温师院数学与信息科学学院：《计算方法》课程教学资源（学习指导）计算方法学习指导（共六章）

P B2 B1-2 1B2-1 I B B 则其中元素的计算公式为 b1,x1=b-a,B1(=2,3,…,n) B=c/a (i=1,2,…n-1) yi=a (i=2,3,…,n) y正好已处于a1的位置上,故只需计算a1,B,,其次序为 a1→B1→a2→>B2→+…→an1→Bn1→n (2)求解Ly=f,其计算公式为 yI (i=2,3,…,n) 求解UX=y,其计算公式为 x1=y-Bx1(=n-1,n-2,…2,1) 上述解三对角方程组的方法称为追赶法。追赶法不但方法简练,运算量少,而且是数值 稳定的。 22典型例题 例21用 Gauss消去法解方程组 334 -183-1 解消元过程相当于对增广矩阵进行初等变换

U＝                             − − − 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 n i i i β β β β β β O O O O O O 则其中元素的计算公式为      = = = = − = = − − = ( 2,3, , ) / ( 1,2, 1) , ( 2,3, , ) 1 1 1 a i n c i n b b a i n i i i i i i i i i L L L γ β α α α β 14 i 正好已处于 ai 的位置上，故只需计算α i β i γ , ，其次序为 α1 → β1 →α 2 → β 2 →L →α n−1 → β n−1 →α n ⑵求解 Ly = f ，其计算公式为      = − = = − ( 2,3, , ) / 1 1 1 1 i n f a y y y f i i i i i L α α ⑶求解Ux = y ，其计算公式为    = − = − − = + ( 1, 2, ,2,1) x y x 1 i n n L x y i i i i n n β 上述解三对角方程组的方法称为追赶法。追赶法不但方法简练，运算量少，而且是数值 稳定的。 2.2 典型例题 例 2.1 用 Gauss 消去法解方程组             − =                         − − − − − 2 6 15 15 3 1 1 1 1 1 1 1 18 3 1 1 12 3 3 4 4 3 2 1 x x x x 解 消元过程相当于对增广矩阵进行初等变换

12-334 12-33415 55294 0 33415 00 9636 2000 0 11 7 3 33 得同解三角方程组 12x1-3x2+3x3+4x4=15 x2+5 3 64=11 回代得x4=0,x3=3,x2=2,x1=1 例22用 Gauss列主元消去法解如下方程组 x 5-1 605 476 解对增广矩阵进行选主元及消元,加框的元素是主元素 264 10-707 回-7075-3264 6 10 5-156 10-707 r-(-) 053

            − − − − − − 3 1 1 1 2 1 1 1 1 6 18 3 1 1 15 12 3 3 4 15  →  − − − − 4 1 3 1 2 1 4 1 12 1 ) 2 3 ( r r r r r r                   − − − − 4 7 0 4 7 4 7 0 4 19 3 2 4 3 4 5 0 2 15 5 2 7 2 3 0 12 3 3 4 15  →  − − − − 4 2 3 2 ) 6 7 ( ) 6 5 ( r r r r          7 11 2 15 15          − − 6 35 3 7 0 0 6 29 3 11 0 0 5 2 7 2 3 0 12 3 3 4  → − 3 4 11 7 r r                   − − 0 33 91 0 0 0 11 6 29 3 11 0 0 2 15 5 2 7 2 3 0 12 3 3 4 15 得同解三角方程组          = + = − + + = − + + = 0 33 91 11 6 29 3 11 2 15 5 2 7 2 3 12 3 3 4 15 4 3 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x 回代得 x4 = 0 ， x3 = 3， x2 = 2 ， 1 x1 = 。 例 2.2 用 Gauss 列主元消去法解如下方程组。           =                     − − − 6 7 4 5 1 5 10 7 0 3 2 6 3 2 1 x x x 解 对增广矩阵进行选主元及消元，加框的元素是主元素  →         − − − 1↔ 2 5 1 5 6 10 7 0 7 3 2 6 4 r r           5 −1 5 6 3 2 6 4 10 7 0 7 － －  → − − − 3 1 2 1 2 1 ) 10 3 ( r r r r                 − 2 5 5 10 61 6 10 1 10 －7 0 7  → 2↔ 3 r r         10 61 6 2 5 5 0 7         − 10 1 2 5 10 －7   3 − − ) 25 1 r ( r  →2         5 31 5 31 2 5 5 2 5 10 －7 0 7           2 5 15

得同解三角方程组 10x1-7 回代求解得x3=1,x2=-1,x1=0 例23采用四位有效数字,分别用 Gauss消去法和列主元素 Gauss消去法求解线性代 数方程组: 072900810009000Tx1「068671 1.0001.0001.000x2|=0.88 1.33 2101.100x3 1.000 解 gauss消元过程相当于对增广矩阵进行初等变换 0.72900.81000.900006867 0001.0001.0000.8338 1.826n 1.3311.2101.1001.000 0.72900.81000.90000.6867 -0.110-0.2350-0.1084- 2423 0.2690-0.5430-0.2540 0.72900.8 0.900006867 0.1110-0.2350-0.1084 0.026400.008700 回代求解得x3=0.3295,x2=0.2790,x1=02252 对增广矩阵进行选主元及消元,加框的元素是主元素 0.72900.81000.90000.6867 1.3311.2101.1001.000 1.0001.00010000.8338-21.00010001.00008338 1.2101.1001.000 0.7290.81000.90000.6867 2-0711.3311.2101.1001.00 0.5477 009090.1736008250-46 0.14730.29750.1390

得同解三角方程组          = + = − = 5 31 5 31 2 5 5 2 5 10 7 7 3 2 3 1 2 x x x x x 回代求解得 x3 = 1， x2 = −1， 0 x1 = 例 2.3 采用四位有效数字，分别用 Gauss 消去法和列主元素 Gauss 消去法求解线性代 数方程组：           =                     1.000 0.8338 0.6867 1.331 1.210 1.100 1.000 1.000 1.000 0.7290 0.8100 0.9000 3 2 1 x x x 解 Gauss 消元过程相当于对增广矩阵进行初等变换           1.331 1.210 1.100 1.000 1.000 1.000 1.000 0.8338 0.7290 0.8100 0.9000 0.6867  → −  − 3 1 2 1 1.826 1.372 r r r r           − − − − − − 0.2690 0.5430 0.2540 0.1110 0.2350 0.1084 0.7290 0.8100 0.9000 0.6867  → 3 − 4232 r 2. r           − − − 0.02640 0.008700 0.1110 0.2350 0.1084 0.7290 0.8100 0.9000 0.6867 回代求解得 x3 = 0.3295， 0.2790 x2 = ， 0.2252 x1 = 对增广矩阵进行选主元及消元，加框的元素是主元素           1.331 1.210 1.100 1.000 1.000 1.000 1.000 0.8338 0.7290 0.8100 0.9000 0.6867  → −  − 3 1 2 1 0.5477 0.7513 r r r r      0. 0. 1.331 1.  → 1↔ 3 r r 1473 0.2975 0909 0.1736 210 1.100           0.729 0.8100 0.9000 0.6867 1.000 1.000 1.000 0.8338 1.331 1.210 1.100 1.000      0.1390 0.08250 1.000  → 2↔ 3 r r 16

1.33112101.1001.000 0.14730.29750.1390 0.09090.17360.08250 1.3311.2101.100 1.000 0.14730.2975 0.1390 0.01000-0.003280 回代求解得x3=0.3280,x2=0.2812,x1=0.224 与精确解x3=0.3279,x2=0.2814,x=0.2245比较,显然列主元素消去法比一般 的 Gauss消去法得到的解误差要小。 例24用 Doolittle法对矩阵A作LU分解。 4215 87210 36 1261120 解从上至下,从左至右,分解过程如下: 4215 4215 4836 1836 1|236 122 1261120 61120 301120302 304 每一次只变化加框部分的元素,具体计算公式参见 Doolittle分解算法 所以A=LU,其中 4215 121 例25利用 Doolittle分解的紧凑格式解下列方程组 14 X 241

          0.0909 0.1736 0.08250 0.1473 0.2975 0.1390 1.331 1.210 1.100 1.000      − 0.01000 − 0. 0.1473 0.2975 0. 1.331 1.210 1.100 1. 3 0.3280  → 3 − 61712 r 0. r      003280 1390 000 x = 0.2812 x2 = 0.2246 x1 = = 0.3279 0.2814 2 = 0.2245 1 =             12 6 11 20 4 8 3 6 8 7 2 10 4 2 1 5       →             3 6 11 20 1 8 3 6 2 7 2 10 4 2 1 5 →       3 0 11 20 1 2 3 6 2 3 0 0 4 2 1 5             3 0 4 1 1 2 1 2 1 1       3 4 2 1 2 3 x  14       →       3 0 1 2 2 3 4 2       1 2 1 0 0 1 5 回代求解得 ， ， 与精确解 x3 ，x ，x 比较，显然列主元素消去法比一般 的 Gauss 消去法得到的解误差要小。 例 2.4 用 Doolittle 法对矩阵 A 作 LU 分解。 A＝ 解 从上至下，从左至右，分解过程如下：       12 6 11 20 4 8 3 6 8 7 2 10 4 2 1 5             3 0 4 1 1 2 2 1 2 3 0 0 4 2 1 5       4 20 2 1 0 0 1 5 → 每一次只变化加框部分的元素，具体计算公式参见 Doolittle 分解算法。 所以 A＝LU，其中 L＝ ，U＝ 例 2.5 利用 Doolittle 分解的紧凑格式解下列方程组         =                13 8 2 4 1 0 1 2 3 2 1 x x 17

解所谓紧凑格式就是对增广矩阵进行 Doolittle分解,过程如下: 12314 2314 12314 8→028→0128 12411324113|20113 即系数矩阵可分解为 012|=01 12 得同解三角方程组为 2x,+3 回代求解得x3=3,x2=2,x1=1 例26用部分选主元的 Doolittle法紧格式解矩阵方程组AX=B,其中 4916 A B 182764 1681256 解对增广矩阵进行分解计算,每一次只变化加框部分的元素,过程如下 123442 1827642856(第一步选主元之后,矩阵各元素不变)一的元 149161012 l168125682240 23442 123442 627642856/41148125682240 91610 1627642856 1148125682240 129161012 1147825278238 7825278238 3/727642856 13/7-66/7642856 11/79161012 11/7-36/7161012

解 所谓紧凑格式就是对增广矩阵进行 Doolittle 分解，过程如下：      →      2 4 1 13 0 1 2 8 1 2 3 14           2 4 1 13 0 1 2 8 1 2 3 14 →           2 0 1 13 0 1 2 8 1 2 3 14 →           2 0 − 5 −15 0 1 2 8 1 2 3 14 即系数矩阵可分解为            −          =           5 1 2 1 2 3 2 0 1 0 1 1 2 4 1 0 1 2 1 2 3 得同解三角方程组为      − = − + = + + = 5 15 2 8 2 3 14 3 2 3 1 2 3 x x x x x x 回代求解得 x3 = 3， x2 = 2 ， 1 x1 = 例 2.6 用部分选主元的 Doolittle 法紧格式解矩阵方程组 AX = B ，其中             = 1 16 81 256 1 8 27 64 1 4 9 16 1 2 3 4 A ，             = 82 240 28 56 10 12 4 2 B 解 对增广矩阵进行分解计算，每一次只变化加框部分的元素，过程如下：             1 16 81 256 82 240 1 8 27 64 28 56 1 4 9 16 10 12 1 2 3 4 4 2 （第一步选主元之后，矩阵各元素不变） 计算第  → 2列的主元              1 14 81 256 82 240 1 6 27 64 28 56 1 2 9 16 10 12 1 2 3 4 4 2       1 1/ 7 9 16 10 12 1 3/ 7 27 64 28 56 1 14 78 252 78 238 1 2 3 4 4 2  → 2↔ 4 r r       计算第3             1 2 9 16 10 12 1 6 27 64 28 56 1 14 81 256 82 240 1 2 3 4 4 2  → 主 元       − − 1 1/ 7 36 / 7 16 1 3/ 7 66 / 7 64 1 14 78 252 1 2 3 4 分解计算  →        10 12 28 56 78 238 4 2 列的  18