温师院数学与信息科学学院：《计算方法》课程教学资源（学习指导）计算方法学习指导（共六章）

其中 (1-2∑)(x) B(x)=(x-x)y2(x) l,(x)为相应于节点x,x1,…,xn的 Lagrange插值基函数 (2)两点三次 Hermite插值问题:求一个三次 Hermite插值多项式H3(x),满足 H3(x,)=y,H3(x1)=y,(=0,1 当x=0,x1=1时,两点三次 Hermite插值问题的解为 H3(x)=y0a0(x)+y1a1(x)+y0B0(x)+y1B1(x) a0(x)=(1+2x)(x-1)2,a1(x)=(3-2x)x2,B(x)=x(x-1)2,B(x)=(x-1)x 般情形下两点三次 Hermite插值多项式为 H3(x)=y0A0(x)+y1A1(x)+yB0(x)+y1B1( A0(x)=a0( ),A1(x)=a1( B0(x)=B6 ),B1(x)=B (3) Hermite插值多项式的余项公式 定理35设f“(x)在[x0,x]上存在且连续,则对于任意的x∈[xn,x1]都存在 5∈(x0,x1),使得 R3(x)=f(x)-H3( 4! Ro 6.三次样条插值 设定义在ab]上的函数f(x)的型值点为(x0,y0),(x1,y1)…,(xn,yn),要求ab]上的分 段三次插值函数S(x),使得S(x)=y,(=0,1…,n),且S(x)∈C{[a,b]称S(x)为f(x) 在ab上的三次样条插值函数。 要求S(x)满足 S(x)=yk,(k=0,1,…,n)

其中 ( ) (1 2 ) ( ) 2 0 l x x x x x j n i j i j i j j ∑ ≠ = − α = − ( ) ( ) ( ) 2 x x x l x β j = − j j x) H i 1 l (j 为相应于节点 x0 , x1 ,L, xn 的 Lagrange 插值基函数。 (2) 两点三次 Hermite 插值问题： 求一个三次 Hermite 插值多项式 ，满足 ， ， 。 ( ) 3 x i H (x ) = y 3 i i H′(x ) = y′ 3 (i = 0,1) 当 x0 = 0, x1 = 时，两点三次 Hermite 插值问题的解为： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 0 0 1 1 0 0 1 1 H x = y α x + y α x + y′β x + y′β x 2 0 α (x) = (1+ 2x)(x −1) ， ， ， 。 2 1 α (x) = (3 − 2x)x 2 0 β (x) = x(x −1) 2 1 β (x) = (x −1)x 一般情形下两点三次 Hermite 插值多项式为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 0 0 1 1 0 0 1 1 H x = y A x + y A x + y′B x + y′B x ( ) ( ) 1 0 0 0 0 x x x x A x − − = α ， ( ) ( ) 1 0 0 1 1 x x x x x − A − = α ， ( ) ( ) 1 0 0 0 0 x x x x x − B − = β ， ( ) ( ) 1 0 0 1 1 x x x x x − − B = β (3) Hermite 插值多项式的余项公式 定理 3.5 设 ( ) 在 上存在且连续，则对于任意的 都存在 (4) f x [ , ] 0 1 x x [ , ] 0 1 x ∈ x x ( , ) 0 1 ξ ∈ x x ，使得 2 1 2 0 (4) 3 3 ( ) ( ) 4! ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x f R x = f x − H x = − − ξ 6. 三次样条插值 设定义在[a,b]上的函数 f(x)的型值点为( ，要求[a,b]上的分 段三次插值函数 S(x)，使得 , ),( , ), ,( , ) 0 0 1 1 n n x y x y L x y S(x ) y , (i 0,1,L,n) i = i = ，且 。称 为 在[a,b]上的三次样条插值函数。 ( ) [ , ] 2 S x ∈C a b S(x) f ) (x) 要求 S(x 满足： S(x ) y , (k 0,1, ,n) k = k = L 24

limS'(x)=limS'(x),(k=1,2,…,n-1) limS"(x)=limS"(x),(k=1,2,…,n-1) 此外,实际问题对三次样条插值函数在端点处的状态也有要求,即所谓的边界条件: 第一类边界条件(夹持条件): 「S(x0)=y 第二类边界条件(自然边界条件) ∫S"(x)=y Is"(x,)=ya 第三类边界条件(周期性条件 yo=y,, lim S(x)=lim S(x), lim S(x)=lim S(x) 满足上述边界条件之一的三次样条插值多项式是存在且唯一的。构造三次样条插值多项 式常用的有三弯矩法和三转角法。 7.最小二乘法 (1)最小二乘法的基本概念:设(x1,y)(i=0,1,…,m)为给定的一组数据 O1(=0,1,…,m)为各点的权系数(通常要求O2>0),要求在函数类 Φ=spn((x),1(x),…,n(x)} 中,求一函数 x)=∑a(x),(n≤m) 满足 l2=∑o(S(x)-y)2=min∑(S(x,)-y)2 其中S(x)=∑a,(x)为中中任意函数 称按上述条件求函数S"(x)的方法为数据拟合的最小二乘法,简称最小二乘法。并称S"(x 为最小二乘解,S(x)为拟合函数 (2)对于给定的函数表(x1y),(=0,1,…,m),在函数类

lim S (x) lim S (x) k k x x x x ′ = ′ → + → − ，(k = 1,2,L,n −1) lim S (x) lim S (x) k k x x x x ′′ = ′′ → + → − ，(k = 1,2,L,n −1) 此外，实际问题对三次样条插值函数在端点处的状态也有要求，即所谓的边界条件： 第一类边界条件(夹持条件)：    ′ = ′ ′ = ′ n n S x y S x y ( ) ( ) 0 0 第二类边界条件(自然边界条件)：    ′′ = ′′ ′′ = ′′ n n S x y S x y ( ) ( ) 0 0 第三类边界条件(周期性条件)： n y = y 0 ， lim ( ) lim ( ) 0 S x S x n x x x x ′ = ′ → + → − ， lim ( ) lim ( ) 0 S x S x n x x x x ′′ = ′′ → + → − 。 满足上述边界条件之一的三次样条插值多项式是存在且唯一的。构造三次样条插值多项 式常用的有三弯矩法和三转角法。 7. 最小二乘法 (1) 最小二 乘法的 基 本概念 ： 设 ( , ) i i x y (i = 0,1,L,m) 为 给定的 一 组数据 ， ωi (i = 0,1,L,m) 为各点的权系数(通常要求ωi >0)，要求在函数类 { ( ), ( ), , ( )} 0 1 span x x x Φ = ϕ ϕ L ϕ n 中，求一函数 ∑= = n j j j S x a x 0 * * ( ) ϕ ( )，( n ≤ m) 满足 ∑ ∑= ∈Φ = = − = − m i i i i S m i i i i S x y S x y 0 2 0 * 2 2 2 δ ω ( ( ) ) min ω ( ( ) ) 其中 ∑ 为 中任意函数。 = = n j j j S x a x 0 ( ) ϕ ( ) S Φ 称按上述条件求函数 的方法为数据拟合的最小二乘法，简称最小二乘法。并称 为最小二乘解， 为拟合函数。 ( ) * S x x) ( ) * x S( (2) 对于给定的函数表 (xi , yi) ， (i = 0,1,L,m) ，在函数 类 25

d=sm{(x),q2(x)…qn(x)}中存在唯一的函数S'(x)=∑a(x),使得关系式 =o(S(x)-y)2=m∑o(S(x)-y)2成立:最小二乘解的系数 ao2a1,…,an可以通过求解以下法方程组得到, (q1,)a1=(f,9),(k=0.1,…,n) 即 (q,90)(qo,)…(,9n)ao「(f, (q1,90)(q1,q (q129n)a1() (n,Po)(n,P1)..(Pn, n)anL(,P,) 其中 (,9)=∑o9(x,)2(x,) (,)=∑y92(x) 当取基底为,(x)=x(=01,…,m)时,相应的法方程组为 Oi oix OiVi @i, 0. ∑ 01x;y Ox >Ox 注:为避免求解病态的法方程组,往往选取正交多项式为基函数

{ ( ), ( ), , ( )} 0 1 span x x x Φ = ϕ ϕ L ϕ n 中存在唯一的函数 ∑ ，使得关系式 = = n j j j S x a x 0 * * ( ) ϕ ( ) ∑= − m i i i i S x y 0 2 ω ( ( ) ) ) ( , ) j k a = f ϕ (k ∑ ∈Φ = = − = S m i i i i S x y 0 * 2 2 2 δ ω ( ( ) ) min * * 1 * 0 , , , a a L an ( , 0 n j ∑ ϕ j ϕ k = 成立；最小二乘解的系数 可以通过求解以下法方程组得到， = 0,1,L,n)             =             ( , ) ( , ) ( , ) 1 0 1 0 n n f f f a a a ϕ ϕ ϕ M M k i (x ) i)                     =             ∑ ∑ ∑ = = = m i i n i i m i i i i m i i i n x y x y y a a a 0 0 0 1 0 ω ω ω M M       ) ( , ) ) ( , ) ) ( , ) 1 1 1 1 0 n n n n ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ L O M L L ∑= = m i k i j i x 0 ϕ ) ω ϕ ( )ϕ ∑= = m i k i i k y x 0 ,ϕ ) ω ϕ ( 1,L, n)           ∑ ∑ ∑ = + = + = m i n i i m i n i i m i n i i x x x 0 1 2 0 2 1 0 ω ω ω L O M L L       ( , ) ( , ( , ) ( , ( , ) ( , 0 1 0 1 0 0 0 ϕ n ϕ ϕ n ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ M M j (ϕ , ( f (x) x ( j 0, j ϕ j = =           ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = m i n i i m i n i i m i i i m i i i m i i i m i i x x x x x 0 0 0 0 0 0 ω ω ω ω ω ω M M ， 即 其中 当取基底为 时，相应的法方程组为 注：为避免求解病态的法方程组，往往选取正交多项式为基函数。 26

3.2典型例题 例31已知函数y=sinx的函数表如表所示, x 0.32 0.36 y=sinx 0.314567 0.333487 0.352274 试分别用拉格朗日线性插值和抛物线插值求sin0.3367的近似值,并估计截断误差。 解1)线性插值 取两个节点x0=0.32,x1=0.34,相应的y=0314567y1=0.333487,由公式(32) 得 L,(x)=lo(x)yo+L(x)y x0=x1 X-x x-0.34 0.32 ×0.314567+ ×0.314567 0.32-0.34 0.34-0.32 将x=0.3367代入,即得 sin0.3367≈0.330365 其截断误差由公式(33)得 R(x)≤ 其中M=maxf/x)因f(x)=sinx,f(x)=-sinx,可取 M1= max sin x=sinx≤0333 于是 R(0356)=in03567-L(0.3357 ≤×(0.335)×(0.0167)×(0.0033) 0.92×10 2)抛物线插值取x0=032,x1=0.34,x2=0.36,由公式(32)得 L,(x)=lo(x)yo +l(x)y+l2(x)y (x-x1)(x-x2 ),(x-x0)x-x2),(x Xo (xn-x)x-x2)0+(x1-x)x1-x2)+(x2-xx2=x)y2 将x=03367和x1,y(=0,1,2)的数值代入,即得

3.2 典型例题 例 3.1 已知函数 y = sin x 的函数表如表所示， 试分别用拉格朗日线性插值和抛物线插值求sin 0.3367的近似值，并估计截断误差。 x 0.32 0.34 0.36 y = sin x 0.314 567 0.333 487 0.352 274 解 1) 线性插值. 取两个节点 0.32, 0.34, x0 = x1 = 相应的 0.314567, 0.333487, y0 = y1 = 由公式(3.2) 得 0.314567 0.34 0.32 0.32 0.314567 0.32 0.34 0.34 ( ) ( ) ( ) 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 × − − × + − − = − − + − − = + = x x y x x x x y x x x x L x l x y l x y 将 x = 0.3367 代入，即得 sin 0.3367 ≈ 0.330365 . 其截断误差由公式(3.3)得 ( )( ) 2 ( ) 0 1 1 1 x x x x M R x ≤ − − 其中 max ( ), 0 1 1 M f x x x x = ′′ ≤ ≤ 因 f (x) = sin x, f ′′(x) = −sin x, 可取 max sin sin 0.3335, 1 1 0 1 = = ≤ ≤ ≤ M x x x x x 于是 5 1 1 0.92 10 (0.3335) (0.0167) (0.0033) 2 1 (0.3367) sin 0.3367 (0.3367) − ≤ × ≤ × × × R = − L 2) 抛物线插值. 取 0.32, 0.34, 0.36, x0 = x1 = x2 = 由公式(3.2)得 2 2 0 2 1 0 1 1 1 0 1 2 0 2 0 0 1 0 2 1 2 2 0 0 1 1 2 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x L x l x y l x y l x y − − − − + − − − − + − − − − = = + + 将 x = 0.3367 和 xi , yi(i = 0,1,2) 的数值代入，即得 27

sin0.3367≈0.330374. 这个结果与6位有效数字的正弦函数表完全一致,这说明查表时用二次插值精度已相当 高了。其截断误差由公式(33)得 R2(x) x0)(x-x1(x-x2 其中M2=maxf"(x)=cosx0<0.828 于是 凡R2(0367)=sin0367-L20.3367 应该指出,由插值的截断。⑤(0828)×(00167)×(0033×(03 估计式 凡(x)≤ 可看出,R(x)的大小除了与M有关外,还与因子∏(x=x)有关,为了使风(x尽 量小,显然要尽可能选取靠近插值点x的插值节点 在本题中,若取x1=0.34,x2=0.36为节点作线性插值,可得 sin03367≈L10.367)=0.33387 其截断误差为R(x=2Nx=xXx-x米 其中M1=max/"(x)≤03523 于是 R03570-m0367-2(0377 ≤(0.3523)(0.0033)0.0233) 10 比较以上两种线性插值的节点的不同取法,显然,前者因∏(x-x)比后者小,从而 =0 R(x)亦小,相应的插值效果较好。所以,选择插值节点时,应尽量选取与插值点x距离

sin 0.3367 ≈ 0.330374. 这个结果与 6 位有效数字的正弦函数表完全一致，这说明查表时用二次插值精度已相当 高了。其截断误差由公式(3.3)得 ( )( )( ) 3! ( ) 0 1 2 2 2 x x x x x x M R x ≤ − − − 其中 max ( ) cos 0.828. 2 0 0 2 = ′′′ = < ≤ ≤ M f x x x x x 于是 0.178 10 . (0.828) (0.0167) (0.033) (0.0233) 6 1 (0.3367) sin 0.3367 (0.3367) 6 2 2 − < × ≤ × × × × R = − L 应该指出，由插值的截断误差估计式 ∏= − + ≤ n j j n n x x n M R x 0 ( ) ( 1)! ( ) 可看出， R (x n 的大小除了与 M n 有关外，还与因子 ∏= − n j j x x 0 ( ) 有关，为了使 (x) Rn 尽 量小，显然要尽可能选取靠近插值点 x 的插值节点。 ) 在本题中，若取 0.34, 0.36 x1 = x2 = 为节点作线性插值，可得 (0.3367) 0.330387 ~ sin 0.3367 ≈ L1 = 其截断误差为 ( )( ) 2 ~ ( ) ~ 1 2 1 2 x x x x M R x ≤ − − 其中 max ( ) 0.3523. ~ 0 1 1 = ′′ ≤ ≤ ≤ M f x x x x 于是 1.36 10 . (0.3523)(0.0033)(0.0233) 2 1 (0.3367) ~ (0.3367) sin 0.3367 ~ 5 1 1 − ≤ × ≤ R = − L 比较以上两种线性插值的节点的不同取法，显然，前者因 ∏= − n j j x x 0 ( ) 比后者小，从而 (1 R x) 亦小，相应的插值效果较好。所以，选择插值节点时，应尽量选取与插值点 x 距离 28