9 第二章 工 具 2·1引看 處理不等式時，最後使用之值有基本假設，爲第一章所討輪之两原理， 循賞欺髓系及其規律如分配律，敷學歸勑法等等。仍有幾横筒單定理之由此 等原理薄出者，常出現於理輪之酸展及應用中，幾稱之爲“斯務之工具”( Tools of the trade)。 此等定理或作業規则與其證明，於其本身優新言，即具吸引力奥趣昧。 進前言之，彼等提供敷摩家，由少数基本說明與假定，建立定理作篇體系途 徑之便良示範。證明常篇简短，但仍完整：而少数地方，要求技巧，以使数 学或爲命人饗往之課題。 本章之中，有些此等定理，已予列摩，解釋，並證明之。字母，b, c等之出現於定塑說明者，除非明白規定，應知均係代表随意度數。 篇方便起見，行将取用之定理或湖則，此蕊僅對“>”情况說明。於各 情况，有一同赣之“<”規則。由是，對>”法則，有移易性。如a> b,而b>c,則4>c”,對應同義之“<”規則，“如4<b,而b< 6,朋a<c”。 同樣能建立“<”規則，以與本章所示“>規則，互相隨件，但癔注 意敷學陷穽！如一規則包含一正醴乘数，如c>0,而需雨隨意量之差爲正 ,則其随件之“<”想則，仍有c>0(或如所欲0<c),而非c<0,由 是，隨伴於“如a>b,而c>0,則ae>bc”之規則，爲“如a<b, 而c>0,则ae<bc”。 位於各饰雨始磁之定理說明，分爲两段。較制之第一段，感理厥格“>” 不等號，包含定理之心赚部份，第二段包含混合“≥”不等號，有時更包括 實值之魔意敷#愤祝。由是，所蕊理者篇更普通而含蓄之情况。證明常值給 予較含蓄之普通情况，但已能特别惠用於第一段。 定理解程之覓於本章者，有時将包含已說明之“>”規則，而有時包含
10 不等式喻 產生之<”規則。 2●2移易性 【定理2·1】如a>b,而b>c,則a>c。 更普涯暮之，如a1≥a:,ag≥ag,:·,4w-1≥4。，则a1≥a。 ,如而催如諸a相等，始有a1=a。。 由是，如考感個人渭费，會引致跟察星期六所费金线，多於其他遏内任 何一天.及最低限度星期日所费，同於星期六，則可断言星期日所费，多於 通内任何一天。 再則，第-章葱題1之答案爲： -3<-2<-1.5<-1<3-π<0<π-3<Vz<2<3: 此可秧钱解得其庶養懂篇集合之開首九元，震小於繁跟之敷，由是一3<一2 ，一2<-15，等等，依前逃移易性規則，仍產生此等数目，各盒小於任何 後撒之散；例如一3<一1.5，-1<2,3“π<V2等。 【蹬】移易規则，可用简單的散學歸钠法（見26節所给）證明。但對 此第一规則，将提供包含四實散之單一直接設明。 然使，假定4，≥4：，a,≥a,,a,≥a,。依不等式之代敏定满，各 量a,一a:,a,一4，◆4，一a4,係在集合P或集合0中。因此其和 (a,-ag）+(ag-a,〕+(a,-a。)=a1-a4 依原理Ⅱ，在P中，或在0中：如而懂如a1一a,=0,a:-4,=0,a。一a4 =0,始在0中4由是a1之a4,如而德如a1=4g,a:=44,a,a4,其 等號始成立。 對普通情祝之明，留作智題之用。 2●3加法 【定理2.·2】如a>b,而c>d,则a+c>b+d。如a>b而c 篇任一度散，则a+c>b十6。 更普源以喜，如a1≥b1，a4,≥b:,”,a.≥b。,則
第二意工具 11 (2·1) a红十a2十十a.≥b1+b,++b。y (2·1)中之等骁，如而懂如a:=b1,42=b。,,a,=b。,始能成立。 由是，如不等式1<V2及3<元相加，乃得1十3<VZ+π，此最 後不等式，與-1=-1結合，得3<V艺+在一1，而所有此五制係相如 ,產生10<3(V2+t)-2。· 【證】正如在移易情况中，一歸钠證明，復可使用。然此次，一普通情 祝之直接證明，将予提供。因依假設，各黛a1一b:,a。一b。,·,an 一b、εP或εO,則依弟一草召邈10所予原理之追式，相(4，一b,) +(ag-b2）+(a,-b。)++(a。一b.)=(a1+ag+4。十··十m） -(b1+b。+b。+···+5)eP,除非a,一b,=0,a2-bg=0,a,b,三 0,'··,a。一bn=0,始eO由是 a,十ag十a。+···+aw之b1十bg+b。+…·+b。 如而馑如a,=b1,ag二bg,a。=bg···,am=b,,等號始能成立。 2·4一数相乘 【定理2·3】如a>b,而c>0,則ac>bc。如a>b,而c<0 ,則ac<bco 更普遍以言，如a之b,而c>0,則ac之b￠，如而槿如a=b,始 有ac=bc。如a≥b,而e<0,则ac≤bc,如而僅如a二b,始有 ac=bc。 由是，以一正数乘不等式各项，所遗不等虢不樱，但以負数相乘，则反 是。特别，對c=-1,如a2b,則-a≤-b。 例如以1及-1乘3>2，各得3>2及-3<-2。 【證】已知a2b,如是在-b“P或e0。如ceP,則隨而由原理亚， c(a-b)=c4一cbeP或eO,即ca之cbo 但如ceW,則由定理11，隨而c(a~b）eW或e0;故，~〔c(a-b) =cb一caeP或&D,如是，cb之caa 於兩情况，如而僅如a=,等號始能成立
12 不等式論 2·5减法 【定理2·4}如a>b,而c>d,則a-d>五-6。如a>b,而 c篇任一實数，則4-c>b-c。 更普遍言之，如a2b,及c≥d,則a一d≥b-6,如而蕉如a=b 及c=d,始a-d=b-co 注意d爲由a减法，而c由&一非c由a,或d由b诚去。 由是，依减法，不等式7>6及5>3，引致7-3>6-5，郎4>1 :但不等式7一5>6一3篇誤。或者，篇解釋“<”項規则，不等式~5 <10及-4<-3，出-5-(-3)<10-(-4)；郎-2<14。 【證】應用以預数，乘一不等式規則（定理23）於c≥d,乃得“c ≤-d,郎-d≥一c。其中，如而值如c=d,其等號始能成立。現應用不 等式相加之規則於a≥b及-d≥一c,得a+(一d)≥b+(-c),或 a-d2b-c,如而懂如a=b及t=d,乃有a-d=b-c。 習題 室1.證明如a<b,則a<分(a+6)<6 2. 證明對所有a,b,c,d, (a2-62)(c*-d)≤(ac-bd)2 及 (a+6)(c2+d)≥(ac+bd)2 如而值如ad=bc,等虢始或立 3證明数听有4， ,(a*-b")2≥4ab（a-b)2 如而懂如a=b,等號始戌立 4。用敷摩歸納法，證明普通“>”移易规則
第二章工 具 .13 2●6乘法 【定理2·5】如a>b>0而c>d>0,則ac>6d。 更普鼎盲之，如41≥b,>0,a。≥b,>0,··…,a.≥b。>0, 則 (2·2) aae···4,2b,b2·,b、。 如而僅如41三b1,a。=b:,···,4.=b,,（2·2)中等跳始成立。 由是，由2>1及4>3，得(2)(4)>(1)(3)，或8>3。但注意 -1>一2，-3>-4，引出(-1)(-3)<（←2)(-4)：自然，数目篇正之 筷件，不能介入。 【證】茲用数蛳納法提供一證，確立此證明之，準程序，包含下列步 踩。第一，對所有正整数n說明之證明，己對開首之一或二测驗；而後，於 假定之下，說明對所有整欺，甚至包括某一如无能篇任一大於1之整敏（特 别，令素一11或2，篇已驗證說明者），可断言對所有正鉴数說明成篇( 確。 對n=1,定理2.5之結输a1≥.b1,商單的篇假設之重述。此觀紫於敏 李蛳辆法證明中，足以用於第一步，但亦将提供對=2之證明；即將證明 如a:≥b:>0及a2≥b>0,則a,ag≥b,b:。 不等式 (2·3) a1a,2b4: 随正敷乘不等式之乘法規則而来，如而僅如41一b,,等號始能成立。 不等式 (2·4) b1az 2616: 随同一規而來÷如而值如a2=6。,等骁始能成立，現在，期玺之不等式 (2·5) a1a:≥b:b2 係随移易規則（定理2·1)，由(2·3)及(2·4】而致；如而僅如(2·3) 及(2·4)中等號城立，（2,5)中者始成立，郎如而僅如a1=b,,及a2 =b。始能成立。 已示範不等式（2·2)，對n=1及n二2成立