矩阵A的秩就是二次型的秩, 设有二次型记为r=r(A f(x,x2,…xn)=a1x1+a2x2+…+amxn+ 212x1x2+2a3x1x3+…+2 则称矩阵A为二次型的矩阵:对称矩阵 12 13 21 22 3 2n 31 32 33 3n n2 n 3
设有二次型 f (x1 , x2 , xn ) = + 2 11 1 a x + 2 22 2 a x + + 2 nn n a x 2a12x1 x2 +2a13x1 x3 ++ n n n n a x x 2 −1 −1 则称矩阵A 为二次型的矩阵： = n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a 1 2 3 3 1 3 2 3 3 3 2 1 2 2 2 3 2 1 1 1 2 1 3 1 A ( ) aij = aji 对称矩阵 矩阵 A 的秩就是二次型的秩， 记为 r = r(A)
令X=(x,x2…,x),则二次型的矩阵形式为 f(x,x2,…xn)=XAx aXX 12C =(x1,x2…,xn) 32 3n nn
令 ( , , , ) , T 1 2 n X = x x x 则二次型的矩阵形式为 f (x1 , x2 , xn ) = X A X T ( , , , ) 1 2 n = x x x n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a 1 2 3 3 1 3 2 3 3 3 2 1 2 2 2 3 2 1 1 1 2 1 3 1 n x x x 2 1 ( ) , 1 i j j i n i j =ai jxi xj a = a =
例1.1写出二次型的矩阵及其矩阵表示式 f(x1,x2,x2,x4)=x1+2x2-3x4+2x1x2 +6x 4x 解 00具体的表示 1230 A 030 00-2-3 令X=(x,x2,x3,x),则f(x1,x2,x3,x)=XAX
例1.1 写出二次型的矩阵及其矩阵表示式： 1 2 2 4 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = x1 + 2x −3x + 2x x 6 2 3 4 3 4 + x x − x x 解 A = 1 1 0 0 1 0 0 2 3 0 3 0 0 − 2 − 2 −3 令 ( , , , ) , T 1 2 3 4 X = x x x x 则 f (x , x , x , x ) X A X T 1 2 3 4 =