崔宏滨光学第三章光的相干叠加 第三章光的相干叠加 波场中各点都有振动,可以用复振幅来描述。振动本身是一个力学量,即是一个矢量, 那么,如果几列波在空间相遇,则每一列波都将在这一点引起振动,这些波在相遇点引起的 总的振动应该遵循力学的原理。 s31波的叠加原理 一.内容 1.波的独立传播定律 从不同振源(扰动源)发出的波在空间相遇时,如振动不十分强烈,各个波将保持各自 的特性不变,继续传播,相互之间没有影响。 2.波的叠加原理 几列波在相遇点的合振动是各个波独自在该点振动的矢量叠加 成立的条件:介质为线性。在振动很强烈时,线性介质会变为非线性的 注意要点:不是强度的叠加,也不是振幅的简单相加,而是振动矢量的叠加。 需要指出的是,虽然上述波的叠加原理阐述的是一般性的原理,适用于普遍的情况,但 是在光学中往往用来处理分立、有限的几列波,或无限但可数的波列叠加的情况。 二.叠加方法 同频率、同振动方向的单色光 1.代数法(瞬时值法) VI=A, cos(o, -at), V2=A, cos( 2-at) 两振动相加后,仍为简谐振动。则有 y=A, cos(, -or)+ A, cos(o2-or) A cos p, cos ot+ A sin sin at+ A, cos p2 cos @t+ A, sin, sin ot (A COS, A, cos 2)cos @t+(A, sin +A, sin 2)sin at
崔宏滨 光学 第三章 光的相干叠加 第三章光的相干叠加 波场中各点都有振动，可以用复振幅来描述。振动本身是一个力学量，即是一个矢量， 那么，如果几列波在空间相遇，则每一列波都将在这一点引起振动，这些波在相遇点引起的 总的振动应该遵循力学的原理。 § 3.1 波的叠加原理 一．内容 1．波的独立传播定律 从不同振源（扰动源）发出的波在空间相遇时，如振动不十分强烈，各个波将保持各自 的特性不变，继续传播，相互之间没有影响。 2．波的叠加原理 几列波在相遇点的合振动是各个波独自在该点振动的矢量叠加。 成立的条件：介质为线性。在振动很强烈时，线性介质会变为非线性的。 注意要点：不是强度的叠加，也不是振幅的简单相加，而是振动矢量的叠加。 需要指出的是，虽然上述波的叠加原理阐述的是一般性的原理，适用于普遍的情况，但 是在光学中往往用来处理分立、有限的几列波，或无限但可数的波列叠加的情况。 二．叠加方法 同频率、同振动方向的单色光。 1．代数法（瞬时值法） cos( ) 1 1 1 ψ = A ϕ −ωt ， cos( ) 2 2 2 ψ = A ϕ −ωt 两振动相加后，仍为简谐振动。则有 cos( ) cos( ) 1 1 2 2 ψ = A ϕ −ωt + A ϕ −ωt A cosϕ cosωt A sinϕ sinωt A cosϕ cosωt A sinϕ sinωt = 1 1 + 1 1 + 2 2 + 2 2 (A cosϕ A cosϕ ) cosωt (A sinϕ A sinϕ )sinωt = 1 1 + 2 2 + 1 1 + 2 2 1
崔宏滨光学第三章光的相干叠加 A(coS cos ot+ sin o sin at )=A cos(o-or) a,V=V1+v2=Acos(-at) 其中 A, cOS , A, cos p V(A, COS,+ A2 cos 2)2+(A, sin p, +A2 sin 2) A sin,+ A, sin 2 Sin g= V(A, COS P,+ A2 cos p2)2+(A, sin,+A2 sin P2) A=V(A, COS Q1+ A2 cos 2)2+(A, sin,+ A2 sin 2) =VA2(cos2,+sin2P1)+ A2(cos2P2+sin2'P2)+2A, A2 (cos P, cos P2+sin p, sin 2) A+42+2A141cos(2-91) ,A2=A2+A2+2A1A12cos(q2-g1) tgp=(A sin A, sin P2)/(A, cos p,+ A, cos 2) 复数法 0,=A,e, U=0,+U=Aeg+A p2= ae 可得A2及1gq表达式同前 3.振幅矢量法 在复空间中,求U=U,+,如图所示 U 对于多列波的叠加,可以让各个矢量按次序首尾相接,夹角为相应的位相差
崔宏滨 光学 第三章 光的相干叠加 = A(cosϕ cosωt + sin ϕ sin ωt) = Acos(ϕ −ωt) 即， cos( ) 1 2 ψ =ψ +ψ = A ϕ −ωt 其中 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 ( cos cos ) ( sin sin ) cos cos cos ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ A A A A A A + + + + = 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 ( cos cos ) ( sin sin ) sin sin sin ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ A A A A A A + + + + = 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 A = (A cosϕ + A cosϕ ) + (A sinϕ + A sinϕ ) (cos sin ) (cos sin ) 2 (cos cos sin sin ) 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 = A1 ϕ + ϕ + A ϕ + ϕ + A A ϕ ϕ + ϕ ϕ 2 cos( ) 1 2 2 1 2 2 2 = A1 + A + A A ϕ −ϕ 即， 2 cos( ) 1 2 2 1 2 2 2 1 2 A = A + A + A A ϕ −ϕ ( sin sin )/( cos cos ) ϕ A1 ϕ1 A2 ϕ 2 A1 ϕ1 A2 ϕ 2 tg = + + 2．复数法 1 1 1 ~ iϕ U = A e ， 2 2 ~ iϕ U = e iϕ iϕ iϕ U = U +U = A e + A e = Ae 1 2 1 2 1 2 ~ ~ ~ 可得 及2 A tgϕ 表达式同前。 3．振幅矢量法 在复空间中，求 1 2 如图所示： ~ ~ ~ U = U +U 对于多列波的叠加，可以让各个矢量按次序首尾相接，夹角为相应的位相差 2
崔宏滨光学第三章光的相干叠加 三.叠加的强度 光的频率是104Hz,其变化周期比仪器的响应时间小得多,光强的测量值只能是岂能 流密度在一定时间内(即仪器响应时间内)的平均值 在观察时间或仪器响应时间r内(r>>T) 强度=∫4d=jA2+42+24so2-9,)lt A+42+24142∫cog2-9)t △q=2-1是两列波在场点的位相差。 1·如Δφ=φ2-φ在观察时间内不是稳定值,而是随时间作无规、随机改变,由于 cos△在(-1,+1)随机取值,则有 cos△dt=0 即I=A12+A2=l1+12是两列光的强度简单相加,没有干涉现象 2.如△q=卯2-1在观察时间内不随时间改变,而是一个稳定的数值,则有 cos△t=cos△q =A1+A2+2A142cos△≠l1+l2 两列波在空间不同的地点有不同的位相差,叠加后有不同的强度,即出现干涉现象 2A1A2cos△被称为干涉项 △中只与空间位置有关,即不同的空间点具有不同的位相差,因而有不同的干涉项的数 值 (a)、△=2j丌时,cos△q=1 =A12+A2+2A1A2=(A1+A2)2>1+l2干涉相长 (b)、△q=(2j+1)丌时,cos△q=-1 =A2+A2-2A42=(A1-A2)2<1+l2干涉相消 两列波在空间相遇,在相遇点有固定的位相差,使得光的能量重新分布,称为干涉现象 能够产生干涉的光,称为相干光
崔宏滨 光学 第三章 光的相干叠加 三．叠加的强度 光的频率是 1014 Hz，其变化周期比仪器的响应时间小得多，光强的测量值只能是岂能 流密度在一定时间内（即仪器响应时间内）的平均值。 在观察时间或仪器响应时间τ 内( ) τ >> T 强度 ∫ ∫ = = [ + + 2 cos( − ) 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 ϕ ϕ τ τ I A dt A A A A ]dt ∫ = + + τ 1 2 1 2 2 2 2 A1 A A A cos( )dt ϕ 2 −ϕ1 ∆ϕ = ϕ 2 −ϕ1是两列波在场点的位相差。 1．如 ∆ϕ = ϕ 2 −ϕ1在观察时间内不是稳定值，而是随时间作无规、随机改变，由于 cos∆ϕ 在（-1，+1）随机取值，则有 cos 0 0 ∆ = ∫ τ ϕdt 即 1 2 是两列光的强度简单相加，没有干涉现象。 2 2 2 1 I = A + A = I + I 2．如∆ϕ = ϕ 2 −ϕ1在观察时间内不随时间改变，而是一个稳定的数值，则有 τ 1 ϕ ϕ τ ∆ = ∆ ∫ cos cos 0 dt 1 2 1 2 2 1 2 I = A + A + 2A A cos ∆ϕ ≠ I + I 两列波在空间不同的地点有不同的位相差，叠加后有不同的强度，即出现干涉现象。 2A1A2 cos ∆ϕ 被称为干涉项。 Δφ只与空间位置有关，即不同的空间点具有不同的位相差，因而有不同的干涉项的数 值。 （a）、 ∆ϕ = 2 jπ 时，cos ∆ϕ = 1 2 2 2 I = A1 + A + 1 2 2A A 2 1 2 = (A + A ) 1 2 > I + I 干涉相长。 （b）、 ∆ϕ = (2 j +1)π 时，cos ∆ϕ = −1 2 2 2 I = A1 + A - 1 2 2A A 2 1 2 = (A − A ) 1 2 < I + I 干涉相消 两列波在空间相遇，在相遇点有固定的位相差，使得光的能量重新分布，称为干涉现象。 能够产生干涉的光，称为相干光 3
崔宏滨光学第三章光的相干叠加 四.相干条件 (1)、Δp稳定 (2)、@相同 (3)、存在相互平行的振动分量。 若振动v1,v2垂直,则直接应用矢量叠加的方法,合振动矢量v=1+v2,同时有 P=1P2+|2P,即,I=1+12,无干涉 U 如两振动不平行,可将其中一个正交分解为和另一个分别平行、垂直的分量,再进行叠 加。其中垂直的分量作为背底,不参与干涉 y=1+2=(1+2y),+2 =A2+4+2A42,cos△+42.=l1+l2+2A42 costco.△o 上式中,v1与W2进行相干叠加,而v2的强度A2不参与干涉,作为背底(或背景) 光出现
崔宏滨 光学 第三章 光的相干叠加 四．相干条件 （1）、∆ϕ 稳定 （2）、ω 相同 （3）、存在相互平行的振动分量。 若振动 1 2 ~, ~ ψ ψ G G 垂直，则直接应用矢量叠加的方法，合振动矢量ψ G ~ = 1 2 ~ ~ ψ ψ G G + ，同时有 2 2 2 1 2 | ~ | | ~ | | ~|ψ = ψ + ψ ，即， 1 2 I = I + I ， 无干涉。 如两振动不平行，可将其中一个正交分解为和另一个分别平行、垂直的分量，再进行叠 加。其中垂直的分量作为背底，不参与干涉。 Ψ Ψ1 Ψ2 G G G = + y y x x Ψ Ψ e Ψ e G G 1 2 2 = ( + ) + = + + 2 cos∆ϕ + = 1 + 2 + 2 1 2 cosα cos∆ϕ 2 1 2 2 2 2 2 I A1 A y A A y A x I I A A 上式中，ψ 1 与ψ 2 y 进行相干叠加，而ψ 2 x 的强度 不参与干涉，作为背底（或背景） 光出现。 2 A2x 4
崔宏滨光学第三章光的相干叠加 五.不同频率单色波的叠加 从数学上看,频率不同的两函数相加,其结果不能化简为一个简谐波的表达式,所以空 间各点的光强与时间有关,因而得不到一个稳定的干涉分布图样。下面一个简单的例子可以 说明这一点。 考虑振动方向相同、传播方向相同、振幅相同,频率不同的两列波, y=Ao cos(@, -, = v2=Ao cos(@, t-k2=) 合振动 y=y 1+V2=2.Ao cos O1+O2)-(k1+k2)(01-02)-(k1-k2) 2.A cos(@t-km=)cos(ot-kz) 其中D= O1+O2.0n 由于,较小,它对起调制作用,相当于频率为∂的波的振幅以较低的频率随时间 变化,如下图示。 cos(ut-kz 2cos(w t-k_ z) 2cos(w t-k_z)cos(wt-kz I=4A cOS(omt-km=)=2A[1+cos 2(@, t-km=) 形成光学拍,拍频为2@,,强度分布随时间和空间变化
崔宏滨 光学 第三章 光的相干叠加 五．不同频率单色波的叠加 从数学上看，频率不同的两函数相加，其结果不能化简为一个简谐波的表达式，所以空 间各点的光强与时间有关，因而得不到一个稳定的干涉分布图样。下面一个简单的例子可以 说明这一点。 考虑振动方向相同、传播方向相同、振幅相同，频率不同的两列波， ψ 1= A0 cos(ω1t − ) 1 k z ψ 2 = A0 cos( ) 2 2 ω t − k z 合振动 ψ = ψ 1+ψ 2 = 2 ( ) ( ) cos 2 ( ) ( ) 2 cos 1 2 1 2 1 2 1 2 0 t k k z t k k z A ω +ω − + ω −ω − − 2 cos( ) cos( ) 0 A t k z t kz = ω m − m ϖ − 其中 2 ω1 ω2 ω + = ， 2 ω1 ω2 ω − m = ， 2 1 2 k k k + = ， 2 1 2 k k km − = 由于ω m 较小，它对ω 起调制作用，相当于频率为ω 的波的振幅以较低的频率随时间 变化，如下图示。 4 cos ( ) 2 [1 cos 2( )] 2 0 2 2 0 I A t k z A t k z = ω m − m = + ω m − m 形成光学拍，拍频为 2ω m ，强度分布随时间和空间变化。 5