例7求积分/1+2x2 dx x2(1+x2) 2y2 1 1+x2+x2 解 x2(1+x2 =「 x2(1+x2) = d x t dx 1+x 2 =--+arctan+C 上页
例7 求积分 解 . (1 ) 1 2 2 2 2 dx x x x + + dx x x x + + (1 ) 1 2 2 2 2 dx x x x x + + + = (1 ) 1 2 2 2 2 dx x dx x + = + 2 2 1 1 1 arctan . 1 x C x = − + +
例日求积分,1, 解 1dx= dx 1+cos 2x 1+2cos2x-1 dx=-tanx+c 2 x 2 说明:以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形,才能使用基本积分表 上页
例8 求积分 解 . 1 cos 2 1 + dx x + dx 1 cos 2x 1 + − = dx 1 2cos x 1 1 2 = dx x 2 cos 1 2 1 tan . 2 1 = x + C 说明： 以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形，才能使用基本积分表
例9已知一曲线y=f(x)在点(x,f(x)处的 切线斜率为sec2x+sinx,且此曲线与轴的交 点为(0,5),求此曲线的方程 解 小y = secx+sinx dx ·J=sec2x+sinx)dc tanx-cosx+C, y(0)=5 C=6 9 所求曲线方程为y=tanx-cosx+6 上页
例 9 已知一曲线 y = f (x)在 点(x, f (x))处 的 切线斜率为sec x sin x 2 + ，且此曲线与 y轴的交 点为(0,5)，求此曲线的方程. 解 sec sin , 2 x x dx dy = + y ( x x)dx = sec + sin 2 = tan x − cos x + C, y(0) = 5, C = 6, 所求曲线方程为 y = tan x − cos x + 6
四、小结 原函数的概念:F(x)=f(x) 不定积分的概念:∫f(x)=F(x)+C 王基本积分表() 庄求微分与求积分的互逆关系 王不定积分的性质 上页
基本积分表(1) 不定积分的性质 原函数的概念： F(x) = f (x) 不定积分的概念： f (x)dx = F(x) + C 求微分与求积分的互逆关系 四、 小结
思考题 y,x>0 符号函数f(x)=gnx={0,x=0 -1,x<0 王在(∞+a)内是否在原函数?为什么? 上页
思考题 符号函数 − = = = 1, 0 0, 0 1, 0 ( ) sgn x x x f x x 在 (−, + ) 内是否存在原函数？为什么？