分解计算 7825278238分解计算 13/7-66/748-66/7-48 11/76/11161012 4 11478 78238 3/7-66/7-48-66/7-48 11/76/1124/11024/1 所以PA=LU,其中 U 13/71 66/7-48 11/76/11 24/11 0100 得以下两个三角方程组 2x,+3x3+4x4=4 2x2+3x3+4x4=2 14x,+78x3+252x4=78 14x2+78x3+252x4=238 66/7x3-48x=-66/7 66/7x3-48x=-48 24/1lx1=0 24/llx4=24/1l 回代得 0 x2=1x2=0 X4 所以 0 01 例27用平方根法解对称正定方程组
分解计算 → 1 1/ 7 1 3/ 7 1 14 1 2 1 1/ 7 1 3/ 7 1 14 78 252 78 238 1 2 3 4 4 2 − − − − 6 /11 24 /11 0 24 /11 66 / 7 48 66 / 7 48 78 252 78 238 3 4 4 2 = 1 1/ 7 6 /11 1 1 3/ 7 1 1 1 1 L = 14 1 2 = 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 P = − − = − + + = + + + = 24 /11 0 66 / 7 48 66 / 7 14 78 252 78 2 3 4 4 4 3 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x − + + 66 14 78 2 2 1 2 x x x = = = = 0 1 0 1 4 3 2 1 x x x x = = = − = 1 0 1 0 4 3 2 1 x x x x − = 0 1 1 0 0 1 1 0 X 分解计算 → − − 24 66 / 7 78 3 − + + + 24 /11 / 7 48 252 3 4 4 3 4 3 4 3 4 x x x x x x x − − − − 6 /11 16 10 12 66 / 7 48 66 / 7 48 所以 PA＝LU，其中 ，U /11 48 252 4 得以下两个三角方程组 ， = = − = = 24 /11 48 238 2 回代得 ， 所以 例 2.7 用平方根法解对称正定方程组 19
23Tx1「5 220 3012‖x 解可以验证系数矩阵对称正定,故可用平方根法来解。 3 /3 2/33√2/31|→2/√3√2/3 得三角方程组 2/√3√2/3 解得 y1=5/3,y2=-1/6,y3=1/√ 1/3 1/2 例28举例说明一个非奇异矩阵不一定存在LU分解 解取A_「01 ,显然A是非奇异矩阵。若A存在LU分解,则有 10a 10 dab ac+d 从而得b=0,则ab=0,这与ab=1矛盾 例2.9设A=(an)m是实对称阵,且a1≠0,经过Gaus消去法一步后,A约化为 04,其中a=(a2,…an),42是n-1阶方阵,证明A2是对称阵 解设A 显然A1也是对称阵。则经过Gaus消去法一步后A化为 A L 显然A2=A41-a.0是对称阵
= 7 3 5 3 0 12 2 2 0 3 2 3 3 2 1 x x x 解 可以验证系数矩阵对称正定，故可用平方根法来解。 → 3 0 12 2 2 3 3 0 12 2 / 3 2 3 → 3 − 6 12 2 / 3 2 / 3 3 → 3 − 6 3 2 / 3 2 / 3 3 得三角方程组 = − 7 3 5 3 6 3 2 / 3 2 / 3 3 3 2 1 y y y ， = − 3 2 1 3 2 1 3 2 / 3 6 3 2 / 3 3 y y y x x x 解得 y1 = 5/ 3 ， y2 = −1/ 6 ， 1/ 3 y3 = x3 = 1/ 3 ， 1/ 2 x2 = ， 1 x1 = 例 2.8 举例说明一个非奇异矩阵不一定存在 LU 分解。 解 取 ，显然 A 是非奇异矩阵。若 A 存在 LU 分解，则有 = 1 0 0 1 A + = = = ab ac d b c d b c a A 1 0 1 0 1 0 0 1 ， 从而得b = 0 ，则 ab = 0，这与 ab = 1矛盾。 例 2.9 设 A = (aij ) n×n 是实对称阵，且 0 a11 ≠ ，经过 Gauss 消去法一步后，A 约化为 ，其中 ， 是 2 11 A a 0 α , , ) L a1n ( α = a12 A2 n −1阶方阵，证明 A2 是对称阵。 解 设 ，显然 也是对称阵。则经过 Gauss 消去法一步后 A 化为 = 1 11 A a A T α α A1 − T 0 αα α 11 1 11 1 a A a 显然 T αα 11 2 1 1 a A = A − 是对称阵。 20
第三章插值法与最小二乘法 31内容提要 1.多项式插值的概念 设函数y=f(x)在区间[a,b上有定义,且已知在一组互异点 a≤x0<x1<…<xn≤b上的函数值y,y12…,yn,若一个不超过n次的多项式函数 P(x),满足 P(x1)=y;(i=0,1,2,…,m) (3.1) 称Pn(x)为∫(x)的n次插值多项式;相应的插值问题称为n次代数插值问题;称 x(=0,2…,n)为插值节点;称[a,b]为插值区间:称式(31)为插值条件 定理3.1n次代数插值问题的解是存在且唯一的 2.拉格朗日( Lagrange)插值多项式 n次代数插值问题的解可表示为如下 Lagrange插值多项式 ∑y(x)=∑y∏ 其中 l(x)= (=0,1,…,n) 称为拉格朗日插值基函数,仅与插值节点有关。 3.牛顿( Newton)插值多项式 (1)差商的定义 定义31设∫(x)在互异的节点x0,x1…,xn上的函数值f1=∫(x,),(i=01,…,m) fIx,xg] fr-fr (k≠i) 为f(x)关于x1,x的一阶均差(差商),称 几[x,x]-f[x,x] fx,x,xg] (≠j≠k) 为f(x)关于x,x,xk的二阶均差(差商)。一般地,称 几xnx/x,x…,x2x-几1x,x,…,x2x2 为∫(x)关于x02x1…,xk的k阶均差(差商)。 定理3.2()∫(x)关于x0,x1,…,x的k阶均差是f(x)在这些点上的函数值的线性组 合
第三章 插值法与最小二乘法 3.1 内容提要 21 ) 1. 多项式插值的概念 设函数 在区间 [ 上有定 义，且 已知在 一组互 异 点 上的函数值 ，若一个不超过 n 次的多项式函数 ，满足 y = f (x x <L< n ≤ a,b] y , b 0 a ≤ x < x 0 1 P (x) n n y , , y 1 L P (x ) y (i 0,1,2, , n) n i = i = L （3.1） 称 为 的 次插值多项式；相应的插值问题称为 n 次代数插值问题；称 为插值节点；称[ 为插值区间；称式（3.1）为插值条件。 ) ) ) n n P (x n x (i i = f (x ,2,L, n 0,1 n a,b] 定理 3.1 次代数插值问题的解是存在且唯一的。 2. 拉格朗日(Lagrange)插值多项式 次代数插值问题的解可表示为如下 Lagrange 插值多项式： ∑ ∑ ∏ = ≠ = = − − = = n j n i j i j i i j n j n j j x x x x L x y l x y 0 0 0 ( ) ( ) (3.2) 其中 ∏ ≠ = = − − = n i j i j i i j j n x x x x l x 0 ( ) ( 0,1,L, ) 称为拉格朗日插值基函数，仅与插值节点有关。 3. 牛顿(Newton)插值多项式 (1)差商的定义 定义 3.1 设 f (x) 在互异的节点 x0 , x1 ,L, xn 上的函数值 f f (x ), (i 0,1, ,n) i = i = L ， 称 [ , ] (k i) x x f f f x x k i k i i k ≠ − − = 为 f (x) 关于 xi , xk 的一阶均差（差商），称 ( ) [ , ] [ , ] [ , , ] i j k x x f x x f x x f x x x k j i k i j i j k ≠ ≠ − − = 为 f (x) 关于 xi , x j , xk 的二阶均差（差商）。一般地，称 1 0 1 2 0 1 2 1 0 1 [ , , , , ] [ , , , , ] [ , , , ] − − − − − − = k k k k k k k x x f x x x x f x x x x f x x x L L L 为 ) 关于 的 阶均差（差商）。 ) f (x k x , x , , x 0 1 L k 定理 3.2 (i) 关于 的 阶均差是 在这些点上的函数值的线性组 合，即 f (x k x , x , , x 0 1 L k f (x)
几x,x…x]=∑f(x∏ (ⅱi)k阶均差∫[x,x1,…,xk]关于x0,x1,…,xk是对称的,即与节点的排列次序无关。 =[x ,xk](,j=0,2…,k)且i≠j。从 而可知在定义k阶均差时,两个k-1均差的选取可以是任意的 (2)差商与导数之间有如下关系 若f(x)在含有x,x0,x12…,xk的区间上具有k阶导数,则在这一区间内至少有点5 使得 5在x,x0,x12…,xk之间 k (3)差商表 均差的计算过程如表 xR J()/JIx,\ fIx Xk+1X+2 Xk+ k+2,xk+1 /, Xk+1 *k+2 3+33*+41 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 fLo,x,] x0,x2,x2 f fIxo, xu x,, xI f2 fIx, x2,x3I 0:12:433 「x2,x3 「x1,x2,x3,x4] fxa, xI (4) Newton插值多项式 n次代数插值问题的解还可表示为如下 Newton插值多项式 N(x)=f(x0)+x0,x](x-x0)+…+[x,x1,…,xn]x-x0)x-x1)…(x-xn) f(x)+∑几x0,x,…,xl(x-x,) 对于同一个插值条件的n次代数插值问题, Newton插值公式与 Lagrange插值公式所给 出的是同一个多项式,只是形式上不同而已。但 Newton插值公式较 Lagrange插值公式的 个明显的优点是具有递推性 Nn1(x)=N(x)+[x,x1,…,xn+1](x-x0)(x-x1)…(x-xn) (5)差分与等距节点插值公式 定义设∫(x)在等距节点xk=x+h(k=0.1,…,n)上的函数值为f,称 f=JM1-fk, V=f -ft-I 分别为f(x)在x=xk处的一阶向前差分和一阶向后差分。符号△,V分别称为向前差分算子
∑ ∏ = ≠ = − = k j k i j i j i k j x x f x x x f x 0 0 0 1 1 [ , ,L, ] ( ) （ii） k 阶均差 f [x0 , x1 ,L, xk ]关于 x0 , x1 ,L, xk 是对称的，即与节点的排列次序无关。 [ , , , , , , ] [ , , , , , , ] ( , 0,1,2 , ) 0 0 f x x x x f x x x x i j k L i L j L k = L j L i L k = L 且 i ≠ j 。从 而可知在定义 k 阶均差时，两个 k −1均差的选取可以是任意的： (2)差商与导数之间有如下关系 若 f (x) 在含有 x, x0 , x1 ,L, xk 的区间上具有 k 阶导数，则在这一区间内至少有点ξ ， 使得 ! ( ) [ , , ] ( ) 0 k f f x x k k ξ L = ，ξ 在 x, x0 , x1 ,L, xk 之间 (3)差商表 均差的计算过程如表 k ( k x f x ) [ , ] k k+1 f x x 一阶差商 [ , , ] k k+1 k+2 f x x x 二阶差商 [ , , , ] k k+1 k+2 k+3 f x x x x 三阶差商 [ , , , , ] k k+1 k+2 k+3 k+4 f x x x x x 四阶差商 [ , , ] 1 2 3 f x x x [ , , , , ] 0 1 2 3 4 f x x x x x [ , ] 2 3 f x x [ , , , ] 1 2 3 4 f x x x x [ , , ] 2 3 4 f x x x [ , ] 3 4 f x x 0 x 0f [ , ] 0 1 f x x 1f [ , , ] 0 1 2 f x x x [ , ] 1 2 f x x [ , , , ] 0 1 2 3 f x x x x 1 x 22 2 x 2 f 3 x 3f 4 x 4 f (4) Newton 插值多项式 n 次代数插值问题的解还可表示为如下 Newton 插值多项式： ∑ ∏ = − = − = + − = + − + + − − − n k k j k j n n n f x f x x x x x N x f x f x x x x f x x x x x x x x x 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 ( ) [ , , , ] ( ) ( ) ( ) [ , ]( ) [ , , , ]( )( ) ( ) L L L L 对于同一个插值条件的 次代数插值问题，Newton 插值公式与 Lagrange 插值公式所给 出的是同一个多项式，只是形式上不同而已。但 Newton 插值公式较 Lagrange 插值公式的一 个明显的优点是具有递推性： n ( ) ( ) [ , , , ]( )( ) ( ) n 1 n 0 1 n 1 0 1 n N x = N x + f x x x x − x x − x x − x + L + L (5) 差分与等距节点插值公式 定义 设 f (x) 在等距节点 ( 0,1, , ) xk = x0 + kh k = L n 上的函数值为 f k ，称 k k k ∆f = f − f +1 ，∇ k = k − k −1 f f f 分别为 f (x) 在 x = xk 处的一阶向前差分和一阶向后差分。符号 ∆,∇ 分别称为向前差分算子
和向后差分算子。类似地,可定义∫(x)在x=xk处的m阶向前差分和m阶向后差分 k+-4~ fR,Vf=Vm-JK 差分与导数的关系为 △f0=hf()5∈( 差分与差商的关系为 f[x,x1;…,xk] = klh kh (k=1,2,…) 称 N(x)=N2(x+mh)=J6+∑ △f(-n 为等距节点的 Newton向前(差分)插值公式 L (x)=N(, +th)=f (t+j) 为等距节点的 Newton向后(差分)插值公式。 4.插值多项式的余项 定理33(插值多项式余项公式)设f(x)在含节点x,(=01…,n)的区间[a,6上 +1次可微,Pn(x)是f(x)关于给定的n+1个节点的n次插值多项式,则对于 vx∈[a,b],存在与x有关的5∈(a,b),使得 R (x)=f(x)-P(x) x,x0,…,xn]on(x) On1(x)=(x-x0(x-x1)…(x-xn) 若f)(x)在[a,b]上有界: n+= max f(n+e(x) ≤x≤b IR,(x)l 5. Hermite插值多项式 (1) Hermite插值问题:已知函数fx)在节点a≤x0≤x1…≤xn≤b处有f(x)=y f(x)=y,i=0,…,n。要求插值多项式H(x),使得H(x1)=y,H(x1)=y1 理34上述 Hermite插值问题的解H2n(x)是存在且唯一的,其表达式为 H2m+(x)=2(,a (x)+y, B (x)
和向后差分算子。类似地，可定义 f (x) 在 k x = x 处的 m 阶向前差分和 阶向后差分 ∇ m ( , 0 x m k −1 m f ( ) ) ξ m 1 1 − − ∆ k = h f ] = 1, 0 , , , = f [x x −1 L x k ∆k k f 0 ! (x0 + ) = f 0 + = f n + f (x) (xn + th k k f ! ,n) n +1 (a,b) ) 1)! (ξ ) (x , ] ( ) x f x n n n = L ω )( 0 x x x [ , ( ) 0 f x x f x − x) = (x − ) M n+1 = ( ) n M ≤ ,i y ∑= = n j (x) k m k m f f f 1 + − ∆ = ∆ ，∇ −1 −1 = − ∇ k m k k f f 差分与导数的关系为： ) ( 0 k k k ∆ f ξ ∈ x 差分与差商的关系为： ( 2, ) ! , ! [ , , , ] 1 0 0 1 L L ∇ = ∆ = k k h f x k h f f x x x k k k k k k k 称 ∑ ∏ = − = = − n k k j n n N x N th t j 1 1 0 ( ) ( ) 为等距节点的 Newton 向前（差分）插值公式。 称 ∑ ∏ = − = + ∇ = n k k j n n n N x N t j 1 1 0 ( ) ) ( ) 为等距节点的 Newton 向后（差分）插值公式。 4. 插值多项式的余项 定理 3.3 （插值多项式余项公式）设 在含节点 xi(i = 0,1L 的区间[ 上 次可微， 是 关于给定的 a,b] n +1 P (x) n f (x) 个节点的 次插值多项式，则对于 ，存在与 n ∀x ∈[a,b] x 有关的ξ ∈ ，使得 , ( ( ) ( ( ) 1 1 ( 1) x x n R x P n n n + + + = + = ω ( ) ) n 1 1 n − − x ω + L 若 ( )在[ ]上有界： ( 1) f x n+ a,b max ( ( 1) f x n a x b + ≤ ≤ ， 则 ( ) 1)! ( 1 1 R x x n n n + + + ω (3.3) 5. Hermite 插值多项式 (1)Hermite 插值问题：已知函数 f(x)在节点 a ≤ x0 ≤ x1L ≤ xn ≤ b H(x) ( )i H x = 处有 ， ， 。要求插值多项式 ，使得 ， 。 i i (x ) = y ' ( )i i x = y f ' i y n ( )i f ′ x = i = 0,1,L i = 0,1,L,n H ′ , 定理 3.4 上述 Hermite 插值问题的解 H2n+1(x) 是存在且唯一的，其表达式为 + + ′ n j j j j H y x y x 0 2 1 ( α ( ) β ( )) 23