的光程差δ = d sinθ 相邻衍射单元间的位相差， θ λ π ϕ θ sin 2 ∆ = kd sin = d 1
宏滨光学第五章衍射光栅 2B=△,B= d sin e,N个矢量首尾相接,依次转过△中,即2B角 Ae=C OBN=2Rsin NB=2 a6/2 NB sinu sin sin Np =ao B B sin B sinu/u)单元衍射的数值扩大6倍 wT asine dala Nas (sinulur(sinNp /sinp 2、用 Fresnel- Kirchhoff衍射积分求解 平行光入射,满足近轴条件 0(P)=k」nQF(an,0)2d=KFO。(O)j 仅对衍射屏透光部分求积分,即不透光部分的瞳函数为零。有 U(P)=KFU(O)-21e*d2 对每一个狭缝的积分是求得入射光经该狭缝后的衍射在P点引起的振动,即复振幅, 为光的衍射:对所有狭缝的求和是将每一个狭缝射出的光在P点引起的振动即复振幅进行
崔宏滨 光学 第五章 衍射光栅 2β = ∆ϕ ， θ λ π β = d sin ，N 个矢量首尾相接，依次转过Δφ，即 2β角。 β β β θ θ N a A OBN R N sin sin / 2 = = 2 sin = 2 β β θ sin sin N = a β β sin ~ sin sin 0 N u u =U 2、用 Fresnel-Kirchhoff 衍射积分求解 平行光入射，满足近轴条件。 ∫∫ ∫∫ Σ Σ = Σ = e dΣ r d KFU r e U P K U Q F ikr ikr 0 0 0 0 1 (0) ~ ( ) ( , ) ~ ( ) ~ θ θ 仅对衍射屏透光部分求积分，即不透光部分的瞳函数为零。有 ∑ ∫ = Σ = Σ N j j ikr e d r U P KFU j 0 1 0 [ ] 1 (0) ~ ( ) ~ 对每一个狭缝的积分是求得入射光经该狭缝后的衍射在 P 点引起的振动，即复振幅， 为光的衍射；对所有狭缝的求和是将每一个狭缝射出的光在 P 点引起的振动即复振幅进行 2
宏滨光学第五章衍射光栅 叠加,自然是相干叠加,为光的干涉。物理过程为:每一个单狭缝的光在P点先进行衍射 衍射后的复振幅再进行干涉。 设多缝为周期性结构,称为光栅。每一狭缝宽度为b,不透光部分宽度为a,a+b=d,d 为相邻两狭缝中心的距离,即光栅的周期。各狭缝中心发出的光波到达屏上的光程为L,则 有L2=L1+o,L3=L1+26,Ln=L1+(n-1)6,d=dsin6为相邻两狭缝中心发出的 光到达P点的光程差。 在第j个狭缝中,位置在x的点光源发出的光与狭缝中心发出的光到达P点的光程差为 A,=-x,sinb,即r=L-x,sin,上述积分化为 D(P)=KFO0Dm2“=KF0O∑厂m。a KFUo(O) dx,,=KF 0(0),sina1。 A 可见前面内为单缝衍射的结果,对各个狭缝都是一样的;后面内为多缝之间干涉的 结果。最后在P点的振动是两者乘积。 U(P)=[KF U sIn u 上式进一步化为 =01∑e(-Mm"1 sin(sin 8) sin ll U(6 ,为单元(单缝)衍射因子,由瞳函数决定 iNB -INB e"(N-me SIn(NP)=e"(N-DP N(e) B=kd sin 8 N(O):N元干涉因子。 (P)=UQU(O)e"N(),I(P)=10()SIn NB u sin B
崔宏滨 光学 第五章 衍射光栅 叠加，自然是相干叠加，为光的干涉。物理过程为：每一个单狭缝的光在 P 点先进行衍射， 衍射后的复振幅再进行干涉。 设多缝为周期性结构，称为光栅。每一狭缝宽度为b，不透光部分宽度为a，a+b=d，d 为相邻两狭缝中心的距离，即光栅的周期。各狭缝中心发出的光波到达屏上的光程为Lj，则 有 L2 = L1 + δ , L3 = L1 + 2δ ，Ln = L1 + (n −1)δ ，δ = d sinθ 为相邻两狭缝中心发出的 光到达P点的光程差。 在第j个狭缝中，位置在xj的点光源发出的光与狭缝中心发出的光到达P点的光程差为 ∆rj = −x j sinθ ，即 rj = Lj − x j sinθ ，上述积分化为 ][ ] (0) sin ~ [ 1 (0) ~ 1 (0) 1 ~ (0) ~ ( ) ~ 0 1 0 1 / 2 / 2 sin 0 0 1 1 / 2 /1 sin 0 0 / 2 / 2 0 0 ∑ ∫ ∑ ∑ ∑ ∫ ∫ = = − − = = − − − = = = = N j ikL N j a a j ikL ikx N j N j a a j ikL ikx a a j ikr j j j j j j e u u a r U e e dx KF r KFU e dx r e dx KFU r U P KFU θ θ 可见前面[]内为单缝衍射的结果，对各个狭缝都是一样的；后面[]内为多缝之间干涉的 结果。最后在 P 点的振动是两者乘积。 上式进一步化为 ][ ] sin [ ~ ][ ] (0) sin ~ ( ) [ ~ 1 ( 1) sin 0 1 ( 1) sin 0 0 1 ∑ ∑ = − = − = = N j ik j d N j ik j d ikL e u u U e u u a r U e U P KF θ θ θ λ π θ λ π θ sin sin( sin ) sin ( ) a a u u U = = ，为单元（单缝）衍射因子，由瞳函数决定。 ( ) sin sin( ) 1 1 ( ) ~ ( 1) ( 1) 2 sin 2 sin 1 ( 1) sin θ β β θ β β β β β β β β θ λ π θ λ π θ e N N e e e e e e e e e N e i N i N i i iN iN i iN d i d iN N j ik j d − − − − = − = = − − = − − = ∑ = θ λ π β sinθ sin d = kd = N(θ ) ：N 元干涉因子。 ( ) ( ) ~ ( ) ~ ( ) 0 θ θ ϕ θ U P U U e N i = ， 2 2 0 ) sin sin ) ( sin ( ) ( β Nβ u u I P = I 3
宏滨光学第五章衍射光栅 (sinu (sinN /sinp UET sine /M β= Ir sine/A U()N()2 Tt bsin /A 双缝衍射,N=2 1(P)=41. cos2 p sin 2u 而杨氏干涉为 I=Io[1+cos(, 0)=1o(1+cos2B)=41o coS B 相当于不考虑单缝衍射时的情况。即认为 Sinu1,u=0,"sinb=0,a<<λ。每 个狭缝只有一个次波波源。 衍射花样的特点 衍射极大值位置 主极大由N(0)决定 N(0)的极大值,β可π,N(0)=N,sin0可λld,j=0,±1,±2,±3,…… T=loN-( sin ll
崔宏滨 光学 第五章 衍射光栅 -3 -2 -1 0 123 4 5 6 7 π bsinθ /λ U(θ ) 2 N(θ ) 2 β =π dsinθ /λ (sinNβ /sinβ ) u=π bsinθ /λ 2 (sinu/u)2 二． 双缝衍射，N=2 2 2 2 0 sin ( ) 4 cos u u I P = I β ，而杨氏干涉为 θ β β λ π 2 0 0 0 sin )] (1 cos 2 ) 4 cos 2 [1 cos( I I d I = I + = + = 相当于不考虑单缝衍射时的情况。即认为 1 sin = u u ，u=0， θ λ λ π = a << a sin 0, 。每一 个狭缝只有一个次波波源。 三． 衍射花样的特点 1．衍射极大值位置 主极大由 N（θ）决定 N（θ）的极大值，β=jπ，N（θ）=N，sinθ=jλ/d，j=0, ±1，±2，±3，…… 2 2 0 ) sin ( u u I = I N 4
宏滨光学第五章衍射光栅 2.有一系列的亮条纹,j:谱线级数 谱线位置与N无关,由d,j,λ决定 谱线位置与衍射因子无关 3.谱线强度与N成正比,受衍射因子调制 4.极小值位置 衍射因子U(0)=0,sinu=0,u≠0 asin0=nλ,n=±1,±2,±3,… 干涉因子N(0)=0, sinN B=0,sinB≠0 dsin0kN,dsin0≠jλ,即k≠jλ dsin0,1(AN),2(XN)…(N-l)(X/N),N(AN),(N+1)N),(N+2)(AN),… 2N(AN,……iA/N),……两住极大值之间有N-1个最小值,N-2个次极大。 5.谱线的缺级 当干涉的最大值与衍射的极小值重合是,出现缺级 干涉极大位置sin0亏λld,衍射极小位置sin0=nλ/a,所以有jd=n/b,j=nald。上述 谱线级数缺 四.干涉与衍射的区别和联系 干涉是光束之间的相干叠加,这些光束是有限条,或虽然有无限多条,但是光束之间是 离散的、不连续的、可数的 衍射是连续分布的无限多个点光源(次波中心)发出的光波的相干叠加。 无论是衍射还是干涉,光波在相遇点都是振动的叠加,都遵循波的叠加原理 干涉时,光的能量在空间均匀分布,各个亮条纹有相差不大的能量:在衍射时,光的能 量主要集中在一个特殊的衍射级上,更接近于集合成象的情况 五.光栅方程 透射式光栅 正入射时
崔宏滨 光学 第五章 衍射光栅 2．有一系列的亮条纹，j：谱线级数。 谱线位置与 N 无关，由 d，j，λ决定。 谱线位置与衍射因子无关。 3．谱线强度与N2 成正比，受衍射因子调制。 4．极小值位置 衍射因子 U（θ）=0，sinu=0，u≠0 asinθ=nλ，n=±1，±2，±3，…… 干涉因子 N（θ）=0，sinNβ=0，sinβ≠0 dsinθ=kλ/N，dsinθ≠jλ，即 k≠jλ dsinθ=0，1(λ/N)，2(λ/N)……(N-1)(λ/N)，N(λ/N)，(N+1)(λ/N)，(N+2)(λ/N)，…… 2N(λ/N)，……j(λ/N)，……两住极大值之间有N-1 个最小值，N-2 个次极大。 5．谱线的缺级 当干涉的最大值与衍射的极小值重合是，出现缺级 干涉极大位置 sinθ=jλ/d，衍射极小位置 sinθ=nλ/a，所以有 j/d= n/b，j=na/d。上述 谱线级数缺。 四．干涉与衍射的区别和联系 干涉是光束之间的相干叠加，这些光束是有限条，或虽然有无限多条，但是光束之间是 离散的、不连续的、可数的。 衍射是连续分布的无限多个点光源（次波中心）发出的光波的相干叠加。 无论是衍射还是干涉，光波在相遇点都是振动的叠加，都遵循波的叠加原理。 干涉时，光的能量在空间均匀分布，各个亮条纹有相差不大的能量；在衍射时，光的能 量主要集中在一个特殊的衍射级上，更接近于集合成象的情况。 五．光栅方程 透射式光栅 正入射时 5