第二章工具 19 - 7.證明如a/b≤c/d,其b興d均正，则 8<8+后≤台， 並證如而值如ad二bc,等號始能成立 8.用4題测驗，以證5,6,7题之四不等式，對a二2◆b=3·,c三5 d=6骷值，有效。 9.鸯同義於對移易性，加法，一敷相乘法，减法，乘法，除法及冪興根“ >”不等式規則第一段之“<”不等式規則
20 不等 式骗 学
21 第三章 絶對值 3·1引晋 於第一章，如所镀及，不等式4>b,係用正散集合P項定粪。亦可闾 信第二章幾猫定理之有效性，如定理2·5，雨於不等式乘法者，需特别指定 所含某些敕目，麻篇正敕。復於許多例中，其見於定理2·7之敕目分数乘幕 将不必篇實數，如數之本身禽負：例如，考虑a1:,以a=一9，許多基 本不等式之将於第四章導出者，拾包含如此之分歉乘幂数目，自然常須限制 於正数或非負数（正数及幂）於此研究之中。 於包含不等式之恋用問题中，常處理重量，疆被等等，及某些数学標的 ,如實敕，複敕，向量之量，或絕對值。所有此等之量，係用并負数目量度 ,由是，郎合可選正数，表示「取得」，负敕，表示「损失」；三元之损失 ,其量仍大於二元之损失：即一3之翘對植，大於一2之翘對值。· 於本章中，将定義並研究真敕稻對植之某些性質，以利後衢各章不等式 之應用。亦將展示某些有趣但含絕對植之異常函散酒形，並提示有潮該等函 救之新報念。 3·2定裤 實欺a之絕對植，用}a示之：能以幾被類同之方式定接。将考意幾穫 定粪於此。 【定善】實散a之翘對镇，如a篇正或客，定粪黛a,如a爲預，定接 篇-a。 由是|2=2,10=0，而」-2=-(-2)芒2 前逃定義主要不利之斯，篇其不適合代敏算，由是（見本章稍後之定 理3·2)，對所有a,b
22 不等式喻 ai+[bl≥1a+b}, 能各自考虑奥5，雨均篇正，一正一强，两均篇预，一常一正，一常一預 ,及雨均篇情况，以驗證之。但將樂於提供用標準代数程序所作之如斯待 果聯合證明：此将於3·8節篇之，即於以平方，平方根項，表示之絕對值不 同，而義相同之定義提供以後始證之也。 、 能以各数不同方式，重述以上定装： 實数a之絕對值值{a【,如ae0,篇0；否即}a1篇集合{a,-a】 之正元。 由是，如a=2,则1a篇{2，-2}之正元，即2如a亡-2，則 1ai篇{-2，一(2)}之正元，即2。但此a{之特性，具有前者之 同樣代敏缺斯。 3●3特别符就 【a|之灭雨特影，基於兩有用之特别符，max{】及{}+，如将予 以定義。 對任何實数集合{a:,a:,…a。子，符號ma×【a1,as,… a。},表示集合中之稻大元数。 如懂有一或二元於集合中，仍依此而罪铁篇“衙大”：且如衙大值取自 多於一元者，射此中之任一，必篇插大。由是ma×是3,7,0，一2,5} =7,mx{4,4}=4,ma￥{-3，-1}=-1。 算衍作業，能於龟含符蜕m{}之数式，經通某些困雕完成：例如 (max4,-3})(max{0,5})+max{-4,4}-max{9,-8} 4 2max{1,4} 特别，考虑加ax《a,-a}:如a=2,則 max{a,-4}=nax{2,-2}=2亡]a」， 如a=-3,期 ma*{a,-a}=max-3,-(-3)}=3=a1: 如a=0,則
第三章絕對僖 23 m4x{4,-a}=m{0,0}=0={a}; 如此類推，由是，對所有之在， (3.1) maxta,-a}=lal: 如是(3·1)提供}a之另一特質。 兹考患次一特别符號。 符號{a:,42,·…,am}+,表示集合{a1,ag,……,a。}中之 福大元数，如最少有一集合之非强元数；但如集合蓄元均項，則符號表示篇 0。由是 {3,7,0,→2,5}+=7,14,4}+=4，{-3，-1}+=0. 一如在m心【}情况中，图摊，但可能處理包含符號{}+之数式：例 如 (14,-3+)({0,}+)+-4,4+【-9,-8}+=3. 2f1,4}+ 符號mx{}及{}+並不同義，如上例所示；其實能由定获，輕易獲 知 《a:,ag,…··,a}+=ha*{0,01,ag,'·a。} =nax{0,maxa1,4g,···,a,} 由是，随而 {a:,aa,'、',a。}+2max{a1,a:,···,am}, 其中，如庙催如，最少有一非颈元数在集合{Q1,a2,··4,}中，等晓始 能成立。 如是，因特殊集合{4，~在}，對所有之a,隆有非负之元， la,-a}+=maxta,-a)=lai. 由是，方程式 {a,-a}t=a1