《高等数学》课程教学资源：第九章（9.6）重积分应用

3。曲面的面积 ①.设曲面的方程为:z=f(xy)z 在xoy面上的投影区域为D, dA 如图,设小区域do∈D, 点(x,y)∈dσ, (x,y) ∑为S上过M(x,y,f(x,y) 的切平面 da为d4在xoy面上的投影, ∴do=dA·cosy

①．设曲面的方程为： z f(x, y) 在 xoy 面上的投影区域为 D, 点 (x, y) d , 如图，设小区域 d  D, . ( , , ( , )) 的切平面  为 S 上过 M x y f x y d (x, y) M dA x y z s  o  d 为 dA 在 xoy 面上的投影,  d  dA cos , 3。曲面的面积

COSy= ∴dA=、1+f2+fd 1+f+f2 曲面S的面积元素 1+f+f do 同理可得 ②.设曲面的方程为:x=g(y,z) 曲面面积公式为A=1(a)2(a)byd ay Oz ③.设曲面的方程为:y=h(,x) 曲面面积公式为=1+(cy)2 dida 1 Oz a

, 1 1 cos 2 2 x y  f  f    dA  f x  f y d 2 2 1 曲面S的面积元素 1 , 2 2      D A fx fy d ②．设曲面的方程为： x  g( y,z) 曲面面积公式为： 1 ; 2 2 dydz z x y x A Dyz                     ③．设曲面的方程为： y  h(z, x) 曲面面积公式为： 1 . 2 2 dzdx x y z y A Dzx                     同理可得

例3.求球面x2+y2+x2=a2,含在圆柱体 2 2=ax内部的那部分面积 解由对称性知4=44 D1:x+ysax,(x,y≥0 曲面的方程为z 于是⊥a)2 十 9 ax 2 面积A=41+x-+ z. dxd DI

例 3. 求球面 2 2 2 2 x  y  z  a ，含在圆柱体 x  y  ax 2 2 内部的那部分面积. 解 由对称性知 1 A 4A, : , ( , 0) 2 2 D1 x  y  ax x y  曲面的方程为 2 2 2 z a x  y , 于是 2 2 1                   y z x z , 2 2 2 a x y a   面积A z z dxdy D    x  y 1 2 2 4 1

xz小y D, acos e =4al de 0 1分22+d=2 例4求半径为R的球面的表面积 解曲面方程为 R2-2-y2 A=84=81+2+2deh(由对称性) 8 dR dxdy R =8d6 D V R2-x2 =4R

    1 2 2 2 4 D dxdy a x y a        cos 0 2 2 0 1 4 2 a rdr a r a d 2 4 . 2 2  a  a 求半径为R的球面的表面积 解 曲面方程为 2 2 2 z R x y （由对称性）      1 2 2 8 1 8 1 D A A zx zydxdy dxdy R x y R D     1 2 2 2 8 rdr R r R d R     2 0 0 2 2 8   2  4R 例4

例5计算圆柱面x2+x2=d 被圆柱面x2+y2=a2所截的部分的面积 解由对称性可知A=8A1 A1的方程z=√ TZ+Z va -x nn dxdy=dx y 2 2 D a -x A=8

计算圆柱面 2 2 2 x z a 被圆柱面 x 2  y 2  a 2 所截的部分的面积 解 由对称性可知A=8A1 A1 的方程 2 2 z  a  x 2 2 2 2 1 a x a z z x y            1 2 2 0 0 2 2 2 2 D a a x dy a x a dxdy dx a x a 2 a 2 A8a 例5