崔宏滨光学第六章傅里叶变换光学 A, exp/hx+ -(n-1)a1x+a2y) 2 等效于轴外物点发出的球面波,点源的位置为x0=(n-1)a1s,yo=(n-1)a2S 透镜和棱镜仅仅是位相型的衍射屏,只对波的位相起变换作用,是一种简单的变换装置 §6.2夫琅和费光栅衍射的傅里叶频谱分析 屏函数的傅里叶变换 1.空间频率的概念 单缝、距孔、圆孔或者光栅,都是衍射屏,其作用是使入射波的波前改变,可以用屏函 数表示衍射屏的作用。有一类应用广泛的衍射屏是衍射光栅,即具有周期性空间结构的衍射 屏 衍射屏具有空间的周期性,而波也具有空间的周期性,即衍射屏函数和复振幅都是空间 的周期性函数,那么一定可以从数学上得到新的处理方法。 衍射光栅具有空间的周期性,无论是黑白型的光栅还是正弦型的光栅,其周期都可以用 光栅常数d表示。 周期的倒数是频率,例如对于振动,其振动周期T的倒数是振动的频率υ,这是时间 上的周期和频率。同样,在空间上也可以定义周期和频率,空间周期的倒数就是空间频率 即有f d°J称为空间频率。 周期性的衍射屏,既可以用空间周期描述,也可以用空间频率描述 前面说过的反射、透射或闪耀光栅,可以认为是“黑白型”的。即一部分使光全部透射 或反射、另一部分全部不透光。是典型的振幅型衍射屏,其屏函数表示为 7(xys/1透光部分 ,严格的周期函数,应该是定义域为整个xy平面。 0遮光部分 X方向的透过率表示为
崔宏滨 光学 第六章 傅里叶变换光学 2 2 1 1 exp [ ( 1)( )] 2 x y A ik n x y s α α + = − − + 2 等效于轴外物点发出的球面波，点源的位置为 x n s 0 1 = ( −1)α ， y n s 0 2 = ( −1)α ， z = s 0 透镜和棱镜仅仅是位相型的衍射屏，只对波的位相起变换作用，是一种简单的变换装置。 § 6.2 夫琅和费光栅衍射的傅里叶频谱分析 一．屏函数的傅里叶变换 1．空间频率的概念 单缝、距孔、圆孔或者光栅，都是衍射屏，其作用是使入射波的波前改变，可以用屏函 数表示衍射屏的作用。有一类应用广泛的衍射屏是衍射光栅，即具有周期性空间结构的衍射 屏。 衍射屏具有空间的周期性，而波也具有空间的周期性，即衍射屏函数和复振幅都是空间 的周期性函数，那么一定可以从数学上得到新的处理方法。 衍射光栅具有空间的周期性，无论是黑白型的光栅还是正弦型的光栅，其周期都可以用 光栅常数 d 表示。 周期的倒数是频率，例如对于振动，其振动周期 T 的倒数是振动的频率υ，这是时间 上的周期和频率。同样，在空间上也可以定义周期和频率，空间周期的倒数就是空间频率， 即有 d f 1 = 。f 称为空间频率。 周期性的衍射屏，既可以用空间周期描述，也可以用空间频率描述。 前面说过的反射、透射或闪耀光栅，可以认为是“黑白型”的。即一部分使光全部透射 或反射、另一部分全部不透光。是典型的振幅型衍射屏，其屏函数表示为 ⎩ ⎨ ⎧ = 遮光部分 透光部分 0 1 ( , ) ~ t x y ，严格的周期函数，应该是定义域为整个 xy 平面。 X 方向的透过率表示为 6
崔宏滨光学第六章傅里叶变换光学 xo l0 xo +nd+a<x<xo+(n+1)d ,x∈(-∞,+∞) 其周期性表示为t(x)=I(x+nd),d为最小的空间周期,即空间周期。空间频率为 如果透过率的变化是三角函数形式,即余弦或正弦型的,称为正弦光栅。 2.正弦光栅的傅立叶变换 正弦光栅,如果光栅刻线与y轴平行,则其透过率在X方向作周期性变化,周期为d 空间频率为户=d。其屏函数可以写成1(x)=1o+1cos(2x+g0)。 平行光正入射,由于U1(x)=A1,则透射波的复振幅为 U2(x)=01(x)(x)=A1[+1cos(2+9)。而 cos(2m+9o)={exp[(2+φ)+exp[-1(2mx+90)},所以 U2(x)=A1l0+A1 exp exp[i(2欢+φ0)+A1l1exp[-(2mf+0),即 U2(x)=U0(x)+U4(x)+U1(x),透射波实际上变为三列平面波 关于波的方向 U+1(x)=A1exp(2mx+go,为平面波,其波矢在x方向的分量为 k…=2x,方向角为smB"=k=2 k-2z=几2,其余两列波的方向角分别为 sin1=0,sin=-。∫为空间频率
崔宏滨 光学 第六章 傅里叶变换光学 ⎩ ⎨ ⎧ + + < < + + + < < + + = x nd a x x n d x nd x x nd a t x 0 ( 1) 1 ( ) ~ 0 0 0 0 ， x ∈( , −∞ +∞) 其周期性表示为 ( ) ~ ( ) ~ t x = t x + nd ，d 为最小的空间周期，即空间周期。空间频率为 d f 1 = 。 如果透过率的变化是三角函数形式，即余弦或正弦型的，称为正弦光栅。 2．正弦光栅的傅立叶变换 正弦光栅，如果光栅刻线与 y 轴平行，则其透过率在 X 方向作周期性变化，周期为 d， 空间频率为 f，f=1/d。其屏函数可以写成 ( ) cos( 2 ) ~ = 0 + 1 π + ϕ 0 t x t t fx 。 平行光正入射，由于 1 ( ) 1，则透射波的复振幅为 ~ U x = A 2 1 1 ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ U x = U x t x = A [ cos(2 )] 0 + 1 π + ϕ 0 t t fx 。而 {exp[ (2 )] exp[ (2 )]} 2 1 cos(2 ) π + ϕ 0 = π + ϕ 0 + − π + ϕ 0 fx i fx i fx ，所以 exp 2 1 ( ) ~ 2 1 0 1 1 U x = A t + A t exp[ (2 )] 2 1 exp[ (2 )] π + ϕ 0 + 1 1 − π + ϕ 0 i fx A t i fx ，即 ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ 2 0 1 1 U x U x U x U x = + + + − ，透射波实际上变为三列平面波 关于波的方向 + ( ) = ~ 1 U x exp[ (2 )] 2 1 1 1 π + ϕ 0 A t i fx ，为平面 波，其波 矢 在 x 方向的分量 为 k x 2π f ，方向角为 1 = + λ λ π π θ f f k kx = = = + + + 2 2 sin 1 1 1 1 ，其余两列波的方向角分别为 sin 0 ， 。 为空间频率。 0 θ 1 = θ = − fλ −1 1 sin f 7