《解析几何》课程教学课件（PPT讲稿）第一章 向量代数

定理1.3.1娄数与向量的乘积符合下列运算规律！(1） 结合律：a(ua)=u(aa)=(au)a(2）第一分配律：（a+u)a=aa+ua（3）第二分配律：a(a+b)=a+ab向量相加及数乘向量统称为向量的线性运算两个向量的平行关系定理设向量a0，那么向量b平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数入，使b=入

定理1.3.1 数与向量的乘积符合下列运算规律： （1）结合律： ( a) ( a)     =   a  = () （2）第一分配律： a a a    ( + ) =  +  a b a b     ( + ) =  +  . 0 b a a b a        =   分必要条件是：存在唯一的实数 ， 使 定 理 设向量 ，那么向量 平行于 的 充 两个向量的平行关系 （3）第二分配律： 向量相加及数乘向量统称为向量的线性运算

证充分性显然；3必要性设 a 取a当b与同向时取正值当b与a反向时a取负值，即有b=aaih：此时b与 a同向.且i=a=a的唯一性。设b=aa，又设b=ui，两式相减，得(a-u)a=0,即-μa=0:a0,故-μ=0，即=

证 充分性显然； 必要性 a  b ‖  设 , a b   取  = 当b 与a同向时 取正值，   当b 与a 反向时 取负值，   b a.   即有 =  此时b 与 a同向.     a a   且  =  a a b    = b .  =  的唯一性. 设 b a，   =  又设b a，   =  两式相减，得 ( ) 0，    −  a = 即 − a = 0，    a  0，   故  −  = 0，即 = 

设é,表示与非零向量a同方向的单位向量按照向量与数的乘积的规定，ai=aléa一→al上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量

设ea 表示与非零向量a同方向的单位向量，    按照向量与数的乘积的规定， a a a e    =| | . | | a e a a     = 上式表明：一个非零向量除以它的模的结 果是一个与原向量同方向的单位向量

b-3a例1化简a-b+55b-3a军a-b+s解52= (1-3)a +P6=-2a.2

例1 化简       − − + − + 5 3 2 1 5 b a a b b      解       − − + − + 5 3 2 1 5 b a a b b      a b         = − + − − +  5 5 1 2 5 (1 3) 1 . 2 5 2a b   = − −

例2试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形Da证：AM=MCbM2BBM = MD:.AD =AM+ MD = MC +BM =BCAD与BC平行且相等，结论得证

例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的 四边形必是平行四边形. 证 AM = MC BM = MD AD = AM + MD = MC + BM =BC AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.   A B D C M a  b 