14 不等式輪 假定不等式(2·2)，對n二1,2，·，无-1席黄，即對k-1敷 之乘積： (2·6) aag··ag12b,bg…bk-l: 如而懂如a1三b:,42=b。,…,0:-1兰b:1,等默始能戒立。而後由“ 以正敷相乘”之乘法規則（定理23），當以a。乘不等式(2·6）時，得 (2·7) (aag·:as-1）a22(b,b,g…b-1)a.; 如而德如 aag···as-1=b,b。··be-ty 等虢始能成立。由同一想则，當以，b··、b,.,乘不等式 a.≥b. 亦得 (28) bbg…bz-1)az2(b,bg'··be-1)b。: 如而值如4，=b,,等號始能成立。現随移易期则，由(2·7)及(2·8) 而致 01ag···4k-1ak2b:bg··'b。-1be; 如而值如a1=b,,4,=b4,··,4=b。,等就始组成立。 、 2·7除法 【理2·6】如a>b>0,而c>d>0,则a/d>b/c。特别 ,對a=b1,如c.>d>0,則1/d>1/ca 更普调言之，如a>b>0,而c>d>0,則afd≥/c,如而懂如 asb,及c=d,乃有时d=b/c。 往意，a被d除，而b被c除一非c除a,或d除， 由是，用除法，不等式7>6及5>3,1出7/3>6/5；但不等式 7/5>6/3爲誤
第二章工具 15 雨已予之不等式，亦引出1V6>1/7,奥1/3>1/5- 【證】日有 号-名=d cd 侬原理旺，因ceP及dsP,分母cdeP,因a≥b及c≥d,由定理25， 亦随而ac2bd;故分子ac-bdeP或eO,除非a二b及c二d,有ac 一bdeP,侬定理1,1，負数及正数之乘積篇預；但乘積 等於非预数ac-bd,而cd篇正，故 a6-bd=号 cd 非预。由是a/d≥/c,如而僅如a=b及c=d,乃有ad=b/e。 程顆 1.由不等式 (哈-)'≥0， 證明對所有正数a,b, 2 (/a)+(1/b)≤Va6 於何蓕情祝之下，等號成立？ 2. 證明正敢及其倒之和，最少爲2。即對所有正数4，證明 a+÷≥2 在 對a何值，等虢成立？
16 不等式輪 3.證明對所有a,b,c a+b2+c2≥ab+bc+ca. 4對所有4，无，證明 (a-b2)(a-b)≤(a*-b)3, 及 (a2+b2)(a+b)2(a3+b) 5.證明對所有非預a,6,c, a*8+83c+ca+ab*+bc*+ca>6abc. 6.證明，對滞足ab≥0之所有a,b (a2-b8)22(a-b)‘. 及對满足ab≤0之所有a,b,證明 (a2-b2)2≤(a-b). 7.對滿足a+b≥0之所有a,b,證明 a十b82a*b+ab2. 8.對3至7題之任一，决定於何種情祝下，等號成立。 2●8冪舆根 【定理2·7】如a>b>0,如m及n均正整数，且如a1及b1/ ，表示正：无赧，則 a1m>bf"及名m1a>a8/n 更普遍言之，如a≥b>0,如m篇一并預整数，且n篇一正整数，且 ·如a及b/,表示正次根，則 (29) an/n之bn/n及b~m/n≥a"/n
第二章工具 17 如而馑如(i)a=b或(i)m=0,始有a/n=h,及b/a=a/n。 對a=9及i=4,某值a人，6m,bh,a小，表示如表2，對 各m/n正值，将91>4n,而4m>9/“。 表2，敷目乘幂示範 和 9"/a 40/a 4/a 0 1 1 1 12 3 2 12 9 4 3-2 27 8 8 品 2 81 16 6 品 【證】如m=0,則则a"/h=b/"=b/”=a/"=1。如是，在此情况， (2·9)中之等號成立。 如m中0，則依不等式乘法規則（定理2·5）am≥：如而僅如a=b ,等就始能成立。如a<1爲填，則亦将(a/“)<（b1/),或 a<b篇虞；但依很設a≥b,自然a"≥1n。因此a/≥b,如而 僅如a=b,始有a*=b/”。 對於資指數，命 a/n=c,bm1n=d· 則 a-m/a ，8= 因恰巴顯示 c>d
18 不等式論 随由定理26，而 子≥是： 郎 6n之a/n 如而懂如c=d,郎4=b,等號成立。 規律能引伸於正舆預之無理乘冪。 習 题 1.對所有4，b,證明 a+b ≤(a4*、h 2 2 於何種情况之下，等號始能成立？ 2. 證明如a,b及c，,d均正（而c及d均有理），即 (a°-b9)(at-b)>0 而 a+4+b*+>ab4+a5e 於何種情况之下，等嬲始能成立？ 子上题第二不等式，於6三d=1情况，化成何式？於：=d=之情沉， 化成何式？ 4. 對bd>0,證明如而馑如ad≤bc,a/b≤c/d,並證如而馑如他 遗成立，其等號始於各燕成立。 5. 證明如a财b≤c以d,則 ≤ b 並證如而懂如ad二bc,等號始能成立