不等式論 篇同義。由是原理I及工'篇同義。 欲釋示原理I與I’,考惠數目1二3,0：=一4，b,=0,b2=3 釋示原理I,注意於a1eP，-a2eP,b,e0,及b2eP;亦可注及 於a,4O(额作“a,非集合0之一元”)及一a,P,等等。 釋示原理’，而有 a,-6:=3-0=3,41-b,>0,a>b1; a1-62=3-3=0,a1-b:=0,a:=bs; a2-b,=-4-0=-4,61-a2>0,b1>a2 a2-bg二-4-3=-7，b2-a2>0,b2>0生 而後注意，於四例中，原理”中所示之三種踽係，一而懂一於各例成 立。此原理I'之釋示，將於下節，糍繽於介貂額外不等式關係時行之 1●5额外不等式瑚係 取代如b>a之不等式，可同樣蕃篇a<b,额日“a小於五”。雨不 等式完全同義，而無輊之分。於以前原理'之釋示中，符號“>”完全 通用。而考慮恒將a鑫高b前，以示所有鬧係。則將有 (12)a1>b,,a1=bg,a2<b1,ag<b2 同樣 -4<4,2<3,-2<0,-2<-1, 0<1, 3<元，0<2，-9<1， 1<V2,-40<-立 1 符號“>”及“<”，表示骸格不等式。 於不等式研究中，考虚之其他雨種隔係，震混合不等式4≥b及a≤b ,各讀作“a篇大於或等热b”,及“a僑小於或等於b”。前者，a立书 之意義篇4>b或a=b,必居其一：例如，322，亦且222。次者 a≤b之意義篇a<b或a=b,必有其一；由是1≤2，亦且2≤2。 於(1·2)中，說明原理I’所列翻係之一，於各例成立，但原理本身 說明更進一步，懂一翻係成立。因此，欲作原理I'之完全釋示，實應加以 說明a (13)a主6：，4：卡4，a,6,:a主4
第一章 基本知藏 5 额作“41既不小於，亦不等於b,”,等等。 自然覺得此等(1·3)之“负”說明，均多餘，且誠無人宣告，應完 全盡出此等已於(1·2)包含之資料。此係基於原理I或工'之排斥性原 一“一而僅一”方面一篇認許取者。 由於讲斥性原則，顯然(1·2)及（1·3)洛自之關係同義：郎互相影響 。然而，不等式之“有”性，常篇栖有用之概念。 如趨向於兩符號“>”及“<”之混淆，可於有效不等式中，注意如 3>2或2<3者，符號大（開）端，指向大敷，而小（尖端）端，指向小 較。 1·6含負敦之乘積 正數及預敷乘積，爲何插敷目？兩負敷乘穳爲何？可用原理I與丑及其 某些結果，以决定此等問題答案。 如aeP,而bN,則侬表1，-beP,如是，依原理Ⅱ，積a(-b) eP。故依預數定義，-〔a(-b)〕eN;但-〔a(一b)〕=ab,係依互 换括號及員號之常用代欺法則而得： -〔a(-b))=-〔-(ab)〕=ab 因此abeN,由是，而有下列定理： 【定理1·1】-正數a及一負数b之乘積ab,篇一負數。 同樣，如aeN,而beN,则依表1，-aeP,而-beP。故依原理H ,其積(-a)(-b)eP。但依代数法則(-a)(-b)=ab,因此abeP, 故得此定理： 【定理1·2}雨負敷a及b之乘積ab,爲一正敷。 特别，依此最後定理及原理亚，除零以外，任何度數之平方，爲一正數 。當然，02=0，由是，而得全部不等式理論中，最簡單而柜有用之定理如 下 【定理1·3】任何度數a,椭足不等式a2≥0。如而猫如4=0， 等號始成立
6 不等式論 1·7“正”與“負”数 現在，已知原理I及直之作用。而樂於由之學智，袂定非零岚數，何者 凰於正數集合P,及何者屬於貧数集合N一一如前未得知！ 欲明乎此，且將引號置於“正”及“資”上，以示資料所來自之原理。 兹由數a=1開始。因a牛0，由定理1·3隨而a2>0。由是a篇“正” 但是 42之12=1 如是，1篇“正”。 其灰，且就a=2,因現已决定1篇“正”：因1+1=2，且因依原 理Ⅱ，雨“正”敷之和焦“正”，隨而2篇“正”。 现合a=名，则2a=1。由是，“正”数2及数a之程，宽正”数 1。但如a鴛“员”，則2奥a之模，依定理11而璃“負”。因此a=之 應爲峰正”。 由是，敷日1,2，分均正”，放空表1，数日-1，方，-2均 4背”。 ì4 煮之，能頭示整数3,4等等；分数1V3,V4等等：及分数号，专 三，5等等，均“正”，而由是-3，~4，一等等均“资”。故對 ，4’4 任何非零有理数，能决定其是否篇“正”或“貨”。 最後，用於定義無理敷之有限作莱，能用於决定调於有理敷之何者爲“ 正”，及何者盒負”，一日知無理敷，於蟹敷完全滿足原理工及Ⅱ之場内 ,是否篇“正”或“背”。將不群細討論無理敷：因其有翼趣之討論，於新 敷學交庫之一，尼文(Ivan Niven)所著“有理敷及無理敏”一書可見。 留 題 1.船圆於右向水不数月刘度钱上，以示表示下列腊欺之各點：
第一章 基本知藏 7 3,-1,0-1.5,π-3，V,2,-2，-3 於增加順序，重喜諾散，以形如a<b<c之連绩不等式，提出结果。 2.如說明错哭，覆一镂於e,以得车： (a)-3eN, (f)aieN, (B)0sP, (g)(a2+1)sP, (c)5e0, (h)-2eP, (d)v2eN, (i)(a2+1)e0, (e)(R-3)eP, (j)-3eP。 3.於各空白，摸以P,N,O,俾得食寅說明秸果： (a) 48 49 273 273 ()7-4(2(6)e一-一 (b) 721 721 837 838 (g)93(72+2)-93(72)- (c)23 -25 2 3克 ()93(72-)+93(72)e (d) 23 3克 、-23 33 -合学+是北 )-2 e ()(-3)*-3一 4. 於各空白，城以>，<，或=，以得缤囊說明結果： (a) 48 49 273 273, (月74(2)(6)， 721 721 838· (g) 93(72+)93(72), 837 2 (e)'-23 -25 32 32 (h) 93(72- 合入9372， (d) -23 -23 32 33 ()
8 不等式貌 （j)(-3)2 3。 5.线者查T,親者查F: (a)-22-3 力-1≤2 (6)0≤0z )是<是 (c)0>-1-’ 四<号 ()1-2<-21 )7<-子一 (》1<0 6.查出下列各敦之“预”值： -2,3-x,(3-x)1,66,0,V-40 7、填上空白，提供肯定朋係，同接於說明之预”鬧係： ·(a)a本b, ab, (d)ab,a_b, ·(b)4牛b, (e)atb,ab, (c)4为b,a6 ()a丰b,a-b。 8證明各正敷单，大於各强敷”。 9. 對雨虞數a及b,如能證明a≥b及a≤b,所能獲致之苹一特輪篇r 10.明，由原理Ⅱ，如1，a,,·,a。篇正'，则和a:十a:+…+ 4。及被a1a:…a。想正。用散學材法行之。〔見师26意見) 11用原理工奥Ⅱ，叠明号篇一“正”数