前 憨犟會被稱爲重複之科學；即謂敗擊家道人戆費，浪費時間，去證明等 於其本身之事物。此說法（出身某哲學家)有雨黏不正確。第一，敷學难於 科學說法而非科廖，然其篇一創造藝術。第二，敷學之基本結果，奥其謂爲 等式(egualities)常斑寧謂爲不等式(inequalities)。 以後各章，將块三方面提出不等式理输。第一，於一，二，三章純篇原 理方面。第二，於第四章，利用以前各章成果，導出分析之基本不等式，常 篇度用政擊家~再使用之結果於第五章，題示如何使用此等結果，導出許 多有趣而重要之熊何基本對稀圆，極大與極小性質：平方，立方，等遵三角 形，如此類推。最後，於第六章，研究某些距蟹性質，並展示常見之某些距 離函敗。 由是，有多方面奥味之題材，可一併或分别閱讀。有些讀者，希笔暸解 高深數學基礎之原理性途徑。將欣赏開首三章。此外，於第三章，有許多配 合不等式之精彩圖形。其他藏者，樂於立時將公認之結果，用於更具分析性 之結果，而将發現第四章類爲有趣。有些人對能用於解决以往由徽精分方法 處理之問題的基本不等式，特别感到興趣，第五章將申論之。讀者有奥趣於 靓念及定理之准者，可研讀第六章所迹，某些特殊之非歐幾里德距離。 凡被本替内容鼓舞者，可閱箭主题有關之優秀著作，如哈定{G.H. Hardy)利渥德(J.E.Littlewood)及頗利亞(G,Polya)所著之 1934年倫敦創橋大學版“不等式”一書。包含各種定理之較新著作爲員肯 克{E.F.Beckenbach)及員爾曼(R,Bellman)所著之“不等式”， 及1961年柏版之瓦來格(Juu●Springer Verla)所著“代敗與政 舉”(Ergmeit se der Mathematik)等書。 著者
日 録 譯 序… I 致讀者 喱 前言… K 第一章基本知藏… 1 弟一草 工具……以 9 第三章 絕對值…… 21 第四章典型不等式…。 43 第五章 极大奥板小問題… 75 第六章距離之性質… 95 符號… 109 習陌答案…… 111 名詞對照表… 127
1 第一章 基本知識 1●1“大於”期係 回想符號“>”意即“大於或“禽大於”。而後可回答問題：3>2 否？當然篇是。 但是一3>一2否？公認-3，對於一2，爲一“較大負數”，但此說明 未答覆問題本意。如赏数（容，正，負，有理及無理敷）由水平直锁上，指 向右方之敷字刘度各點，然通常之甓何方式表示如圆1·1，则顯示数目由左 至右，侬序增值。表示一2之鹅，出現於表示一3之黏右方，如是一2>一3 同樣。 (1·1)4>-4,3>2,0>-2,-1>-2,1>0 古寸古十古+ 端1.1賞敦刘度 故有决定不等式之以下幾何法則：合a及b,篇由右向水平敷目刻度上 黏，表示之狂两貸数。如而僅如代表4欧之點，位於代表b数之點右方，始 有4>b。 能謂-3>一2或一300>一2，但依撳前述幾何規律，此均錯誤之說。 於處理不等式時，使用代數作業，較諾圆解，常能更富成果而較需要， 幾何法则提供正数之基本敘迹，並有以下同義之筋單代敷定義： 【定義】如a及b篇狂兩實數，則如而值如a-b爲正敷，始有a> 由是，如4=-2及b=-3,则a-b=一2-（-3)=1，而篇正敷， 故-2>-3，如以上幾何討論所示。可用現在之棉减代歟法，考查(1·1) 中不等式，並用幾何法奥代數法兩者，驗證以下不等式： >3,2>0,1>-9,V2>1,->-40
2 不等式論 1●2正救，负散，及琴集合 於前節中，管用正敢，定4>b之莪。正敷集合P,及相似之員數集合 W，與以懂有之數O篇数目之特别集合0，於不等式研究中，均增任主要角 色。其實，當然要自由使用熟悉之宾數系統。全摇理羚之基本输惑，爲實數 采統一所有代數不等式一中之一切順序鬧係，能對有闲正數集合P之其餘雨 箱單原理行之，此等原理，下節提示。 以符號言，“4篇正”，蹇爲“&eP”,全讀篇“a爲集合P之一份子 （或元)”。由是，而有5eP,0e0,-3εW。 兹扼要觀察前逃集合P,W,及O奥其藷元。 當然，敷目零篇集合0之僅有數0：而滿足方程式 a+0=a 以到任一實敷4。 有翻員敷集合N,區分“員數”翻念，奥“一數之預”觀念，頗篇重要 一數a之胥，定羡爲數日一a,以致 (a)+(-a)=0 由是，如a三-3，a之篇-（一3）=3，因(-3）+(3)=0也。同 樣，如a二0则-a二0，以0十0=0也。 一资數，定羡爲一正数之貸。由是而知3,1/2,9/5，龙，√2均 爲正數集合P之元，則-3，一1V2,一9/5，~元，-V2,均篇資數集合 N之元， 不漿予正敗基本念以定義，但將以雨基本原理，描迹此等數目。 1·3基本不等式原理 下列衔單定则，包含正敗集合P,只作說明，而不作證：稀篇原理( axioms）。可謂爲循熟悉之實數酸采代數結精，求不等式全部理論發展。 【底理I】如a篇一實救，则以下說明，一而懂-篇阗：4篇集合O之 唯一欺目0；4篇正數樂合P之一元；一a盒集合P之一元
第一章基本知藏 3 【原理Ⅱ】如a及b,均僞正數集合P之元，則和a+b及積ab,均僞 集合P之元。 原理I所辈三交错說明，随意度敷a,典其資數一a相闹如下：如a爲 器，則-a爲雾，如前所示；如a篇正，則依前逃負數定義，一a爲資；且 如一a篇正，即復依負数定義，a三-（一a)愿篇負。由是a興一a,於集合 P,N,及O中成對，如表1所示。 表1成對敷目及其資敷 數 自 集 合 a a 0 -d N 於幾何圜示中〔圈1·1)，代表4及~4之點，重合於表示0之點或處 於該點相對之一阅。 1●4原理I之重新確立 原理I與正數集合P相鬧，而不等式4>b,定義於集合P之諾项，兹 以不等式醐係諸頊，重新確立原理工。 如a及6均隨意度數，則其差α-b,爲一赏數：如是原理I能應用於 a一6.由是(a-b)e0(即o=b),或(a-b）eP(郎a>b或-( a一b)三(b-a).eP(郎a<b),而此三横可能性，互相排斥。故下列 說明，爲原理工之結果。 【原理I'】如4及b均度數，勦以下隔係，一而懂一成立： a=b,a>6,6>a 特别是，原理'无明，於特别情祝b二0，即如4篇一度數，則隆只以 下交錯期係之一成立：a=0(即ae0),成a>0(釦aP）,或0>a (即-aeP),如是原理I,能由原理I'引出。 如一說明S能由一爲其一箱果一說明T引出，乃日“T產生S”。已知 原理I產生原理'，而原理'亦產生原理I。如雨說明各生其餘，乃謂其